Transcript Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

Didactical material for lesson:
“Newton’s binomial ”
Newton’s binomial
Lesson aim:
•Formula presentation (a+b)n, a,bє Ł si nєAt*
•Finding the properties for the terms coefficients from
this binominal development.
•Applications
2
1 Scrieţi
formulele pentru:
 a+b  ,  a+b  , găsiţi
5
4
3
Write the formula for : (a+b)³, (a+b)²,2 find a method
to calculate :
(a  b)
(a  b)
and
o modalitate de a calcula  a+b  şi calculaţi  a+b  .
Answer: :
Răspuns
and
4
5
(a  b)5
 a+b  =a 2 +2ab+b2
2
 a+b  =a 3 +3a 2b+3ab2 +b3
3
2 2
2
2
3


 a+b    a+b     a+b    a+b    a+b    a+b  
 a 4 +4a 3b+6a 2 b2 +4ab3 +b4
4
 a+b 
5
=a 5 +5a 4 b+10a 3b 2 +10a 2 b3 +5ab4 +b5 .
3
Answer the
following
questions:
What can you
say about the
number of terms
from each
development?
What can you
say about
letter’s
coefficients?
What can you
say about
letter’s
exponents?
4
4
Answers:
•The coefficients of the extreme terms and those
equally distant from the extreme terms are equal.
•The exponents of its power are decreasing from the
most high to 0.
•The exponents of “b” power increases from 0 to the
highest.
•The highest exponent for “a” and for “b” is the
exponent at which the binomial rises.
•The number of terms from the development exudes
with 1 the exponent at which the binomial it is risen.
5
n!
mula combininărilor C 
n  k, n,k 
k!  n  kk!
şi
k
n
2
Calculaţi numerele Cnk în situaţiile:
n k
2 Calculaţi numerele Cnk în situaţiile:
mula
combinărilor
complementare
C

C
obţinem:
Calculate
the
numbers
in
the
given
a) n  1; b) n  2; c) n  3; d)
e)situations:
n  5.
nk n n 4;
Calculaţi
numerele
Cd)
n în
a)
nn=1;
 1;2 b)
nn=2;
 2; c)
c)n=3;
n  3;d)
n situaţiile:
 4;
e)
n  5.
a)
b)
n=4;
e)
n=5.
Răspuns
C10 :1Răspuns
, C11 a) n1: 1; b) n  2; c) n  3; d) n  4; e) n  5.
Răspuns
:
n!
Answer:
2
n!
k Ck 
Folosind
combininărilor
C02  1, C1formula

2
,
C

1
combininărilor
n  k, n,k  n şi k, n
n
2Folosind
2formula
Using the
combination
formula Ck n  k!
n!
  n k!
kn !k,nn,k
Folosind
formula
combininărilor
C

 kşi !
n
0
1
2
3
k!  n  k ! k
n k
C3  1, C3  formula
3, C3  3formula
, Ccombinărilor
k
n k
3 1
utilizând
combinărilor
complementare
C

C
obţinem:
utilizând
complementare
C

C
o
n
n
and using the complementary combination
formula
n
n
k
n k
0
1
complementare
Cn  Cn obţinem:
1

1
,
C

1
 1, C14  4, C24  6utilizând
, C34  formula
4,CC1044 Ccombinărilor

1
1 1
, C111  1
0
0
C C1 1
, C21 ,C1 2  1
we obtain:
C
1
2
3
4 2  1, 11
5
0
2
2 2

1
,
C

2
,
C
1
05
1
2
C5  5, C5  10, C5 C
102, C

,
C

1
5 2  22, C2  12 3
0 5 C2 
1 12
,
C
C  1, C  3, C  3, C  1
3
C 0 1, C

3
,
C

3
,
C
1
C4  1, CC 1, 4C, C243,C6,C334, C 4,1C44 3 1
10
2 2
3 4
4
1
3

1
,
C

4
,
C

6

4
,
C
1
0 , C C14 
2C
3, C
44  4
5
C04 C1
4
,

6
,
C

,
C
4
4
4
4
4
4
 1, C  5, C  10, C  10, C  5, C 4 1 1
3
0
3
5
5
1
0
313
4
3
5
1
3
32
2
33
5
3 3
5
3
3
3
5
5
C 5
 1,, C
 10,, C
 5,, C
C  1 5, C5  1
C50  1, C15 
C5 5,C 10
C5 10, C10
5
5
0
5
1 2
5
2
5
4
5
5 4
5
6
Calculaţi numerele Ckn în situaţiile:
Wen observe
in the second problem:
 1; b)
 2; c) n the
3; d)following
n  4; e) n situation
 5.
puns :
n!
osind formula combininărilor Ckn 
n  k, n,k  şi
k!  n  k  !
The coefficients from the development are exactly the
k
n k
zând formulanumbers
combinărilor
complementare
obţinem:given:
obtained
calculating Cn 
in C
the
n situations
C10  1, C11  1
a)0n1; b) n2;
c) n3;2 d) n4; e) n5, namely:
1
C2  1, C2  2, C2  1
a)
1
C  1, C  3, C  3, C  1
0
3
b)1
1
3
2
3
1
3
3
1
24
1
C  1, C4  4, C  6, C  4, C4  1
0
4
c)
2
4
1
3
4
34 3
1
C  1, C  5, C  10, C  10, C5  5, C  1
0
5
1
5
d)
e)
2
5
3
5
1
1
4
5
6
10
5
5
4
10
1
5
1
Thus grouped it can be seen a way to calculate these
numbers from closely to closely.( Pascal’s triangle)
7
Newton’s formula
Are loc următoarea:
There is: Binomial’s theorem , a,bє Ł si nєAt*, then
Teoremă  a binomului  .
Fie a, b  , n 
. Atunci :
 a+b  =C0n a n +C1n a n 1b+C2n a n  2b 2 +..... + Ckn a n  k b k +.....+Cnn 1ab n 1 +Cnn bn
n
cunoscută sub denumirea de formula lui Newton.
also as
formula. fizician englez 1643-1727   .
Isaac Newton
matNewton’s
ematician, astronom,
known

Isaac Newton, English mathematician, astronomer,
physician (1643-1727)
Demonstraţie cu metoda inducţiei matematice:
Demonstration
mathematic
induction method:
Etapa
I. Verificare: using
P 1 : ...munca
independentă...
Step I. Verification : P(1): ……. Independent work …..
8
Theorem demonstration :
Fie P  n  :  a+b  =C0n a n +C1n a n 1b+Cn2 a n 2 b 2 +..... + C nk a n k b k +.....+C nn b n , n  .
n
I. Verificare: P 1 :
 a+b 
1
=C10a+C11b
 A;
II. P  n   P  n+1 :
P  n+1 :  a+b 
n +1
k
n +1
=C0n+1a n +1 +C1n+1a n b+.....C n+1
a n +1k b k +.....+C n+1
b
? 
n+1
P  n+1 :  a+b  a+b  =  a+b   C0n a n +C1n a n 1b+.....+C kn a n k b k +.....+C nn b n  =
n
=C0n a n +1 +C1n a n b+....+Cnk a n k +1b k +...+C nn b n +C0n a n b+C1n a n 1b 2 +.....+
+Ckn a n k b k +1 +.....+Cnn b n +1 
 a+b 
n +1
= C0n a n +1 +  C1n +C0n  a n b+  C 2n +C1n  a n 1b 2 +....+ Cnn Cnn b n +1
C0n+1
C1n +1
Cn2 +1
A .
Cn+1
n+1
Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P  n  este adevărată n 

9
.
Specifications regarding Newton’s formula:
1k
kn
n
0
10
1) Coeficienţii
C
,
C
,
...C
,...,
C
se numesc
coeficienţi
binomiali
1) Coeficienţii
C
,
C
,
...C
,...,
C
se
numesc
coeficienţi
binomiali
n
n
n
n
0 n 1 n
k n
n n
1) Coeficienţii Cn , Cn0 , ...C
coeficienţi binomiali
1 n ,..., kC n se numesc
n
dezvoltării
în
număr
de
n
+1
.
1) aiCoeficienţii
Cşinîn
,sunt
Cnumăr
,
...C
,...,
C
se
numesc
coeficienţi
binomiali
ai dezvoltării
şi sunt
de
n
+1
.
1.the
coefficients
are
called
binomial
coefficients
n
n
n
dezvoltării şi sunt în număr de n +1 .
of ai
the
development
andcoeficientul
are
in number
A
sedistincţie
face distincţie
între
coeficientul
al termen
unui termen
A se
face
al unui
şi şi
ai
dezvoltării
şiîntre
sunt
în
număr
de binomial
n +1binomial
. of n+1.
A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi
A coeficientul
se face distincţie
între
binomial al
unui
termen şicoefficient
nucmeri
c coeficientul
al acelui
termen!
nu
al
termen!
Is coeficientul
necessary
tomeri
make
aacelui
distinction
between
the
binomial
coeficientul numeric al acelui termen!
coeficientul
meric al acelui
termen! of the same term.
of a term
and thenunumerical
coefficient
2)n+1
Ceitermeni
n+1 termeni
2) Cei
sunt: sunt:
2.2)Those
n+1
are
Cei 0n+1
termeni
sunt:n 1 2 n 2 22 n 2 2
0 n termeni
n n
n n+1
1 n 1 1 sunt:
k n-k kk n-k k
n n
2)
Cei
T
=C
a
,
T
=C
a
b,
T
=C
a
b
,....,
T
=
C
a
b
,....,
T
=C
b .
T1 =C
a
,
T
=C
a
b,
T
=C
a
b
,....,
T
=
C
a
b
,....,
T
=C
b
.
1
n
2
n
3
n
k+1
n
n+1
n
n
2
n
3
n
k+1
n
n+1
n
0 n
1 n 1
2 n 2 2
k n-k k
n n
T1 =Cn a , 0T2n=Cn a 1b, nT13 =Cn a 2b n,....,
Tk+1 = Cn a b
,...., Tn+1 =Cn b . n n
T1 =Cn a , T2 =Cn a b, T3 =Cn a 2 b 2 ,....,
Tk+1 = Cnk an-k bk ,....,
Tn+1 =Cn b .
0
20
42
4
3) Numerele
naturale
Cn numesc
... seare
numesc
3) Numerele
naturale
C
, CC , ,CC..., se
3. The
natural
numbers
called binomial
0 n 2 nn 4 nn
3) Numerele naturale Cn , Cn0 , Cn2... se4 numesc
1
31
53
5
coefficients
of odd
rank,
numbers
3) coeficienţi
Numerele
naturale
Cde
, imp
Cn , the
Cimp
se
numesc
coeficienţi
binomiali
de rang
ar,
iar
numerele
C
,
C
,
C
....
binomiali
rang
ar,
iar numerele
C
,
C
,
C
nand
n ...
n
n
n
n
n
n ....
1
3
5
coeficienţi
binomiali de
rang impar,ofiareven
numerele
C , C , C ....
are
binomial
coefficients
rank.
secalled
numesc
coeficienţi
binomiali
de rang
par.
se numesc
coeficienţi
binomiali
rang
par. n C1n, C3n, C5 ....
coeficienţi
binomiali
de rang
imp
ar,deiar
numerele
n
n
se numesc coeficienţi binomiali de rang par.
numesc coeficienţi
binomiali
de rangofpar.
4. In se
Newton’s
formula the
exponents
a powers are
n
4) În4)
formula
lui nNewton
exponenţii
puterilor
a descresc
În from
formula
lui 0,
Newton
exponenţii
puterilor
lui a descresc
decreasing
to
and
exponents
oflui
b power
are
4) În formula
lui Newton
exponenţii puterilor lui a descresc
increasing
from
toNewton
n.
de la
nÎnla
0,
iar0,0
exponenţii
puterilor
lui bputerilor
cresc
delui
la ade
0 descresc
lalan.0 la n.
laformula
n la
iar
exponenţii
puterilor
lui b cresc
4) de
lui
exponenţii
de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la n.
de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la n.
10
Specifications regarding Newton’s
formula ( continuation)
ţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi
5) Coeficienţii
binomiali
ai1 termenilor
egal depărtaţi
5. The
of
the
terms
those equally
distant
1
n
2 extreme
n  2 extremi
kşi cei
nand
 kai termenilor
iextremi
binomiali
aibinomial
termenilor
extremi
cei
ai
termenilor
egal
depărtaţi
sunt
egali:
C0ncoefficients
=Cnn , Cşi
=C
,
C
=C
,
....
,
C
=C
.
n
n
n
n0
n
1n
nn1
2
n 2
k
n k
from ai
the
terms
are
equal
:
binomiali
termenilor
extremi
şi
cei
ai
termenilor
egal
depărtaţi
deextreme
termenii
extremi
sunt
egali:
C
=C
,
C
=C
0
n
1
n 1
2
n  2n
kn
n n k , C n =C n , .... , C n =C n .
n
xtremi sunt egali: Cn =Cn , Cn =Cn , C n =C n , .... , C n =C n .
n
1
n 2
n k
xtremi6.sunt
egali:
C0n =C
, C1n =Cnnis
,even,
Cn2 =Cn=2k,
, ....then
, C nk =C
.
n
n
n
If
the
power
exponent
the
onentul puterii este par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni,development has 2k+1
6) Dacă
par highest
n=2k atunci
dezvoltarea
are 2k+1 termeni,
exponentul
puterii
estethe
then=2k
middle
term
has
binominal
coefficient
:
ul
dinterms,
mijlocare
coeficientul
binomial
cel
mai mare:
nentul
puterii and
este
par
atunci
dezvoltarea
are 2k+1 termeni,
iarpar
termenul
din mijlocare
coeficientul
cel mai mare:
entul puterii este
n=2k
atunci
dezvoltarea
are 2k+1binomial
termeni,
n
din mijlocare coeficientul
cel mai
C0n  binomial
C1n  C2n ....
C kn mare:
C k+1

....

C
.
n 0
n2
1
k
k+1
din mijlocare coeficientul
binomial
cel
mai
mare:
C

C

C
 ....  C nn .
0
1
2
k
k+1 n
n n n ....  C n  C n
onentul
puterii
este impar
n=2k+1
atunci
are
Cexponent
C
 C nis
....
 C ndezvoltarea
 C n  ....then
 C2k+2
.
If the
power
odd,
0n
1n
2
k n=2k+1,
k+1
nn the development has 2k+2
Dacă
puterii
C nexponentul
 C n  C n ....
 C n este
 C nimpar
 ....n=2k+1
 C n . atunci dezvoltarea are 2k+2
xistă
doi
termeni
mijlocul
cu in
coeficienţii
entulterms
puterii
este la
impar
n=2k+1
atunci
dezvoltarea
are binomiali
2k+2of the development with
and
there
aredezvoltării
two
terms
the middle
termeni
există
doi
la mijlocul
dezvoltării
cu
entul puterii este
imparşin=2k+1
atunci
dezvoltarea
are
0
1 termeni
2
k
k+1 2k+2
k+2
n coeficienţii binomiali
equally
and
of
highest
value
stă doi
termeni
la mijloculcoefficients
cu
coeficienţii
binomiali
aloare
cea
mai binomial
mare:
Cdezvoltării

C

C
....

C
=C

C
....

C
.
n
n
n
n
n
n 1
0
2 n
tă doi termeniegali
la mijlocul
dezvoltării
binomiali
şi de valoare
mare:
Cn  Cnn....  Ckn =Ck+1
 Cnk+2 ....  Cnn .
0
1 cea mai
2cu coeficienţii
k
k+1 C
k+2
n 
n
oare cea mai mare:
C0n  C1 n  C2n ....  Ckn =Ck+1
 Ck+2
n
n ....  Cnn .
oare cea mai mare:
Cn  Cn  Cn ....  Cn =Cn  Cn ....  Cn .
portant în rezolvarea problemelor
legate de binomul lui Newton
7. An important
role,
in
resolving
problems
related
with
Newton’s
binomial,
7) Un rol important în rezolvarea
problemelor
legate de
binomul
lui Newton
k
n-k
k
ortant general
în rezolvarea
problemelor
legate
menul
deby
rang
k+1:
Tk+1term
=de
C nbinomul
ahaving
b , klui
∈ Newton
0,1,
2,....,n
is
played
the
general
the
rank
k+1:k n-k k
rtant în rezolvarea
problemelor
legate
de
binomul
lui
Newton
îl joacă termenul general kden-krang
Tk+1 = C n a b , k ∈ 0,1, 2,....,n
k+1:
enul general de rang k+1:
Tk+1 = Ckn an-k bkk , k ∈ 0,1, 2,....,n

nul general de rang k+1:
Tk+1 = C n a b , k ∈ 0,1, 2,....,n
11
Aplication:
1
Calculaţi 1+2x  folosind formula lui Newton.
1
Calculaţi 1+2x 6 folosind
formula lui Newton.
6
6 6  folosind formula lui Newton.
1 ce
Calculaţi
1+2x

1Calculate
Calculaţi
1+2x
folosind
luiformulei
Newton.completaţi:
aţi dezvoltat
cuformula
ajutorul

 folosind
11.1După
Calculaţi
1+2x
folosind
formula
luilui
Newton.
 1+2x
 using
Newton’s
binomial.
După Calculaţi
ce aţi dezvoltat
binoamul
cu
ajutorul
formulei
formula
Newton.completaţi:
binoamul
ce
aţi
dezvoltat
binoamul
cu
ajutorul
formulei
completaţi:
After
the
binomial
using
theformulei
formula
complete
the
a)După
Tdeveloping
=................
După
ce
aţi
dezvoltat
binoamul
cu
ajutorul
formulei
completaţi:
4
După
ce
aţi
dezvoltat
binoamul
cu
ajutorul
completaţi:
a) Tce
=................
După
aţi
dezvoltat
binoamul
cu
ajutorul
formulei
completaţi:
4
following:
a)
T
coeficientul
binomial al lui T3 este..........
4 =................
a)
T
=................
4
a) a)
Tb)
=................
b)
binomial al lui T3 este..........
4 Tcoeficientul
=................
4 = ………………………
b)coeficientul
coeficientul
al
lui
T3este..........
este..........
c)The
coefi
cientul
luibinomial
T5 aleste..............
b)
binomial
al
lui
T
binomial
coefficient
of
is
…………………..
3
b) b)
coeficientul
binomial
lui
T
este..........
coeficientulbinomial
lui T5 este..............
b)c)coeficientul
al lui3 T3 este..........
c)coefi
coefi
cientul
lui
T
The
coefficient
of
is ………………………
termenul
liber
al
dezvoltării
este..............
5 este..............
c)d)
cientul
lui
T
este..............
5
c) c)
coefi
cientul
lui
T
este..............
d)
termenul
liber
al
dezvoltării
este..............
5
c) The
coefifree
cientul
luiofTthe
5 este..............
d)
term
development
is ………………………….
5
d)
termenul
liber
al
dezvoltării
este..............
d)
termenul
liber
al
dezvoltării
este..............
d)
termenul
care
conţine
x
este................
5
d) e)
termenul
liber
al contains
dezvoltării
d)The
termenul
care
x este..............
este................
d)
termenul
liber
alconţine
dezvoltării
term
that
iseste..............
…………………….
5
5
9
d)termenul
termenul
care
conţine
este................
5 x
d)
care
conţine
e)The
termenul
care
conţine
x5 9xeste................
este................
term
that
contains
is
…………………….
d) f)
termenul
care
conţine
x
este................
termenulcare
careconţine
conţinexx este................
este................
d)e)termenul
9x 9 este................
e)
termenul
care
conţine
9
e) termenul
care
conţine
x9 este................
e) e)
termenul
care
conţine
x xeste................
termenul
care
conţine
este................
6
6
12
Answer:
1
2
3
4
5
6
6
2 6  32x  3+C
3 6  42x
4 6 452x  +C
55 6  62x  5 6
1 1+2x

2x+C
+C
222x  +C


1
1 6 6=1+C
2
3
4
6
6
6
2 2 22 3 3 3
3 3 33 4 4 4
4 4 44 5 5 5
5 5 55 6 6 6
6 6 66
6 6 =1+C
1 111 2x
2 222 
11+2x
1+2x
2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+2x  =1+C

2x+C
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C

















3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
2
3
4
5
6
6
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
1 111+2x
=1+C

2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
=1+C

2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
6
2
3
4
5
6
=1+C
6+C
6+C
6+C
6+C
32x
42x
52x
1+2x
2 +C
3 +C
4 +C
5 +C
161  662x
2
12x+C
2 
32x
42x
52x
6 66
6 666 2x+C
6+C
6+C
6+C
6+C
662x
662x
662x
662x
1 11+2x
=1+C
2x
:1+2x

6 2x
=1+C

2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
111+2x

2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
=1+C

2x+C
2x








1+2x
 =1+C
















Astfel
6
6
6
6
6
62x
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6 62x
Astfel
:
Thus:
Astfel
Astfel
: ::3::
Astfel
3
Astfel
3
Astfel
:
Astfel
:
Astfel
:
3
3
a)
T
=C
2x
=160x


3
3
3
3
4 3 633
3 33 3
3 333
a)
T
=C
2x
=160x
=C 6  2x
=160x



3
4
6
3
3
a) a)a)
Ta)4 T
=C
=160x
3
T4T4=C
=C
=160x
 62x
2x
32x
3=160x
32x
3 33
6=C
662x
=160x


2
4 a)
T
=C
2x
=160x
a)
T
=C
2x
=160x
a)
T
=C
=160x






6
b) coeficientul
al termenului T3 este C
=15
4 4 4 6 6binomial
22
2 6C
2C
22 =15
ficientul
binomial
al
termenului
T
este
b)
coeficientul
binomial
al
termenului
T
este
3T
62=15
3este
6=15
b) b)
coeficientul
binomial
al al
termenului
este
C6C=15
coeficientul
binomial
b)
coeficientul
binomial
alaltermenului
termenului
este
CC
b)
The
binomial
coefficient
of 4 T3 T
22
3T
6 6=15
3is
b)
coeficientul
binomial
termenului
este
=15
4
3T T
6C C
b)
coeficientul
binomial
al4termenului
termenului
T
este
C
=15
coeficientul
binomial
al
este
b) b)
coeficientul
binomial
termenului
este
=15
c) coeficientul
termenului
T5 al
este
C

2
=240
3
6=15
3
6
3
6
4
4
4
42
4 6C
44  4=240
4 =240
ficientul
termenului
T
este
C
c)
coeficientul
termenului
T
este
2
4 =240
4=240
5
coeficientul
termenului
c) c)c)
coeficientul
termenului
T5 TT
este
C66CC
C
coeficientul
termenului
este
242=240
4 4 44
4=240
5T
62662
55este
c)
The
coefficient
of
is
coeficientul
termenului
este

5
6
coeficientul
T
este
C
2 =240
=240
coeficientul
T
este
C
c) c)c)
coeficientul
T
este
C

2
=240
d) termenul
liber esttermenului
e termenului
Ttermenului
=1
5 55
6 66 2
1
menul liber
est
e
T
=1
d)
termenul
liber
est
e
T
=1
1 estest
1=1
d) d)
termenul
liber
eest
Te1ee=1
liber
TT1T1=1
d)
termenul
liber
5
d)termenul
termenul
liber
est
5
5
1 5=1
d)
termenul
liber
est
e
T
=1
d)
termenul
liber
est
e
T
=1
d)
termenul
liber
est
e
T
=1
d)
The
free
term
1
1
1
5
e) termenul care conţine
x
este
T

C
2x
5 192x
5
56  5 5 5 5
5
5
6
5 5x5Teste
5 C
5192x
5
5 55
5 2x
x
este
C
menul care
conţine

5 
e)
termenul
care
conţine
T
2x
192x



5
5
5
6
6
6
6
55
x xxeste
e) e)e)
termenul
care
conţine
6T6C
5192x
care
conţine
6CC
192x
termenul
care
conţine
este
52x
TC6T2x
2x
59T
5192x
5T65T
52x
5 55
62x
x este
este
192x
e)termenul
termenul
care
conţine

6
6
e)
termenul
care
conţine
x
este

C
2x

192x
e)
termenul
care
conţine
x
este
C
2x

192x
e)
termenul
care
conţine
x
este
T
C

192x






e)
The
term
that
contain
is
e) nu există termen care conţine
6 66 6 66
9 x
9 9x99
există termen
care
conţine
x
e)
nu
există
termen
care
conţine
9
e) e)e)
nu
există
termen
care
conţine
x xxx 9 99
există
termen
care
conţine
nu
există
termen
care
conţine
e)nu
există
termen
care
conţine
e)nue)e)
nu
există
termen
care
conţine
x xx
nu
există
termen
care
conţine
nu
există
termen
care
conţine
6
2
3
4
5
6
6
f) there is no term that contains
13

Aplication:
1+2x 
fel :
6
2
3
4
5
=1+C16  2x+C
2x
+C
2x
+C
2x
+C
+C






6
3
4
6 1
62
65  2x
2
3
46
5
6  6
1 1+2x  =1+C6  2x+C6  2x  +C6  2x  +C6  2x  +C6  2x  +C6  2x 
Application:
2
3
4
2. Calculate
Newton’s
formula
and
2Astfel
Calculaţi
z=  y-i  using
folosind
lui2 Newton
6 formula
2
1
3
:
5
5
1 questions:
1+2x  =1+C6  2x+C6  2x  +C6  2x  +C  2x  +
3 following
answer
the
T4 =C  2x şi =160x
răspundeţi la3 următoarele
întrebări:
3
a) T4 =C=36 …………………..
a)
 2x  =160xAstfel
:
2
=..................
coeficientula)binomial
al termenului
este
C
=15
b)T4 the
binomial
coefficient of T
is
…………….?
26
33
3
3
b)
coeficientul
binomial
termenului
T3 este C6 =15
a) Tal
2xT 4=160x

c)coeficientul
the coefficient
of
islui
…….?
4 =C
64
b)
binomial
al
este...........
3 =240
coeficientul termenului T5 este C 6  2
4
4
d)
Re
(z)=……………….
c)
coeficientul
termenului
T
este
C

2
=240al termenului T este C2 =15
5
6binomial
b)
coeficientul
c)
coeficientul
lui
T
este.....
.....
3
6
termenul liber
T1 =1 4
e) est
Im e(z)=……………….
3
6
3
3
4
4
6
termenul
liber estec)T1coeficientul
=1
4
4
d)d)Re
5
 z  =.......
termenului
T
este
C

2
=240
5
5
5
65
ermenul care conţine x este T5 6  C 6  2x
 5  192x
5
5
x
este
T
C
2x
192x
termenul
care
conţine




e)e)Im
z
=............
 
d) termenul
liber
est
6
6 e T1 =1
9
nu există termen care conţine x
9
5
e) nu există termen care
conţine
x
e) termenul care conţine x 5 este T6  C56  2x   192x 5
e) nu există termen care conţine x
14
9
Answer:
2
5551 55 4551 11 41414 44 2 32 2 32 3223 33 323 2
22223 3 2332 22 443 333 4 4 44 5 54 444 5 5 55
5 555
5
=y
+C
y
i
+C
y

i
+C
y +C
y+C
+C
i+C
i6+C
iyi5ii5=y
+C
y

+C
y

i
+C
yiyi3yy2+C
i4i5
yi y4+C
y5+C
i5i
56ii
+C
y

i
+C
y

i
+C
y
+C
y+C
i+C
+C
i+C








2y2 2222 iyy6yyy=y







5
1
4
2
3
2
3
5 y25yy 
5+C
5
5+C
5+C
5
5
5
5
5
5
5
5
i
=y

i
y

i
+C
i
y
i
=y
+C
i
+C
y

i
+C
=y
+C

i
y

i
i
i




1
3
4
5












 i =y +C
i +C
i +C
i +C
+C
5 5y
5 55y
5 55y
5 55y i
5 55 ii
5
5 5
2 2 2
33
3
4 4
4
5
5
5  +C  2x5 +C  2x 5
1 1+2x5  =1+C
 2x+C5  2x  +C 5  2x  +C  2x
6
6
55 5 5 165 4 1 1 44 26 3 22 333 23 362 2 4 4 4 5 56 5
55 5 55
4C+C
23y 333i+C
32y22y
2y
1yC
2 +C
4 
5 5
5

=y
CC
y5+C
 
y

iyyyy=y
=y
C
iC
i iii5=y
yC
y3i+C


5
5y
55y
5 +C
5 i+C
5y
55y
5
5 CC
5iC

y
i
=y
yi44y
Cy5522+C
yi+C
i+C
C

y115i15i4y
y533i+C
y554455i4y
i5555iii
=y
C
y5
ii
C
yy+C
yiyC
C

5
y

i
=y

C
i
C
y
+C
y
i+C
C
5C
5
5
5
5
5
5
5
5
AstfelIn: conclusion : 5
În
concluzie:
ÎnÎnconcluzie:
În concluzie:
În
concluzie:
concluzie:
În
concluzie:
3
În
concluzie:
3
3
3 
4 2x
3 34 3 4=160x
a)
T
=C
4
3
4
3
4
4=C
6T4 i=C
a)
a) Ta)4a)
yT
Ta) =C
y5y3yiyyii4 ii
5=C
T=C
a)
=C
4
4
55y i
a)a)4T5 4T
=C
4 5 5
222 2
2 2
22
b)b) coeficientul
binomial
alaltermenului
TT3T3 3este
Ceste
=10
b)
coeficientul
binomial
alaltermenului
termenului
T
este
CC
b)
coeficientul
binomial
este
=10
coeficientul
binomial
termenului
este
C
=15
the
binomial
coefficient
of
is
5este
3TT
5 =10
56este
b)b)
coeficientul
binomial
termenului
=10
b)
coeficientul
binomial
al
termenului
T
C
=10
b)
coeficientul
binomial
al
termenului
C
=10
5 5
55=10
b) coeficientul binomial al termenului 3T333 este C
34 3 3 4
3 3
33
c)c) coeficientul
terme
nului
T
este
C
i=10i
c)
coeficientul
terme
nului
T
este
C
c)
coeficientul
terme
nului
T
este
Ceste
i=10i
4
5este
4
5 i=10i
4
5
c)
coeficientul
terme
nului
T
este
C
i=10i
c)
coeficientul
terme
nului
T
C
i=10i
c)
coeficientul
terme
nului
T
C
i=10i
coeficientul
termenului
T
este
C

2
=240
c)
The
coefficient
of
is
4T44 este
5 55i=10i
c) coeficientul termenului
C
5
4 6
5
5 5 3
33
55
3+5y
33
5 10y
d) Re
zRe


10y
+5y
d)d)d)
Re
zyz5z
y
10y
+5y
d)
Re

y



5
3

y

10y
+5y
Re
z

y

10y
+5y
d)
Re
z

y

10y
+5y



d) termenul
liber
est
e
T
=1
d)
d) Re  z   y  10y
+5y
1
4
44 2
2
4 +10y
44 12 221
2
e) e)
Im
z


5y
+10y
Im
z


5y
+10y
e)
Im
z


5y






4
5
e)e)
e)
Im
5y
5y
+10y
11
11
Im
5y+10y
+10y
 zzzz5y
5 2 
5
5
e)e)ImIm

+10y
e) termenul care conţine x este T6  C6  2x   192x
e) nu există termen care conţine x 9
15
5
Aplication:
8
 2 2  2 8 2 8
3 Fie binomul  x + 32  . Să

2 se determine:
Fie binomul
x
+
Să se determine:
3 Fie3binomul
x
+
.
Să
 x   3  3 se. determine:
x  x 
3. It is given the binomial

a) You
Termenul
al treilea
al dezvoltării.
determine:
a)to
Termenul
al treilea
al dezvoltării.
a) have
Termenul
al treilea
al dezvoltării.
the thirddin
term
of the development.
b)a)
Termenul
mijloc.
b) Termenul
din mijloc.
b) Termenul
din mijloc.
b) the middle term.
c) Rangul termenului ce conţine pe x 6 . 6
c) c)
theRangul
rank
oftermenului
the term
that
contains
ce conţine
pe x .pe x 6 .
c) Rangul
termenului
ce conţine
d) d)
Termenului
ce conţine
pe x1 . 1
the term that
contains
d) Termenului
ce conţine
pe x . pe x1 .
d) Termenului
ce conţine
the freeliber
termdin
in the
development (do not
e) e)
Termenul
dezvoltare.
e) Termenul
liber din
dezvoltare.
e)
Termenul
liber
din dezvoltare.
develop
the
binomial!)
binomul!
 nu dezvoltaţi
binomul!
nu
binomul!
 nu dezvoltaţi

 dezvoltaţi

16
Answer:
k
8

k
8

k
k
2k
2 k k 8 k
8
2 3
k+1k k+1
82 k8 k8 2 k
k+1
8
k+1
8
3
k+1
8
k
23 k 8 k
8 k
k
2k+1
2
8
8

2
8

2
k+1
8
2
22 3 2 2
8 2 2 8 2
2
8

28 2 2
3
2+1
82
3 2 2+1
3
3
2+1
8 2 8 23
3
2+1
8
3
2+1
8
2 32
8 2
23
22+1
8
3
2+1
8
3
4
8

4
8

4
4
24
2 4 4 8 4
8
4
23
4
2
8

4
5
4+1
82
5 4 4+1
8
5
4+1
8
5
4+1
8
3
5
4+1
8
4 3 24 8 4
8 4
45
24+1
68
6
6
63
5
4+1
8
6
k
 2  2k  k
3 Temenul
general
este:este:
T =C
x x 2 2 ,3 k2,k0,1,...,8
3 Temenul
general
T =C
 0,1,...,8
  

k 3 Temenul
k
3
Temenul
general
este:
T
=C
x

,
k

0,1,...,8
general
este:
T
=C
x

,
k

0,1,...,8






20,1,...,8
3 Temenul general este: T =C  x    x x, kx
3 


k
2 8 k  2 
x




x
2
Tk+1 =C8  x    3  , k 30,1,...,8
Temenul
general este: T =C      3 2 , k  0,1,...,8
este:
3
Temenul
general
T =C  x     ,2k
x
2x2 0,1,...,8
3.
The
general
term
is:
2 2 6  6
 a) Luăm k=2 şi obţinem

2
x
T
=T
=C
x
=112x

a) Luăm k=2 şi obţinem T =T =C
x2   3  6 =112x
=C


6
6


2a) Luăm
2 =112x
a)
Luăm
k=2
şi
obţinem
T
=T
x
k=2
şi
obţinem
T
=T
=C
x
=112x




x
a) Luăm k=26 şi obţinem T =T =C  x    x=112x
x2x3 
2
2 8 2  2 

 6 =112x 6
x
we
take
k=2
and
we
obtain
2
=T2+1 =C8  x  a)
=112x
a)
Luăm
k=2
şi
obţinem
T
=T
=C
x








 şi
3 b) Cum
3 şi
n=8
înseamnă
dezvoltarea
9are
termeni
b) Cum
n=8
înseamnă
că dezvoltarea
9 termeni
a)
k=2
şi
obţinem
Tînseamnă
=Tcăcă=C
x dezvoltarea
=112x

xLuăm
xtermeni
are
b)

b)
Cum
n=8
că
are
9
b)
Cum
n=8
înseamnă
dezvoltarea
are
9
termeni
Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are9xtermeni
şi 4 şi şi

dezvoltarea are 9b)termeni
şi
b) Cum
n=8that
înseamnă
că dezvoltarea
24  4 şi
 termeni
how n=8
means
the
development
hasare
92 29şi
4
4
2
b) Cum
n=8
înseamnă
că
dezvoltarea
are
9
termeni
termenul
din
mijloc
este
T
=T
=C
x
=1120x
.


termenul
din
mijloc
este
T
=T
=C
x
=1120x
.4





4


 44 =1120x
 2xx   x 3 =1120x
4termenul
termenul
din
mijloc
este
T
=T
=C
.
din
mijloc
este
T
=T
=C
x
.
terms
and
the
middle
term
is




termenul
din
mijloc
este
T
=T
=C
x
=1120x


3  .


8

4


2
2






4
=T4+1 =C84  x 2   3  =1120x
. din mijloc este T =T =C
termenul
 2xx  x  3x 4=1120x 4 .
termenul
dinPentru
mijloc
Ttermenul
=T care
=Ccare
x conţine
=1120x
. formula
Pentru
a găsi
termenul
conţine
x folosim
din
lui Tlui
c)
a este
găsi
x folosim
din


x c)
xdinformula
k+1 Tk




c)
Pentru
a
găsi
termenul
care
conţine
x
folosim
din
formula
lui
c)
Pentru
a
găsi
termenul
care
conţine
x
folosim
formula
lui
Tk+1
c)c)inPentru
orderato
find
the term
that
contains
use
x wedin

găsi
termenul
care
conţine
x
folosim
formula
lui
T
k+1
6
factorul
x cu xexponentul
său:
factorul
cu
exponentul
său:
din
formula
lui
T
re conţine x 6 folosim
c)
Pentru
a
găsi
termenul
care
conţine
x
folosim din formula lui T
6
from
its
formula
the
factor
x
with
its
k+1
factorul
x cu exponentul
factorul
xtermenul
cu exponentul
său: său:
c)factorul
Pentru
ax găsi
care
conţine
x
folosim
din
formula lui Tk+1
cu exponentul
său:
k
k
exponent:
k 2 81
k  x1kcu
u:
k 6 2 8k  2 8său:
factorul
6exponentul
k3k

2 8
6
3k
6
k 8 
k
8

k
factorul
x
cu
exponentul
său:
1
1
x

=x

x

x
=x

16
5k=6
 k=2
 T3
. T3 .
x

=x

x

x
=x

 5k=6
 k=2




2
8

k
2
8

k




2
6

3k
616




2
6

3k
6
8

k
 6 3 =x
 k 2
k x
 8=x
 3kx x 6 =x
2  x  1x  3 
x
=x

16

5k=6

k=2

16

5k=6

k=2

T
. T3 .
x
x
3


x

=x

x

x
=x

16

5k=6

k=2

T
.






3
3


8

k
k
1
3


 x   6
3
3k
6
x T
 x 3k =x 6  16  5k=6
x 2 
x 286k   x 16
 1k=2
k  
2 8 k 
6 3 . 3  2 8=x
3k
5k
=x
5k 16
1 161 5k=6  k=2  T3 .
x

=x

x

x
=x

16

5k=6
k=3
k=2
TT
. 448x.
d)
Repetăm
raţiona
mentul
şi
găsim
x

k=3

d)
Repetăm
raţiona
mentul
şi
găsim
x
=x
 d)we
Repetăm
16
5k
1 
1=x
x  raţiona
 Repetăm
4  448x.
4 3T

3d)
16find
5kx1615kx
d)
repeat
the
reasoning
and
we
mentul
şi
găsim
=x

k=3

T4  448x
d) Repetăm
raţiona
mentul
şi
găsim
=x

k=3

T

448x.
x
4
raţiona
mentul
şi
găsim
x
=x

k=3

T

448x.

4
16

5k
0
16

5k
0
1
165k
1
e)d)Analog
x
=x


5k=0

k


Nu
există
termen
libe
e) Analog
x
=x
5k=0

k


Nu
există
termen
i găsim x165k =xe)

k=3

TRepetăm

448x.
Analogue
there
raţiona
mentul
şi
găsim
x
=x

k=3

T4 termen
liber.
448x.
16
5k 16
016
16

5k
0
16

5k
1
4
16Analog
5k x mentul
0 x
e)
=x

16

5k=0

k


Nu
există
li
e)
Analog
=x

16

5k=0

k


Nu
există
termen
liber.
d)e)Repetăm
raţiona
şi
găsim
x
=x
k=3

T

448x.
16

5k=0

k


Nu
există
4 termen liber.
isAnalog
no freex term=x 
5k=0  k   Nu există
termen
e)16Analog
x165k =x 0  16  5k=0  k   Nu există termen libe
5k
0 liber.
e) Analog x
=x  16  5k=0  k   Nu există termen liber.
17
Answer:
4
T
este
cel
mai
mare
dezvoltării
dacă
4
Termenul
T
este
cel
mai
mare
al
10
Termenul
T
cel
mai
al
dezvoltării
dacă
4 Termenul
Termenul
T10
este
cel
mai
mare
al
dezvoltării
dacă dacă
4iseste
Termenul
Tmare
este
cel
mai al
mare
al dezvoltării
dezvoltării
dacă
biggest
of
the
development
terms
Termenul
T
este
cel
mai
mare
al
dezvoltării
dacă
10
10
10
10
4
Termenul
T
este
cel
mai
mare
al
dezvoltării
dacă
4 Termenul
T10
este
cel
mai
mare
al dezvoltării
dacă
10
T

T
şi
T

T
sau
echivalent
cu
sistemul
T

T
şi
T
T
sau
echivalent
cu
sistemul
9
10
10
9
şi TT11
if T11
sausistemul
echivalent
cu sistemul
 T9 şi
T
cu

TTT
şisau
TT10

echivalent
cu sistemul
şiT
T
şi
T
sau
echivalent
cu
sistemul
10
9Techivalent
10 sau
11
10T
910
10
11
10
11
10  TT
9
10
11

T

sau
echivalent
cu
sistemul
9
T10
T10

T11
sau
echivalent
cu sistemul
8
n

8
8
9
n

9
9
10 8 T
9 şi
10
11 9
8
n

8
8
n

9
9
8
n

8
8
9
n

9
9
8
n

8
8
9
n

9
9
8
n

8
9
n

9
9


C
n 3 C
Cn83
 n3 9 9C
nn
C
3 ,n
nunde, nunde
n3
3
9
C8nn 3
3n 8 C n
n8838Cnn
n83C
C n9nn C
388 nnnn39 C n
n9 3Cnnnnn993nC
9 n
n

10,n


10,n

,
unde
n

10,n

,
unde
n

10,n

,
unde
n

10,n

n

n

C
3

n

10
n

10
10
9
n

9
9
 10 n10Cnn3C1010
n

10
10
9
n

9
9
,
unde
n

10,n

n
10
n

10
10
9
n

9
9
10
n

10
10
9
n

9
9
9
n

9
9
,
unde
n

10,n

C
9C
n
 n
3
 n3
nn
n
10 10
n
n
C9n10
3n
nnn nn993
C
C
3 unde
n n  10,n 
C10nnnn10
3C
n9  
n
C
3
n,3
3


3

9
9
C
n
n
C10
3

n

C
3
n
n
10
10
10
9
9
n
C
where n≥10
Cnn 3
3  n
nn 
C
Cnn 3
3  n
n
4
3
n
n
3
n
n

4
+
43,



+
43,


3
n
n
 3
n

4
+
43,


n

4
+
43,


n

4
+
43,


3  n
n3 3 n

n

4
+
43,







n

4
+
43,





3
n


 4 + 43,  
n9

 n
 n  8  9 nn 

8

8
9
n

8
9

8
9





n  8
9 8


  
 n
9
9  201










9

201
9
+
201
9
+
201
   


n

8
9






9

201
9
+
201
9

201
9
+
201
9

201
9
+
201
n
3


n
3


 3
9 3 n
9201
+  201
n3

  

,,   

,,  201
201
,, n
 n 3 n
9

9
+

n
3
n


n




 n


9

201
9
+
201

n
n








n
3




2
2
n

,

2
2





9
 910


10
2  2 22
2 , 2 2 2  2
10
nn

92
n10
9
9 n
 n
10 n
n10
 910
2
2



n
9
9
10 n

9 + 201 9
 201
9
+
+
201
  n 
9
+
201
9
+
201

++
n

4
+ 201
43,


11

n

11
 11
43,

11

n

11




201
n
9
94
 
n

4
43,


11

n

11

n43,

4
+
43,


11

n

11

+



11

9
+
201
 4
n
n

4
+
43,


11

n

11





2
n

4
+
43,


11

n

11
2




 n   4 + 43,

2
  n  11
2 2 2  2  11


2


4
4
T
T10








18
Application:
4 Să*se determine n  N* ştiind că al zecelea term
4 4.Să
determine n  N ştiind
că althat
zecelea
Tosedetermine
knowing
the termen
n
al
dezvoltării
binomului
3
+
n

 este cel mai mare
n
tenth term of the binomial development
al dezvoltării
binomului
este cel
mai
maretermen
 3+Nn*ştiind
4
Să
se
determine
n
că
al
zecelea
is
biggest
of
the
development
terms.
dintre
termenii
dezvoltării.
4. To determine
knowing
that
*
4 Sădintre
se determine
 N ştiind că al zecelea
termen
termeniindezvoltării.
n
the
tenth term
of the
binomial
al dezvoltării
binomului
3
+
n
este
cel mai mare


n
al dezvoltării
binomului 3 + n  este
cel mai mare
development
is biggest
of the
dintre termenii dezvoltării.
dintre termenii
dezvoltării.
development
terms.
19
Aplication:


3


100
Fiebinomial
binomul 2 + 3 .
5. Being given5 the
100
3
a) determinea)
number
ofnumărul
terms
5the
Fie
binomul
2 + de3 termeni
.
Determinaţi
din dezv
from the development
b)Determinaţi
Aflaţi
termeni
raţionali
are dezvoltare
a)
numărul
de termeni
din dezvo
b) find out how
manycâţi
rational
terms
c) Aflaţi
Câţi termeni
iraţionali
are dezvoltarea?
does the development
b)
câţihas.
termeni
raţionali
are dezvoltarea
c) how manyc)irrational
terms
does are dezvoltarea?
Câţi termeni
iraţionali
the development has?
20
Answer:
5 binomial
a) Binomul  23 + 3 are în dezvoltare
101 termeni.
5. a)The
has
in
100
5 a) Binomul 23 + 3
are în dezvoltare 101 termeni.
5a)a)Determinaţi
Binomul  2 +
3
are
în
dezvoltare 101
termeni.
 general
numărul
termeni
development
number
ofde101
b) Formulaatemenului
este:termsdin dezvoltare.
b)Aflaţi
Formula
temenului
general
este:
b)
câţi
termeni
raţionali
Formula
temenului
general
este:
100formula
k
k
b)b)the
general
term
is are dezvoltarea.
k
3


5 Fie binomul
3


3 3
100
2+
100 100
.




     
k k
k3
Tk+1 termeni
k C100
2iraţionali
,are
k dezvoltarea?
0,100.
100k100
c)T Câţi
3
k
3
 C1002 2
 0,100.
Tk+1 k+1C100
3 3, k , k0,100.
2 100  k 2 k
2 100

k  k 2 k
Tk+1 

2 100
2 k  6 k  k  0, 6,....,96

Tk+1T    3 k   63kk 6k k
 k0,
96 
6,....,
0, 6,....,96

k+1


3 k3 k
3 k3 k
sau
se written
mai
scrie
,...., 6 16 
orsauelse
it is
se mai
scrie
k
0, 6:k1 , 0,
6 62 1, 6, 6 3 2,..., 6., 6 3 16
sau se mai scrie k  0, 6  1 , 6  2 , 6  3 ,...., 6  16 
there
are
17
terms
17
există
17 rational
termeni
raţionali.
există
termeni
raţionali.
există 17 termeni
raţionali.
c) inconclusion
there
are 101-17=84
c) În concluzie
 17
 84 termeni
iraţionali.
c) În concluzie
sunt 101sunt
 17101
 84
termeni
iraţionali.
irrational
terms sunt 101  17  84 termeni iraţionali.
c) În concluzie
  
  
21
Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului  a + b 
n
Identities in the combination calculus
0 n
1 n 1
2 n 2 2
k n k k
n 1 n 1
n n
n
a+b
=C
a
+C
a
b+C
a
b
+.....C
a
b
+.....+C
ab
+C
b
,

n
n
n
n
n
n
Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului  a + b 
n
se pot
deduce
câteva
identităţi
în
care
intervin
coeficinţii
binomiali.
interesante
n
n
Utilizând
de
a binomului
0 nNewton’s
1 n lui
1 formula
2 n lui
2deNewton
2for
k ndezvoltare
k kdevelopment
n 1  a +
n bn
the
formula
binomial
formula
Newton
dezvoltare
abinomului
an+1bab


a+b Utilizând
=C
a
+C
a
b+C
a
b
+.....C
a
b
+.....+C
+C
Using
n
n
n
n
n
nb ,
n
2 n k 2 n 2 k k
k n  kn 1k n 1
1=C
n 01a n +C
21 a
n n21 b+C
2
nn 1nab n 1 +C n b n ,
a+b
a
b
+.....C
a
b
+.....+C


n b+C n a
n
n
n
n
a +Cn aidentităţi
b +.....C
+.....+C
+C nnb , binomi
 =Ccâteva
n a în bcare
n ab coeficinţii
se pot a+b
deduce
interesante
intervin
 Particularizând
înseformula
lui
Newton
a  b  1interesante
pot
deduce
câtevainteresante
identităţi
în care
intervinbinomiali.
coeficinţii bi
se pot deduce
câteva
identităţi
îngăsim:
care intervin
coeficinţii
n
0 n
n
n
There can be deduced some interesting identities in which
n
binomial 2coefficients
 C0n + C1n + intervene
Cn2 + ..... + C. nn 1 + Cnn
 •Particularizând
în formula
lui
Newton
ba=b=1
b 1 găsim:
1 agăsim:
 Particularizând
înluiformula
lui
 b  1 găsim:
 Particularizând
în
Newton
aaNewton
Particularised
informula
Newton’s
formula
n we find :
Suma coeficienţilor
binomiali
ai dezvoltării
esten 2 n n 1 n
1
2n n11
n n 0 0
1 n1
202
.....
2 2 CnC+n +C2Cn n++CCCnnn ++ C.....
....
+Cn+CCn n + Cn
n ++CC
nn n++
n
n
n
Suma
coeficienţilor
binomiali
ai
dezvoltării
este
2
Suma
coeficienţilor
binomiali
ai
dezvoltării
este
2
the sum
of the
development
of theaibinomial
is 2ⁿ
Suma
coeficienţilor
binomiali
dezvoltăriicoefficients
este 2
 În aceeaşi
formulă a lui Newton luând a  1 şi b  1 obţinem:
• In the same formula taking a=1 and b=-1 we obtain:
 În
aceeaşi
formulă
a2 nluiluân
Newto
1 şi b  1 obţinem:
 În aceeaşi
formulă
d a nn1luân
şin b d a1 obţinem:
0 a lui
1Newto
0  aCnlui C
..... da1 C1 nşi b  1 obţinem:
n + Cnn luân
 În aceeaşi formulă
Newto
n
02
1
2n
n
0
1
n
0

C

C
+
C

.....

1
0  Cn  Cn + Cnn .....n  1n Cn   Cn
the alternating
sum ofa the
binomialbinomiali
coefficients
Suma alternantă
coeficienţilor
0 is 0
n este
22
0
1
2
n
a coeficienţilor
binomiali
este
0
Suma
binomiali
este
0
0 alternantă
Cn Suma
 Cn aalternantă
+coeficienţilor
Cn  .....

1
C
  n
Identities in the combination
calculus( continuation)
Adunând cele două sume membru cu membru obţinem:
Adunând
cele
sume
membru
cucumembru
n
0
1
2
n 1
n obţinem:
Adunând
cele
sume
membru
membru
obţinem:
Adding
the
two
sums
member
by
member
obtain:
cele
două
sume
membru
cu
membru
obţinem:
2Adunând
 două
Cdouă
+
C
+
C
+
.....
+
C
+
C
sume
membru
cu we
membru
cele
obţinem:
nAdunând
n
n n 1 două
n
n
n
0
1
2
n
22nCCn 0++CnCn 1++C0Cnn2++.....
n n 1
1 0+C
2 n1 n 1+ C
nn 1
nC
2+
n
n
.....
+
C
+
C
2

C
+
C
+
C
+
.....
+
C
0
1
2
n
n
n
n .....
n2 n  C
n n +C
n nn + C n +
n
nn
+
C
+
C
n
01 Cn 2 Cn + Cn n .....
1 Cn
0
n 
n
n
00CCn 0CCn 1++C0Cn 2.....
1 0  1
21 C n n 2
n
n
n
.....

1
C
0

C

C
+
C

.....

1
C




n
n
n n  ..... n1 C n
n 0n  C
n n C
n n +C
n
0
2
4
6
n
02  2
2 C 4+ C 6+ C + C + ..... sau
22n22 CCn 0n++CCn 2++nCn0Cn 4++C2nCn06++.....
4n 2  sau
6n 4
6 sau
.sume
....
sau
Cn cele
+n2C C
+n +CC
+ +C
++
.....
 2Adunând


n  2 n2
C
C
....membru
sau
n două
n
n
membru
obţinem:
n
n
n
n + .cu
n

1
0
2
4
6
2
4
6
+
C
C6 n 4++....
....6
C
+
C
....
Or : n 22n0n11C1C0n 022+n+C
2+C
4
61+C
12n 
0nn 
2
4n 2 +
nC
n+
n0+
+
nC
1 C
C
+
C
+
+
....

C
C
+
2n n+CC
n n n ++C
nC
n n + C n + ....
2  Cn + Cn +n C n n+ .....
n n+ C
n
n 1
n 1
Suma
coeficienţilor
binomiali
de
rang
impar
este
2
n 1 este
n 1
Suma
coeficienţilor
binomiali
de
rang
impar
2
the
sum
of
the
binomial
coefficients
of
odd
rank
is
Suma coeficienţilor
binomiali
de nrang
este
2 este
Suma
coeficienţilor
binomiali
de rang
impar
2 este 2 n 1
0
1
2coeficienţilor
n impar
Suma
binomiali
de
rang
impar
0 două
Cn sume
Cn +obţinem:
Cn  .....  1 Cn
Scăzând cele
Scăzând
cele două
sume
obţinem:
Scăzând
cele
sume
obţinem:
două
sume
obţinem:
Subtracting
the
two
sum
we
obtain
Scăzând
cele
două
sume
obţinem:
n
1 n
3
5
7
0
2
4
6
2 n 2  Cn 21nn+ Cn23+ C
C1 n 5+
+C
C33 n1 7+
.....
55 3 +sau
77 5 + .....
+
C
C
sau
n1
7 sau
n
n
n
n
2  2  C22n + C
+
C
+
C
+
.....
sau
2
C
+
C
+
C
+
C
+
.....



