Transcript Pavyzdys
JUNGINIAI
BirutėJarašiūnienė
Gretiniais be pasikartojimų
Turime n skirtingų daiktų. Kiek iš jų galima sudaryti
k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų elementų,
kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent vienu
elementu, arba jų tvarka?
A n(n 1)...( n k 1)
k
n
n!
A
(n k )!
k
n
Pavyzdys. Keliais skirtingais būdais galima sudaryti
trispalvę vėliavą, turint 5 skirtingų spalvų audinius?
Kadangi vėliava nuo vėliavos skiriasi arba spalvų
rinkiniu, arba jų tvarka, tai skirtingų vėliavų skaičius yra.
A53 5 4 3 60
Gretiniai su pasikartojančiais elementais
Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek iš jų galima
sudaryti k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų
elementų, kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent
vienu elementu, arba jų tvarka ir elementai junginyje
gali kartotis?
Ank n k
Pavyzdys. Kiek skirtingų triženklių skaičių galima
parašyti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje?
Kadangi šiuo atveju n=10, o k=3.
3
A10
103 1000
Iš tikro, tai skaičiai 000, 001, …, 998, 999.
Kėliniai be pasikartojimų
Junginiiai iš visų n elementų, besiskiriantys vienas nuo
kito tik juose esančių elementų tvarka vadinami
kėliniais iš n elementų arba, trumpiau, n-elemenčiais
kėliniais. Juos žymėsime
Pn n(n 1)...3 2 1 n!
Pavyzdys. Susirinkime turi kalbėti 5 žmonės.
Keliais būdais galima sudaryti kalbėtojų sąrašą?
Aišku, kad kalbėtojų sąrašų skaičius yra
P5 5! 120
Deriniai be pasikartojimų
Visi galimi k-elemenčiai junginiai iš n elementų, kai
junginys nuo junginio skiriasi bent vienu elementu,
vadinami deriniais ir žymimi
k
A
n!
n(n 1)...( n k 1)
k
n
Cn
k! k!(n k )!
k!
Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų.
Kiek skirtingų kombinacijų galima gauti?
52 51 ... 43
C
15.820.024 .220
10!
10
52
Deriniai be pasikartojimų - pavyzdžiai
Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų. Keliais
atvejais ištrauktųjų kortų grupėje bus bent vienas tūzas? Keliais
atvejais – tik vienas tūzas? Keliais atvejais – nemažiau kaip du
tūzai? Lygiai du tūzai?
Ištraukti 10 kortų yra
10
C52
būdų.
Skaičius atvejų, kai nėra nė vieno tūzo, lygus
10
C48
10
10
C48
Todėl yra C52
atvejų, kai ištraukiamas bent vienas tūzas.
Tik vieną kartą ištraukti tūzą yra
9
C41 C48
būdų.
10
10
9
C48
4C48
Ištraukti ne mažiau kaip du tūzus yra C52
būdų.
2
8
C
C
Tiksliai du tūzus galima ištraukti 4 48
būdais
Deriniai su pasikartojimais
Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek skirtingų kelemenčių junginių iš n skirtingų rūšių daiktų galima
sudaryti, jei junginys nuo junginio skiriasi bent vienu
elementu ir elementai junginyje gali kartotis?
Cnk Cnkk 1
Pavyzdys. Konditerijos parduotuvėje yra 4 rūšių
pyragaičių: eklerų, smėlinių, napoleonų ir sluoksninių.
Keliais būdais galima nusipirkti 7 pyragaičius?
C C
7
4
7
741
10 9 8
C
120
1 2 3
7
10
Derinių savybės
BirutėJarašiūnienė
Simetriškumo savybė
Cnk Cnnk
Iškėlimo prieš sklaustus savybė
n k 1
C Cn1
k
k
n
Šios savybės įgalina rekurentiškai apskaičiuoti derinių skaičių
Cnk
n!
n
(n 1)!
n
Cnk11
k!(n k )! k (k 1)!(n k )! k
Sudėties savybė
Cnk Cnk11 Cnk1
Sumavimo savybė yra tampriai susijusi su Paskalio trikampiu
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b ... Cnn1abn1 Cnn a0bn
(a b) C a b C a b C ab C a b
3
0 3 0
3
3 0
1 2
3
2
2
3
2
2
3 0 3
3
1a b 3a b 3ab 1a b
0 3
Sumavimo savybės
Aptarsime dvi sumavimo savybes, kurių teisingumą galima
įrodyti remiantis sudėties savybe:
n
k
0
1
n
n
C
C
C
...
C
C
mk m m1
mn
mn1
k 0
n
m
m
m
m
m1
C
C
C
...
C
C
k 0 1
n
n1
k 0
čia n ir m – natūralieji skaičiai.
Binominių koeficientų savybė
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
Šią savybę galima įrodyti remiantis garsiąja Niutono binomo
formule:
1 n1
n
n1
n
n1
(a b) C a b C a b ... C ab
n
0 n 0
n
Jei a=b=1 gausime
C a b
n 0 n
n
2n Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn