Transcript Pavyzdys

JUNGINIAI
BirutėJarašiūnienė
Gretiniais be pasikartojimų
Turime n skirtingų daiktų. Kiek iš jų galima sudaryti
k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų elementų,
kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent vienu
elementu, arba jų tvarka?
A  n(n  1)...( n  k  1)
k
n
n!
A 
(n  k )!
k
n
Pavyzdys. Keliais skirtingais būdais galima sudaryti
trispalvę vėliavą, turint 5 skirtingų spalvų audinius?
Kadangi vėliava nuo vėliavos skiriasi arba spalvų
rinkiniu, arba jų tvarka, tai skirtingų vėliavų skaičius yra.
A53  5  4  3  60
Gretiniai su pasikartojančiais elementais
Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek iš jų galima
sudaryti k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų
elementų, kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent
vienu elementu, arba jų tvarka ir elementai junginyje
gali kartotis?
Ank  n k
Pavyzdys. Kiek skirtingų triženklių skaičių galima
parašyti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje?
Kadangi šiuo atveju n=10, o k=3.
3
A10
 103  1000
Iš tikro, tai skaičiai 000, 001, …, 998, 999.
Kėliniai be pasikartojimų
Junginiiai iš visų n elementų, besiskiriantys vienas nuo
kito tik juose esančių elementų tvarka vadinami
kėliniais iš n elementų arba, trumpiau, n-elemenčiais
kėliniais. Juos žymėsime
Pn  n(n 1)...3  2 1  n!
Pavyzdys. Susirinkime turi kalbėti 5 žmonės.
Keliais būdais galima sudaryti kalbėtojų sąrašą?
Aišku, kad kalbėtojų sąrašų skaičius yra
P5  5!  120
Deriniai be pasikartojimų
Visi galimi k-elemenčiai junginiai iš n elementų, kai
junginys nuo junginio skiriasi bent vienu elementu,
vadinami deriniais ir žymimi
k
A
n!
n(n  1)...( n  k  1)
k
n
Cn 


k! k!(n  k )!
k!
Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų.
Kiek skirtingų kombinacijų galima gauti?
52  51  ... 43
C 
 15.820.024 .220
10!
10
52
Deriniai be pasikartojimų - pavyzdžiai
Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų. Keliais
atvejais ištrauktųjų kortų grupėje bus bent vienas tūzas? Keliais
atvejais – tik vienas tūzas? Keliais atvejais – nemažiau kaip du
tūzai? Lygiai du tūzai?
Ištraukti 10 kortų yra
10
C52
būdų.
Skaičius atvejų, kai nėra nė vieno tūzo, lygus
10
C48
10
10
 C48
Todėl yra C52
atvejų, kai ištraukiamas bent vienas tūzas.
Tik vieną kartą ištraukti tūzą yra
9
C41  C48
būdų.
10
10
9
 C48
 4C48
Ištraukti ne mažiau kaip du tūzus yra C52
būdų.
2
8
C

C
Tiksliai du tūzus galima ištraukti 4 48
būdais
Deriniai su pasikartojimais
Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek skirtingų kelemenčių junginių iš n skirtingų rūšių daiktų galima
sudaryti, jei junginys nuo junginio skiriasi bent vienu
elementu ir elementai junginyje gali kartotis?
Cnk  Cnkk 1
Pavyzdys. Konditerijos parduotuvėje yra 4 rūšių
pyragaičių: eklerų, smėlinių, napoleonų ir sluoksninių.
Keliais būdais galima nusipirkti 7 pyragaičius?
C C
7
4
7
741
10  9  8
C 
 120
1 2  3
7
10
Derinių savybės
BirutėJarašiūnienė
Simetriškumo savybė
Cnk  Cnnk
Iškėlimo prieš sklaustus savybė
n k 1
C  Cn1
k
k
n
Šios savybės įgalina rekurentiškai apskaičiuoti derinių skaičių
Cnk 
n!
n
(n  1)!
n

 Cnk11
k!(n  k )! k (k  1)!(n  k )! k
Sudėties savybė
Cnk  Cnk11  Cnk1
Sumavimo savybė yra tampriai susijusi su Paskalio trikampiu
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1

(a  b)n  Cn0anb0  Cn1an1b  ... Cnn1abn1  Cnn a0bn
(a  b)  C a b  C a b  C ab  C a b
3
0 3 0
3
3 0
1 2
3
2
2
3
2
2
3 0 3
3
 1a b  3a b  3ab  1a b
0 3
Sumavimo savybės
Aptarsime dvi sumavimo savybes, kurių teisingumą galima
įrodyti remiantis sudėties savybe:
n
k
0
1
n
n
C

C

C

...

C

C
 mk m m1
mn
mn1
k 0
n
m
m
m
m
m1
C

C

C

...

C

C
 k 0 1
n
n1
k 0
čia n ir m – natūralieji skaičiai.
Binominių koeficientų savybė
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n
Šią savybę galima įrodyti remiantis garsiąja Niutono binomo
formule:
1 n1
n
n1
n
n1
(a  b)  C a b  C a b  ... C ab
n
0 n 0
n
Jei a=b=1 gausime
C a b
n 0 n
n
2n  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn