Transcript Conjecturi

Câteva
CONJECTURI
mai mult sau mai puţin cunoscute...
prof. Marcel Petrişan - C.N. “B.P. Hasdeu”
CONJECTURA lui Goldbach
Istoric
 În 1742, matematicianul german Christian Goldbach, într-o scrisoare către
Leonhard Euler, îi propune acestuia următoarea conjenctură:
Orice întreg mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de 3 numere prime.
 La vremea aceea, 1 era considerat număr prim, aşa că o versiune modernă a
conjecturii iniţiale a lui Goldbach este:
Orice întreg mai mare decât 5 poate fi scris ca sumă de 3 numere prime.
 Euler, devenind interesat de problemă, îi răspunde că această conjenctură este
de fapt echivalentă cu enunţul actual (numit varianta binară):
Orice număr întreg par mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de două
numere prime
CONJECTURA lui Goldbach
Exemple:
 4=2+2
 6=3+3
 8=3+5
 10=3+7=5+5


Se observă că de fapt numărul de reprezentări
are o tendinţă de creştere odată cu n=2k.
O justificare intuitivă, de natură probabilistică,
sugerează că:
n

 
numărul de reprezentări
2
2 ln
n
CONJENCTURA lui Goldbach
Varianta slabă a conjecturii (varianta ternară)
■
Orice întreg impar mai mare decât 7 poate fi scris ca sumă de 3
numere prime impare.
În 1923, Hardy şi Littlewood au demonstrat că Ipoteza lui Riemann
generalizată implică această conjectură pentru toate numerele
impare “suficient de mari”.
În 1937, matematicianul rus Vinogradov a reuşit să elimine
dependenţa acestui rezultat de Ipoteza lui Riemann.
În 1939, studentul său, Borodzin a dovedit că 2 314348907 este
suficient de mare.
În 2002, Liu Ming-Chit şi Wang Tian-Ze au coborât această limitare
la aproximativ 2  1 0 1 3 4 6
În 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele şi Zinoviev au demonstrat că
Ipoteza lui Riemann generalizată implică această conjectură
(demonstraţie realizată parţial
prin verificări computerizate ale
20
cazurilor mai mici decât 1 0 )
Se consideră că este pe cale de rezolvare.
CONJECTURA lui Goldbach
Varianta tare
Pentru valori mici ale lui n conjectura poate fi verificată
direct. Cu ajutorul computerelor s-au făcut verificări până
18
n

10
la
.
Această conjectură este mai dificilă. Vinogradov (în 1937)
şi Estermann (în 1938) au verificat-o pentru “aproape
toate” numerele pare (în sensul că raportul dintre
numerele pare care pot fi astfel reprezentate şi toate
numerele pare tinde către 1).
Roger Heath-Brown şi Jan-Christoph Schlage-Puchta au
demonstrat-o în 2002 pentru toate numerele pare
“suficient de mari”.
CONJECTURA lui Levy

În 1963, Hyman Levy a conjencturat că toate numerele întregi impare mai mari
decât 6 pot fi scrise ca sumă dintre un număr prim şi dublul unui număr prim.

De exemplu:


7 = 3 + 2x2
9 = 3 + 2x3 = 5 + 2x2
Din conjectura lui Levy rezultă conjectura
slabă a lui Goldbach, şi a fost verificată
pentru orice număr n  10

9
http://mathworld.wolfram.com/LevysConjecture.html
Conjectura lui Dorin Andrica


Se referă la diferenţele existente între numerele
prime consecutive.
Notând cu  p  şirul numerelor prime,
conjectura afirmă că pentru orice n  N n* are loc
inegalitatea p  p  1
Conjectura este confirmată experimental pentru
orice n  1, 3002  1016
Comportarea şirului A  p  p sugerează
adevărul conjecturii.
n
n 1
n 1


n
n
n 1
n
O generalizare: Conjectura lui
Florentin Smarandache

p n 1  p n  1
x
x
Afirmă că ecuaţia
are cea mai
mică soluţie x  0, 567148 , numită constanta lui
Smarandache, soluţie pentru ecuaţia concretă
min
127  113  1
x
x
Matrice Hadamard


O matrice Hadamard este o matrice
pătratică cu elemente +1 sau −1 şi ale cărei
linii sunt două câte două ortogonale (adică
reprezintă vectori cu produsul scalar nul).
ordinul unei matrice Hadamard trebuie să
fie 1, 2, sau multiplu de 4.
Generarea unor matrice Hadamard

Construcţia lui Sylvester generează o matrice
Hadamard de ordinul 2n, plecând de la o matrice
Hadamard H de ordinul n :
H

H

H 

H 
Plecând de la matricea H=(1) , de ordinul 1, se
pot genera astfel matrice de orice ordin putere de
2.
Conjectura lui Hadamard

afirmă că pentru orice n=4k există o
matrice Hadamard.

În 1933, Raymond Paley a indicat metoda de construcţie a câte
unei matrice Hadamard de ordin q+1 unde q este orice putere de
număr prim congruentă cu 3 modulo 4. A construit de asemenea
matrice de ordin 2(q+1) pentru q putere de număr prim congruentă
cu 1 modulo 4.
Ordinele mici, rămase neacoperite de construcţiile lui Sylvester şi
Paley, au fost parţial verificate cu ajutorul computerelor...
La ora actuală, cel mai mic ordin pentru care nu este cunoscută o
matrice Hadamard este 668. (Între timp au apărut şi alte metode.)


Conjecturi care au devenit teoreme
Teorema lui Mihăilescu
(numită anterior conjectura lui Catalan) a fost
conjecturată în 1844 de către matematicianul Eugène
Charles Catalan şi demonstrată în 2002 de către Preda
Mihăilescu.
Teorema lui Mihăilescu afirmă că singura soluţie în
numere naturale nenule a ecuaţiei x  y  1 este x=3,
a=2, y=2, b=3, adică, singura diferenţă egală cu 1
pentru puteri de numere naturale nenule este 9-8.
a
b
Conjencturi care au fost infirmate
Primalitatea numerelor lui Fermat

În 1650, Fermat a conjencturat că toate numerele de
forma Fn  2 2  1, n  N este prim.
În 1732, Euler a arătat că F5 este decompozabil.
n

Conjectura lui Pólya
Afirmă că mai mult de jumătate dintre numerele naturale mai
mici decât orice număr dat au un număr impar de factori
primi.
De exemplu 24 are un număr par (4) de factori primi, iar 30 are
un număr impar (3) de factori primi.
A fost conjencturată în 1919 de către matematicianul maghiar
George Pólya.
A fost infirmată în 1958. Mărimea celui mai mic contraexemplu
(n=906.150.257, găsit de Minoru Tanaka în 1980) este
relevantă pentru a observa că o conjectură poate fi adevărată
pentru un număr imens de cazuri particulare, şi totuşi poate fi
falsă !
Conjenctura lui Euler
În 1769, Euler a afirmat că:

dacă a , a
1
, ..., a n , b , n , k  N
2
*
şi
a1  a 2  ...  a n  b
k
k
k
k
atunci
În 1966, Landler şi Parkin au găsit
contraexemplul: 27  84  110  133  144
5
5
5
5
5
nk
Conjecturi indecidabile



Nu orice conjectură sfârşeşte prin a fi
demonstrată (devenind teoremă) sau infirmată.
Cel mai cunoscut exemplu este “Postulatul lui
Euclid”, care s-a demonstrat că este independent
de setul acceptat de axiome. O asemenea
propoziţie (sau negaţia ei) este în consecinţă
adoptată ca axiomă. Astfel au apărut geometriile
neeuclidiene...
“Ipoteza continuului” şi “Axioma alegerii” sunt alte
două exemple celebre.
Teoremele lui Gödel 




În 1931, lumea matematică a fost zguduită de
teoremele demonstrate de tânărul matematician şi
logician Kurt Gödel, care a demonstrat că un set
de axiome conduce la un sistem matematic care
conţine propoziţii ce nu pot fi nici demonstrate,
nici infirmate pe baza axiomelor acceptate.
O propoziţie matematică poate fi deci
indecidabilă.
Adăugarea unor noi axiome nu rezolvă problema,
deoarece vor apărea alte propoziţii indecidabile...
Incertitudinea planează asupra Matematicii !