Transcript Fractii cu simplificari frauduloase430 KB

Fracţii cu simplificări
frauduloase
Prof. Georgeta Nicolescu
Colegiul Naţional “M.Eminescu “ Buzău
Catedra de matematică
Referatul meu , cuprinde un răspuns argumentat la problema utilizării testelor grilă
în evaluarea cunoştinţelor elevilor la matematică.
Personal consider un astfel de procedeu(din plin utilizat la examene) nepotrivit
cu rigoarea matematicii şi-l folosesc ( fiind
de actualitate) numai la clasele de profil real
pretinzând şi apreciind însă de fiecare dată
întregul raţionament prin care se ajunge la o
anumită variantă de răspuns.
Fracţiile cu simplificări frauduloase
sunt acele fracţii care din punctul de vedere
al regulilor obişnuite de simplificare sunt
incorect simplificate dar rezultatele obţinute sunt corecte.
Aceste fracţii sunt exemple de metode
în matematică de operaţii incorecte care
duc la rezultate corecte.
1.Dacă s-ar cere să se simplifice fracţia 26/65
am proceda astfel:
26(13
65
=
2
5
Se observă că, în cazul acestei fracţii,
simplificarea revine la o simplă eliminare a
cifrei 6,aflată atât la numărător cât şi la
numitor.
În mod natural se poate pune întrebarea: care sunt
--- --fracţiile ax/xb la care putem scrie
?
Evident că vom evita cazul banal a=b=x.
Din (1) avem
de unde
(10 a+x) b = (10 x +b) a,
.
Luând pe rând a egal cu 1,2,….,9 , găsim
urmatoarele soluţii pentru (1) :
(2)
1(6) = 1
(6)4 4
,
1(9) = 1
(9)5 5
şi
2(6)= 2
(6)5 5
,
4(9) = 4 .
(9)8 8
Între paranteze s-a scris cifra(numărul) cu
care s-a făcut simplificarea,convenţie ce se va
păstra şi în continuare.
Iată că ,în fracţiile de la (2), deşi simplificarea se face eronat, nerespectând regurile obişnuite de simplificare,totuşi rezultatele sunt corecte.Dacă acelaşi procedeu s-ar aplica în cazul
simplificării altor fracţii,atunci rezultatele ar fi
greşite. Prin urmare, este de reţinut faptul că
un raţionament greşit poate conduce la rezultate bune.
De aceea,în rezolvarea problemelor de matematică,trebuie să urmărim corectitudinea nu
numai pentru rezultatele finale, ci şi pentru
raţionamentele prin care au fost obţinute
aceste rezultate.
2.
O problemă analoagă cu (1) este cea a determinării
--- --fracţiilor xa/bx la care putem scrie
(3)
, a≠b, a,b,x є {1,2,3,…….,9}
Din (3) rezultă
ceea ce ne arată că soluţiile pentru (3) se obţin din
(2) prin schimbarea lui a cu b.
Astfel se obţin fracţiile cu simplificări frauduloase:
(4)
(6)4 = 4
1(6) 1
,
(6)5 = 5
2(6) 2
şi
(9)5 = 5
1(9) 1
,
(9)8 = 8 .
4(9) 4
3. In mod firesc apare problema studierii
simplificărilor de forma
Prin simple calcule se poate deduce că astfel de
simplificări nu sunt posibile.
4. Acum problemele studiate mai sus pot fi privite
într-un cadru puţin mai general. Şi anume,în ce conditii se
poate face simplificarea cu un factor comun la o cifră de
la numitor şi la o cifră de la numărător.
Astfel,dacă a=a1x , d=d1x , (a1 , d1) =1 (s-a notat
prin (u,v) cel mai mare divizor comun pentru numerele
naturale u şi v ) , atunci putem scrie
(5)
Din (4) avem
(10 a + b)(10 c+d1)=(10 a1 +b)(10 c +d) ,
de unde găsim
(x-1)(10 ca1 –bd1)=0 .
De aici,ţinând seama că 10 ca1 –bd1 ≠0 ,rezultă x=1,ceea
ce ne arată că (4) este posibilă numai dacă a=d, adică
sântem în cazul de la 2).
În mod analog se arată că o simplificare de tipul
este posibilă numai dacă b=c,adică în cazul de la 1) .
Acum să considerăm problemele analoage cu (5) şi (6)
numai că simplificarea să se facă pe verticală.
Astfel ,ne punem problema precizării condiţiilor în care fracţia
adică să putem scrie egalitatea
(7)
Din (7) rezultă
(x-1)(ad1 – cb1) = 0,
de unde , ţinând seama că x≠1,găsim
La aceeaşi condiţie (8) se ajunge şi dacă s-ar face o simplificare de tipul
(9)
Iată câteva exemple de astfel de fracţii şi simplificările lor
frauduloase:
,
5. Următorul salt în lumea fracţiilor care
admit simplificări fraudulose ar fi mărirea numărului de cifre de la numărator şi de la
numitor.
Pentru contemplare propunem următorul
exemplu în care se pot face trei simplificări
frauduloase succesive cu 6:
În plus, sugerăm cercetarea problemei generale
care se ascunde aici.
Această problemă s-ar putea formula astfel:
să se determine numerele
scrise în baza 10, a≠b , astfel încât să putem scrie
adică sântem în situţia de la 1)
cu soluţiile date de la (2) .
Să ne situăm în cazul a=1 , b=4 , x1=6 .
(100+10 x2+6)4=(100 x2+10+4)*1,
de unde x2=6.
În final găsim x1 =x2 =……=xn =6 (o demonstraţie
riguroasă se face prin inducţie matematică ) .
Astfel am obţinut:
(11)
1666….6/666…64=1666…6/666…64=
n ori
n ori
(n-1) ori
(n-1) ori
=…=166/664=16/64=1/4 .
O demonstraţie directă a faptului că 1666…6/66..64=1/4
n ori
n ori
are loc pentru orice n natural , n≥1 , se poate face astfel :
1666…6/666…64=(10n +6*111…1)/(6*111…1*10+4)=
n ori
n ori
n ori
n ori
În mod analog , pornind de la celelalte fracţii
obţinute la (2) , se găsesc următoarele egalităţi :
(12) 2666…6/666…65=266…6/66…65=…=266/665=
n ori
n ori
(n-1) ori (n-1) ori
=26/65=2/5 ,
(13) 1999…9/999…95=1999…9/999…95=…=199/995=
n ori
n ori
(n-1) ori
(n-1) ori
=19/95=1/5 ,
(14) 4999…9/999…98=499…9/999…98=…=49/98=4/8 .
n ori
n ori
(n-1) ori (n-1) ori
De la 2) rezultă că egalităţile (11) – (14)
rămân valabile
şi
dacă
se inversează
fracţiile.
6) Şi cele expuse la 4) se pot generaliza.
Astfel într-o fracţie
putem face o simplificare cu cel mai mare divi-
zor comun al numerelor
numai dacă are loc egalitatea
Pentru simplificarea redactării demonstraţiei să
facem notaţiile:
A=U*X , c=U*Y , (X,Y)=1, U=(A,C) ,
Trebuie să cercetăm în ce condiţii are loc egalitatea
Cu notaţiile de mai sus , această egalitate devine
de unde,după câteva calcule,găsim
(U-1)(BY-XD)=0
Cum nu ne interesează cazul banal A=C
şi B=D ,rezultă BY=XD , de unde
ceea ce trebuie demonstrat.
La aceeşi concluzie se ajunge şi dacă simplificarea s-ar face cu cel mai mare divizor comun
al numerelor B şi D.
Iată câteva exemple de astfel de fracţii
şi simplificările lor frauduloase:
(24)(212
(26)13
(216)(924
(315)35
=
1212 , (108)(1218 = 9(18)(2
1313
(156)26 13(26)
=
=
909 =9
1313 13
2424 , (6)(314 = 2(14)(7 = 22 = 2
3535 (9)21
3(21)
33 3
(6)(318 = 2(18)(9 = 22 = 2
(9)27 3(27)
33 3
7. Călătoria în lumea fracţiilor cu simplificări frauduloase este ca o simfonie neterminată. Ea poate continua la nesfârşit.
În lucrări de specialitate sunt şi multe alte
generalizări.
În scopul destinderii ,prezentăm încă câteva
fracţii cu simplificări frauduloase:
(6)(215 =315 , (2)(215 = 115 , (4)(415 = 115 ,
(8)2
42
(4)3
23
(8)3
23
1(428571) = 1 , 2(857142)
(428571)3 3
(857142)6
=
2
6
=
1 ,
3
4(571428) = 4 , 4(324) = 4 , 21(7) = 21 ,
(571428)5 5
(324)3 3
(7)75 75
8(311688) = 8 , 37(50577631)
(311688)3 3
(50577631)50
17(51) = 17 ,
(51)50 50
21(51219) = 21
(51219)50 50
=
37 ,
50
etc.
Importanţa studierii unor astfel de
probleme de aritmetică este atât ştiinţifiică cât şi didactică.
Din punct de vedere ştiinţific ,rezolvarea problemelor legate de fracţiile
fraudulose sunt probleme de ecuaţii
diofantiene cu restricţii. Studiul ecuaţiilor diofantiene se începe chiar cu
rezolvarea ecuaţiei diofantiene (1).
Din punct de vedere didactic, astfel de
probleme arată,pe de o parte, cât de atenţi
trebuie să fim în raţionamentele pe care le
facem,iar pe de altă parte,contribuie la
atragerea elevilor spre matematică prin
părţile ei pline de surprize. Consider că în
predare,tot timpul trebuie să ne amintim de
cele spuse de Pascal “Obiectul matematicii
este atât de serios,încât este util să nu
pierdem ocazia pentru a-l face puţin mai
distractiv ” .
Bibliografie
Solomon Marcus,
Şocul matematicii,Ed.Albatros ,1987.
A.S. Tarski, O polze matematiki dlia kovboev,
Kvant ,2, 1988,38-44(l. rusă ).
H.R.Radian, T.J.Radian, Recreaţii matematice,
Ed. Albatros, Lyceum, 1973 (p. 284).