2

2
C
+
C
+
C
+
C
+
..... sau
n
n
n
n
n
n
n
2 C + C + C + C + ..... sau
or




n
n 1
n 1
n n
nn
nn
1
3
5
n 1 nn11n 3 1n0
n15
n

1
1
n
n
nn n
n
7
3 2n1 7
n3nn n
 C + C + C + C + ...5 4.3 7 65
2  C 22+ CC+2CC++C+CCC+++C+CC
CC
.......
. 7 + ....
5n+.+
7n++
+
C
+
C
n...
n
n+ C n +
2

C
+
C
+
C
n ...
1 .n
n
n
n
n
Suma coeficienţilor binomiali de rang par este 2 n 1
n 1 n 1 n 1 23
Suma coeficienţilor
binomiali
de
rang
par
est
e
2
Suma
coeficienţilor
binomiali
de
rang
par
est
e
2
Suma
coeficienţilor
binomiali
deimpar
rang
par
binomiali
deofrang
este
nest
12e 2
The sum Suma
of thecoeficienţilor
binomial
coefficients
even
rank
is
2
Suma coeficienţilor binomiali de rang par este 2
Aplication:
6Să Să
calculeze
6.6 Calculate
the
sumsuma:
: suma:
se se
calculeze
6 Să 1se calculeze
suma:
2
3
n
1
2
3
n
S

C
+
2C
+
3C
+
.....
+
nC
n2C 2+n3C 3+n..... + nC .n n .
SSn nCCn 1++
2Cn n + 3Cn n + ..... +k nCn n . k 1
n
n
k n  nC
k 1 n 1
a) utilizând
egalitatea
kC
k
a)a)
utilizând
egalitatea
kC

nC
the egalitatea
equality kCn n  nCn kn111
a) using
utilizând


pentru
n,k

,nk; k;

pentru
n,k

,
n
for
n,k єn,k
Ł and
pentru
 n,≥n k k;
b)
utilizând
formula
combinărilor
complementare:
b)b)
utilizând
formula
combinărilor
complementare:
the
complementary
combination’s
formula
b) using
utilizând
formula
combinărilor
complementare:
k
n k
n Ck
pentru n,k  , n  k;
kn C n n nkpentru n,k  , n  k;
CCkn C
for n,k
 C pentru
n,kєŁ and
, n n ≥k;k
n
n
24
Answer:
a) Demonstrareaofformulei:
a) demonstration
the formula
a) Demonstrarea formulei:
n  n  1!
n!
k
kC nk  k
k

n  n  1!
n!
kC n  k k!.  n  k !  k k  k  1! n  k ! 
k!.  n  k !
k  k  1! n  k !
 n  1!
k 1
n

nC
n  1!

nk 
11
k

1
!
n

k
!

  nCn 1
n
k  1! n  k !

Astfel suma se rescrie:
Thus
the suma
sum isserewritten
Astfel
rescrie:
0
Sn  nC0n 1 + nC11n 1 + nC n22 1 + .... + nC nnn 111 
Sn  nC
+ 1nC n 1 +2 nC n 1 + ....n+1nC n 1  n 1
0 n 1
 n C0n 1 + C1n 1 + C 2n 1 + .... + C nn 11  n  2 n 1
 n Cn 1 + C n 1 + C n 1 + .... + C n 1  n  2




25
Answer (continuation):
b) Rescriem
suma
S suma
utilizând
formula
combinărilor
Rescriem
sumaSSnn utilizând
utilizând
formula
combinărilor
b)b)Rescriem
formula
combinărilor
b)
we rewrite
the
using the
complementary
b)
Rescriem
suma
Snnsum
utilizând
formula
combinărilor
n k
k
n k k
n
k şi and
combination
formula
we obtain :
complementare,

C
seobţine:
obţine:
k  Cn k Ckşi
complementare,
C
se
obţine:
n  C n şi
complementare,
C
se
n
n
complementare, C n  C n şin se obţine:
n
n 1
n 2
n 3
1
0
nC
n21 + 2C
n n 3 2 + 3Cn 3 + ..... +1 n  10C1 + nC0 

n
n
n
n
n
+ 2Cn 2 + 3Cn 3 + ..... + n  1 C1 + nC0 
nn + nC n 
 nCn n + +3C2C
3C+nn+.....
 1n C
SSnn CC +S 2C
.....
1C+nn+n nC
nn n + +
n 1
n 1 Sn
nn
n
n 3
n 2
n 1
 nC0n 1+1  n  1 C1nn+
+
2C
+
C
n3....
3 + 3C
n

2
n

1
n .
n 2n
n 1 n
1
n 3 + C n . 2
n 1
nC ++nnnC
110CC+nn+n+....
....1++C
3C
+
2C
nC
3C
+
2C
+
C
.
n
n
n

+
....
+
3C
+
2C
+
C
n n
n
n n sume: n n
n .
Adunăm
cele două
Adunăm
cele
două
sume:
Adunăm
sume:
2
Adunăm
două: 1sume:
We
addcele
thedouă
twocele
sums
00
nn
Sn 
Cn
+
2Cn + ... +  n  2  Cnn 2 +  n  1 C nn 1 + nC
11
22
n n2 2
n n11
nn
1
2
n

2
n n11
C
+
2C
+
...
+
n

2
C
+
n

1
C
+
nC
C
+
2C
+
...
+
n

2
C
+
n

1
C
+
nC





2... + n nn  2 C
n+2n nn  1 C
n1 n +
n
n
SSnn  nC0nnn+  n  1C C
2C
+
 + 2C
n n +  n  2n C n + ...........
n n  + ... + Cn n + nC
00
11
22
n n22
n n11
SSnn nC
+
n

1
C
+
n

2
C
+
...........
+
2C
+
..
.
+
C
0
1
2
n

2




nCnn +  n  1 Cnn0 +  n 1 2  Cn n + ...........
+ 2Cn n + ..n.+2 Cn n
2
n 1n 1
n
SSnn 
S2S
nC +  n  1C Cn n ++  n  2C C
........... ++2C
..............
Cn n + + ... +
CnCn + Cn 
n 
n +
n  nn C n +
n +
0
1
2
n 2
n 1
n
0
1
2
n

2
n

1
n
n
n

1
2S

n
C
+
C
+
C
+
..............
+
C
+
C
+
C
2
n C
2n
1
n
n + n
n 20 + S 1 C
n2 + ..............
n
n  n
2Snn  n C2S
C
+
C
+
+
C
2S
n
n n  n nC + Cn
n
n
n
n 
+
C
+
..............
+
C
+
C
+
C
n
n
n
n
n
n
n 
n
n 1
2S

n

2

S

2
n
2Sn  n  2  Sn n2n 1 nn n 1

n

2Sn  nn 2  Sn  2  n


26
Aplication:
7 Săthe
se equality
demonstreze egalitatea
7. Demonstrate
7 Să
egalitatea
Ckn se demonstreze
Ckn +1
+1 for n,k є Ł and n ≥ k

pentru n,k  , n  k
k
k +1
1n +1 n + 1
Cn k +C
apoi săpentru
n,k  ,suma:
nk
şi
se
calculeze
k +1 n +1
1
2
n
C
C
C
and şi
then
calculate
the
sum
apoi
se0 calculeze
n
n
S să
C
+ n + suma:
+ ..... +
n
n
22
3
n +1
1
n
C
C
C
n
Sn  C0n + n + n + ..... +
2
3
n +1
27
Answer:
7.
demonstration
7 The
Demonstrarea
formulei: of the formula :
7 kDemonstrarea formulei:
Ckn
1
1
n!
n!
n +1
k

n +1 
Cn  1 Ckn  1 
n!
n!
k +1 k +1Cn  k +1 k! n  k !  k +1! n  k ! n +1
k +1 k +1
k +1 k! n  k !  k +1! n  k ! n +1
 n +1!
1
1
Ckkn+1+1
k +1

 1  1 Ckn+1+1  Cn +1+1 .
 n +1!
  k +1! n  k ! n +1 n +1Cn +1  n +1.
n +1
 k +1! n  k ! n +1 n +1
Cu această formulă rescriem fiecare termen al sumei
Cu
această
rescriem
fiecare
termen
sumeiof the
With
thisformulă
formula
we rewrite
each al2term
sum
1
2
n
1
n +1
C
C
C
C
C
C +1
Sn  C00n +C1nn +C2nn + ..... + Cnnn  C1nn+1+1 + Cn2n+1+1 + .... + Cnnn+1

+1
Sn  Cn + 2 + 3 + ..... + n +1 n +1+ n +1+ .... + n +1
2
3
n +1 n +1 n +1
n +1
1
 1  C11n +1 + C2n2 +1 + C33n +1 + .... + Cnnn+1+1
+1  
 n +1 Cn +1 + Cn +1 + Cn +1 + .... + Cn +1  
n +1
1
1
n +1
 1  C00n +1 + C11n +1 + C22n +1 + C33n +1 + .... + Cnnn+1+1

1

2
1


+1
n +1  1
 n +1 Cn +1 + Cn +1 + Cn +1 + C n +1 + .... + C n +1  1  n +1 2  1
n +1
n +1
28
Test
14
1 3 
Fie binomul   x  , x  0.
 x  1  3 14
Fie binomul   x  , x  0.
1)
Câţi
termeni are
x

It is given the binomial
: dezvoltarea?
1. How many
terms
the
development
has?
1) Câţi
termeni
are
dezvoltarea?
2) Care
estedoes
rangul
termenului
din mijloc?
2.Which is the2)
rank
ofeste
therangul
middletermenului
term? din mijloc?
Care
3) the
Caresum
este of
suma
binomialiofai this
acestui binom
3. Which is
the coeficienţilor
binomial coefficients
3) Care
este sumaterm
coeficienţilor
binomiali
k n kai kacestui b
binomial?Folosind
Using
the
general
formula,
formul termenului general, Tk+1 =Cn a bk naflaţi:
k k
find out :
Folosind formul termenului general,
T
=C
a
b af
k+1
n
2
4) of
Rangul
termenului
care conţine
pe x . 2
4.The rank
the
term
that
contains
x².
4) Rangul termenului care conţine pe x .
5. How many
rational
terms
does
the
development has?
5) Câţi
termeni
raţionali
are
dezvoltarea?
5) Câţi termeni raţionali are dezvoltarea?
29
1) Să se afle termenul dezvoltării binomului
x1  x + 3  care


1) Să se afle termenul dezvoltării binomului  x x + 3  care x 


x n
n 
 , n .
1
5

 
1  este 128.
5 suma
îl conţine
x
dacă
coeficienţilor
binomiali
1) Să se
termenul
dezvoltării
binomului
x
x
+
care
Homework:
1) afle
Săpe
se
afle
termenul
dezvoltării
binomului
x
x
+

binomiali
3

îl conţine pe x dacă suma coeficienţilor
este3 128. care
x 

x n n
eficienţilor primilor
1

 n1 

5
n+
5dezvoltării binomului
1) Să se
afle
termenul
x
x
carecare
1)
afle
termenul
dezvoltării
x +128.
2
îl conţine
pe x dacă
suma
coeficienţilor
binomiali
estebinomului
128.
binomiali

îl conţine
peSă
x sedacă
suma coeficienţilor
2 x3este


 which
2


3
2


x
x  x , 
, n ,xx
1. Find out the
binomial
term ofdezvoltarea
the development
2) Se
consideră
,
n


2)
Se
consideră
dezvoltarea
x

.
 n


n
5 4
x
îl care-l
conţine
pe x
suma
este
2 coeficienţilor
 suma
 binomiali
contains
the
sum
the
128.
  , 2n x2binomiali
. esteis128.
men
conţine
pe
xdacă
.consideră
2binomial
coefficients
 128. 
îlifconţine
pe coeficienţilor
x 5ofdacă
2) Se
dezvoltarea
x

,
x

2) Se consideră


dezvoltarea
x
,
x
, n .



n 

astfel
a) Să
se determine
nnxastfel
primilor
dezvoltării.
a)consideră
Să se
determine
suma
p
2suma
 încât
x coeficienţilor
n  coeficienţilor
2  încât

2)
Se
dezvoltarea
x

,
x

,
n

.
2




2

2. It is considered
thesedevelopment
a) Să se determine
ndetermine
încât nsuma
coeficienţilor
a) Să
astfel
2)astfel
Se consideră
dezvoltarea
xprimilor
coeficienţilor
, x   , n primilor
.
 încâtxsuma

că


trei
termeni
ai
dezvoltării
să
fie
97.
trei
termeni
ai
dezvoltării
să
fie
97.
x
 coeficienţilor
a) determine
that the sum
of the
firstsuma
three
coefficients
of primilor
the
a)trei
Să“n”
se so
determine
nsăastfel
încât
termeni
ai
dezvoltării
fie
97.
trei termeni ai dezvoltării să fie 97.
4
development
be
97.
a) Săn=8
se determine
n astfel
încât
suma
coeficienţilor
primilor
b)
Pentru
verificaţi
dacă
există
un
termen
care-l
conţine
pe
x
.
trei b)
termeni
ai
dezvoltării
să
fie
97.
4 termen care-l 4co
Pentru
n=8
verificaţi
dacă
există
un
b) Pentrub)
n=8
dacă
existăaun
termen
care-l
conţine
pe x .care-l conţine pe x .
Pentru
n=8
verificaţi
dacă
există
un termen
b) for n=8 check
out
ifverificaţi
there
exists
term
that
contains
trei
termeni
ai
dezvoltării
să
fie
97.
c)
Pentru
n=80
aflaţi
suma
coefic
ienţilor
dezvoltării.
b) Pentru n=8
verificaţi
dacă
există
un termen
care-l conţine pe x 4
c) Pentru
n=80
aflaţi
suma
coefic
ienţilor
dezvoltării. 4
Pentru
aflaţi
sumaofcoefic
dezvoltării.
c) for n=80c) find
out
the
sum
theienţilor
coefficients
of the
development.
c)n=80
Pentru
n=80
aflaţi
suma
coefic
ienţilor
dezvoltării.
suma
coefic
dezvoltării.
c)
Pentru
n=80
aflaţi
ienţilor
b) Pentru
n=8
verificaţi
dacă există un termen care-l conţine pe x
3)se
a) numărul
Să se scrie
numărul
complex
z 1+1+
i sub
forma trigonomtrică
trigonomtrică
3)se
a)
Să
se
scrie
complex
z

1+
i
sub
forma
trigonomtrică
3)
a)
Să
scrie
numărul
complex
z

i
sub
forma
n numărul
scrie
complex
zPentru
1+
i sub
forma
trigonomtrică
n complex
e scrie
numărul
z 1
+
isub
forma
trigonomtrică
c)
n=80
aflaţi
suma
coefic
ienţilor dezvoltării.
n
.....  3)2şia)apoi
sin
write
complex
number
z=1+i
under
trigonometric
form and then
n the
n z cu formula
să
se
clculeze
lui
Moivre;
n
şiseapoi
să sesă
clculeze
z
cu
formula
lui
Moivre;
şiclculeze
apoi
sezclculeze
z
cu
formula
lui
Moivre;
n
4 cu
formula
lui Moivre;
să se clculeze
zSăn se
cu
formula
lui formula.
Moivre;
3) a)
scrie
numărul
complex
z  1 + i sub forma trigonomtrică
calculate
with
Moivre’s
n
n
n
b) Să
dezvolte
i  după
lui Newton;
b)Develop
Să+şise
1+
iusing
formula
Newton;
1+
b) se
Săb)
se
1nse+ clculeze
iformula
după
luilui
Newton;
dezvolte
1
i dezvolte
lui
Newton;
 după
după
formula
dezvolte
Newton’s
formula
apoi să
z n formula
cu
formula
lui
Moivre;
ec)ddezvolte
1
+
i
după
formula
lui
Newton;
egalităţil
eegalităţil
de
să
se
c) c)
equalizing
equalities
from
a)egalităţile:
and
b) let the equalities be deducted:
Egalând
egalităţil
e dela
laa)
a)ethe
şişi
selaşi
deducă
c)
Egalând
deb)eb)
lasă
a)
b)
săegalităţile:
sesededucă
egalităţile:
nşideducă
Egalând
egalităţil
de
a)
b)
să
deducă
egalităţile:
b) Să se dezvolte
lui Newton;
1 +nin după formula
n
n
n
n
n 7 n
4
6
1
3
5
n
n

ând
egalităţil
e
de
la
a)
şi
b)
să
se
deducă
egalităţile:
n

n
0
2
4
6
1
3
5
7
n
n
4
6
1
3
5
7
+CCn0C+CC2n 0+C.....

2
cos
şi
C

C
+
C

C
+
.....

2
sin
 sin
+şinCsăn se
n 4
n
+.....
 2egalităţil
şi4 cos
şiCnnb)
CCndeducă
+C
.....n3 +negalităţile:
sin
6  cos
1nn
..... e2 de
C52n C
C7 n++.....
.....
 2 2sin
laCna)
n C n n C nn + C
Cn  c)
Cnnn2Egalând
+C
Cn4n +C.....
+
2
cos
şi
C

C
+
C

4n
n
n
n
n
n 4
4
4
n
n
4
4
n
n
4
6
1
3
5
7
n C 1 C 3 + C
n2 s
6
5
7 C
+ C n  C nC0n+.....
cos
şi

+
.....

Cn2 +
Cn4  C2
+
.....

2
cos
şi
C

C
+
C

C
+
.....

2
sin
n
n
n
n
n
n
n
n
n
30
4
4
4
 


    
   
 
  
 
 