COMBINATORICA

Probleme de numarare

PERMUTARI

• Daca A este o multime cu n elemente atunci orice multime ordonata formata din toate elementele permutare a lui A.

sale se numeste • Ex: A={1,2,3} • Permutarile lui A: (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) • Numarul permutarilor lui A este n!

Exercitii

• In cate moduri se pot aranja numerele de la 1 la 100 astfel incat numerele pare sa fie pe pozitii impare si numerele impare pe pozitii pare?

• In cate moduri pot fi aranjate numerele de la 1 la n astfel incat numerele 1 si 2 sa fie vecine in aceasta ordine?

ARANJAMENTE

• Se numesc aranjamente de n elemente luate cate k (k

A k n

 (

n n

!



k

)!

• Ex: A={1,2,3,4} • Aranjamentele de k=2 elemente ale lui A sunt: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(3,2),( 4,2),(4,3).

Exercitii

• Din 10 discipline trebuie alcatuit un orar pentru o zi , format din 5 discipline. In cate moduri poate fi alcatuit orarul?

• Cate numere de 4 cifre distincte se pot alcatui folosind A={1,2, …8} ?

cifre din multimea • In cate moduri poate fi confectionat un steag tricolor, avand la dispozitie 7 culori?

COMBINARI

• Submultimile cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente se numesc combinari de n k.Numarul lor este elemente

C n k



k

!

 (

n n

!



k

)!

luate cate • Ex:A={1,2,3,4} Combinarile lui A de cate k=2 elemente sunt: {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}

Exercitii

• Intr-o clasa sunt 12 baieti si 15 fete. Se formeaza o echipa de schiori din 3 baieti si 4 fete. In cate moduri se poate forma echipa?

• Dintr-un pachet de 52 carti de joc se extrag 5 carti. In cate cazuri printre cele 5 carti se gaseste cel putin un as?

Exercitii

• Cate triunghiuri formeaza 8 puncte in plan, oricare trei necoliniare?

• Cate diagonale are un poligon convex cu n laturi?

• O multime are 25 elemente. Aflati numarul submultimilor cu cel mult 4 elemente.

Formule pentru combinari

• Numarul submultimilor cu k elemente este egal cu numarul submultimilor cu n-k elemente al unei multimi cu n elemente.

C n k



C n n



k

• Formula de recurenta a combinarilor:

C n k



C k n

 1 

C n k

  1 1

Formul ă

• 

C n

0 

C n

1  ...



C n n

 2

n

• Numarul submultimilor cu 0,1,2,...,n elemente este egal cu numarul total de submultimi ale unei multimi cu n elemente, deci 2 n .

Binomul lui Newton



a



b



n



C n

0

a n



C n

1

a n

 1

b



C n

2

a n

 2

b

2  ...



C n n

 1

ab n

 1 

C n n b n

• Membrul drept al relatiei se numeste dezvoltarea binomului a+b la puterea n.

• Termenii din dezvoltare au forma generala:

C n k a n



k b k not



T k

 1

Aplicație

• Arătați că există x n  2  3

n

 

x n



y n

3 și y n ecuației .



x n

,

y

naturale astfel  • Se poate demonstra ca toate solutiile ecuatiei sunt perechile de mai sus.

Soluție

 2   2  3 

n

3 

n



C n

0 2

n



C n

1 2

n

 1 

C n

0 2

n



C n

1 2

n

 1 3  ...



C n n

3  ...

  

n C n n

3

n

3

n



x n



y n



x n



y n

3 3 • Înmulțind cele două relații obținem: 1 

x n

2  3

y n

2

Permutări cu repetiție

• Avem n obiecte de k tipuri: n 1 obiecte de tip 2, ..., n încât n 1 +n 2 +...+n k =n.

k obiecte de tip 1, n 2 obiecte de tip k, astfel • O permutare a acestor obiecte se numeste permutare cu repetiție.

• Ex: Numerele sunt 2,3,3. Permutările sunt (2,3,3),(3,2,3),(3,3,2).

Dacă numerele erau distincte aveam 3!=6 permutări, având însă și numere egale, sunt numai 3 permutări.

Numărul permutărilor cu repetiție

• Cele n 1 elemente de tip 1 se pot plasa în

C

moduri pe cele n poziții ale permutării, cele

n n

1 n 2 elemente de tip 2 se pot plasa în moduri pe pozițiile rămase,..., cele n k

C n n

2 

n

1 obiecte de tip k se pot plasa în moduri.

n k n



n

1  ...



n k

 1 • Numărul total de moduri va fi :

C n n

1 

C n n

2 

n

1  ...



C n n k



n

1  ...



n k

 1 

n

1 !



n n

!



n

1  !



n

2 !

 

n n

 

n

1

n

1   !

n

2  !

 ...

 

n



n

1  ...



n k

!

0 !

n k

 1  !



n

!

n

1 !

n

2 !...

n k

!

Exercițiu

• • Avem un suport pentru bile cu 12 găuri. În câte moduri putem aranja 3 bile albe , 5 bile negre și 4 bile roșii pe suport?

Aranjamente cu repetiție

• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1 ,t 2 ,...,t k .

În câte moduri putem așeza obictele pe n poziții?

• Răspuns: pe fiecare poziție din cele n avem k variante de a pune un obiect, deci în total vor fi n k moduri.

• Ex: Un cuvânt de lungime 5 se poate forma din literele: A,B,C.

Câte cuvinte se pot forma?

Combinări cu repetiție

• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1 ,t 2 ,...,t k .

În câte moduri putem alege n obiecte dintre acestea ?

• Răspuns: Considerăm k+1 bare verticale: |||…|.

Excep tând prima și ultima bară, între acestea se vor găsi n obicte și k-1 bare, deci n+k-1 simboluri.

Între două bare consecutive vor fi obicte de k-1 același tip. Problema este să alegem poziții din cele n+k-1 în care să așezăm barele.

Aplicații

• Fie n și k numere naturale nenule. Numărul n se poate scrie ca sumă de k numere naturale în moduri.

n k

  1

k

1 • Numărul de drumuri (mergând numai spre dreapta sau în sus ) de la origine până în punctul A(n,k) este

C n k



k