Teorema celor patru culori prof. Luminiţa Petrişan C.N. “M. Eminescu”

Despre colorarea hărţilor  În 1852, Francis Guthrie a încercat să coloreze o hartă reprezentând comitatele Angliei, astfel încât două regiuni cu frontieră comună să aibă culori distincte.

Problema lui Guthrie  De câte culori este nevoie pentru a colora o hartă oarecare, astfel încât regiunile cu frontiera comună să aibă culori diferite?

4 culori sunt necesare Oare sunt suficiente?

Întreabă un prieten… ? ? ? ? ? Care întreabă alţi prieteni…

Şi pentru că nu exista internet… De la profesor la student, de la coleg la coleg… problema a ajuns la Arthur Cayley, care i-a întrebat pe colegii săi din London Mathematical Society.

Conjectura celor patru culori  A rămas nerezolvată timp de 124 de ani

Câteva observaţii utile Soluţia unei asemena probleme nu trebuie să depindă de forma particulară a hărţii.

Forma şi mărimea ţărilor nu sunt importante din punctul de vedere al colorării!

Hărţi echivalente

Puţină topologie   Topologia este un domeniu al matematicii apropiat de geometrie, în sensul că studiază proprietăţile obiectelor în 2,3,… dimensiuni.

Diferenţa este că în topologie distanţele, unghiurile nu sunt importante.

Puţină topologie  Două obiecte sunt socotite echivalente dacă pot fi obţinute unul din celălalt prin transformări continue: îndoiri, întinderi, răsuciri.

Reteaua de vecinatate Suntem interesati in primul rand de natura topologica a hartii, mai precis de relatia de vecinatate intre regiuni.

Fixam cate un punct in interiorul fiecarei tari, si unim cu o linie 2 puncte daca si numai daca regiunile carora apartin au frontiera comuna.

Reţeaua de vecinătăţi De exemplu, alegem capitala fiecarei tari, si construim cale ferata intre doua capitale doar daca tarile sunt vecine! 

De la hărţi la teoria grafurilor Problema poate fi reformulată astfel: Putem colora vârfurile unui graf planar în patru culori, astfel încât două vârfuri adiacente să fie colorate diferit?

Formula lui Euler V-M+F=1 In exemplul alaturat: V = 7 M = 10 F = 4

Teorema lui De Morgan Pe nicio harta nu putem gasi un grup de 5 regiuni astfel incat oricare sa aiba frontiera comuna cu celelalte 4.

Graf complet cu n vârfuri

K

1

K

2

K

3

K

4

K

5

Teorema lui De Morgan Echivalent, trebuie să demonstrăm că un graf complet cu 5 vârfuri nu este planar.

Să presupunem că ar exista. Dacă socotim drept faţă şi regiunea nemărginită a planului, formula lui Euler devine: V M  ~ F  2, unde ~ F  F  1

Teorema lui De Morgan  V=5  M=10 (pentru că graful este complet) Din formulă rezultă ~ F  7 Fiecare faţă este mărginită de cel puţin 3 muchii (în sens topologic). Dar o muchie este comună pentru 2 feţe, deci trebuie să existe cel puţin ½ (3 x 7)=10+ ½ muchii.

Teorema lui De Morgan Cum nu există jumătăţi de muchii trebuie să avem cel puţin 11 muchii.

Contradicţie! M=10

Încercări nereuşite Alfred Kempe a publicat în 1879 un articol în care pretindea că a rezolvat conjectura celor patru culori.

În 1890 Percy John Heawood găseşte însă o greşeală, dar reuşeşte să salveze o parte din ideile lui Kempe, demonstrând teorema celor 5 culori.

Teorema celor 5 culori Orice hartă plană poate fi colorată cu cel mult 5 culori.

Ideea demonstraţiei constă în a reduce succesiv orice hartă la una ce conţine cel mult 5 regiuni, astfel încât după fiecare pas de reducere, dacă harta redusă poate fi colorată cu cel mult 5 culori, atunci şi harta iniţială să poată fi colorată cu cel mult 5 culori.

Prima procedură de reducere (1)

(2) A doua procedură de reducere

(3) Procedurile de reducuere: (1) (2) (4)

A 5-a procedură de reducere

Teorema celor 5 culori   Aplicând procedeele de reducere precedente se ajunge în final la o hartă în care nici o regiune nu înconjoară o alta, fiecare vârf se găseşte pe exact trei frontiere şi fiecare regiune are cel puţin 5 muchii. Se arată (folosind formula lui Euler) că există o regiune cu exact 5 muchii.

O regiune cu 5 muchii poate fi eliminată !

Un pas înainte   Încercarea de demonstraţie a lui Kempe, conţinea ideile de bază care au condus în cele din urmă la reuşita lui Haken şi Appel din 1976.

Aceştia au avut nevoie însă de....

Teorema celor 4 culori - o demonstraţie atipică (1976)   Numărul de configuraţii care a trebuit să fie analizat era uriaş (aprox. 1500), aşa că o demonstraţie clasică nu a mai fost rezonabilă.

Un program pe computer, perfecţionat de-a lungul a patru ani de muncă, a verificat toate configuraţiile, finalizând astfel demonstraţia.

Morala…  Matematica este pregătită să accepte şi demonstraţii parţial computerizate !