Transcript COMBINATORICA
COMBINATORICA
Probleme de numarare
PERMUTARI
• Daca A este o multime cu n elemente atunci orice multime ordonata formata din toate elementele permutare a lui A.
sale se numeste • Ex: A={1,2,3} • Permutarile lui A: (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) • Numarul permutarilor lui A este n!
Exercitii
• In cate moduri se pot aranja numerele de la 1 la 100 astfel incat numerele pare sa fie pe pozitii impare si numerele impare pe pozitii pare?
• In cate moduri pot fi aranjate numerele de la 1 la n astfel incat numerele 1 si 2 sa fie vecine in aceasta ordine?
ARANJAMENTE
• Se numesc aranjamente de n elemente luate cate k (k
A k n
(
n n
!
k
)!
• Ex: A={1,2,3,4} • Aranjamentele de k=2 elemente ale lui A sunt: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(3,2),( 4,2),(4,3).
Exercitii
• Din 10 discipline trebuie alcatuit un orar pentru o zi , format din 5 discipline. In cate moduri poate fi alcatuit orarul?
• Cate numere de 4 cifre distincte se pot alcatui folosind A={1,2, …8} ?
cifre din multimea • In cate moduri poate fi confectionat un steag tricolor, avand la dispozitie 7 culori?
COMBINARI
• Submultimile cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente se numesc combinari de n k.Numarul lor este elemente
C n k
k
!
(
n n
!
k
)!
luate cate • Ex:A={1,2,3,4} Combinarile lui A de cate k=2 elemente sunt: {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}
Exercitii
• Intr-o clasa sunt 12 baieti si 15 fete. Se formeaza o echipa de schiori din 3 baieti si 4 fete. In cate moduri se poate forma echipa?
• Dintr-un pachet de 52 carti de joc se extrag 5 carti. In cate cazuri printre cele 5 carti se gaseste cel putin un as?
Exercitii
• Cate triunghiuri formeaza 8 puncte in plan, oricare trei necoliniare?
• Cate diagonale are un poligon convex cu n laturi?
• O multime are 25 elemente. Aflati numarul submultimilor cu cel mult 4 elemente.
Formule pentru combinari
• Numarul submultimilor cu k elemente este egal cu numarul submultimilor cu n-k elemente al unei multimi cu n elemente.
C n k
C n n
k
• Formula de recurenta a combinarilor:
C n k
C k n
1
C n k
1 1
Formul ă
•
C n
0
C n
1 ...
C n n
2
n
• Numarul submultimilor cu 0,1,2,...,n elemente este egal cu numarul total de submultimi ale unei multimi cu n elemente, deci 2 n .
Binomul lui Newton
a
b
n
C n
0
a n
C n
1
a n
1
b
C n
2
a n
2
b
2 ...
C n n
1
ab n
1
C n n b n
• Membrul drept al relatiei se numeste dezvoltarea binomului a+b la puterea n.
• Termenii din dezvoltare au forma generala:
C n k a n
k b k not
T k
1
Aplicație
• Arătați că există x n 2 3
n
x n
y n
3 și y n ecuației .
x n
,
y
naturale astfel • Se poate demonstra ca toate solutiile ecuatiei sunt perechile de mai sus.
Soluție
2 2 3
n
3
n
C n
0 2
n
C n
1 2
n
1
C n
0 2
n
C n
1 2
n
1 3 ...
C n n
3 ...
n C n n
3
n
3
n
x n
y n
x n
y n
3 3 • Înmulțind cele două relații obținem: 1
x n
2 3
y n
2
Permutări cu repetiție
• Avem n obiecte de k tipuri: n 1 obiecte de tip 2, ..., n încât n 1 +n 2 +...+n k =n.
k obiecte de tip 1, n 2 obiecte de tip k, astfel • O permutare a acestor obiecte se numeste permutare cu repetiție.
• Ex: Numerele sunt 2,3,3. Permutările sunt (2,3,3),(3,2,3),(3,3,2).
Dacă numerele erau distincte aveam 3!=6 permutări, având însă și numere egale, sunt numai 3 permutări.
Numărul permutărilor cu repetiție
• Cele n 1 elemente de tip 1 se pot plasa în
C
moduri pe cele n poziții ale permutării, cele
n n
1 n 2 elemente de tip 2 se pot plasa în moduri pe pozițiile rămase,..., cele n k
C n n
2
n
1 obiecte de tip k se pot plasa în moduri.
n k n
n
1 ...
n k
1 • Numărul total de moduri va fi :
C n n
1
C n n
2
n
1 ...
C n n k
n
1 ...
n k
1
n
1 !
n n
!
n
1 !
n
2 !
n n
n
1
n
1 !
n
2 !
...
n
n
1 ...
n k
!
0 !
n k
1 !
n
!
n
1 !
n
2 !...
n k
!
Exercițiu
• • Avem un suport pentru bile cu 12 găuri. În câte moduri putem aranja 3 bile albe , 5 bile negre și 4 bile roșii pe suport?
Aranjamente cu repetiție
• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1 ,t 2 ,...,t k .
În câte moduri putem așeza obictele pe n poziții?
• Răspuns: pe fiecare poziție din cele n avem k variante de a pune un obiect, deci în total vor fi n k moduri.
• Ex: Un cuvânt de lungime 5 se poate forma din literele: A,B,C.
Câte cuvinte se pot forma?
Combinări cu repetiție
• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1 ,t 2 ,...,t k .
În câte moduri putem alege n obiecte dintre acestea ?
• Răspuns: Considerăm k+1 bare verticale: |||…|.
Excep tând prima și ultima bară, între acestea se vor găsi n obicte și k-1 bare, deci n+k-1 simboluri.
Între două bare consecutive vor fi obicte de k-1 același tip. Problema este să alegem poziții din cele n+k-1 în care să așezăm barele.
Aplicații
• Fie n și k numere naturale nenule. Numărul n se poate scrie ca sumă de k numere naturale în moduri.
n k
1
k
1 • Numărul de drumuri (mergând numai spre dreapta sau în sus ) de la origine până în punctul A(n,k) este
C n k
k