Transcript misteriosul numar pi
Matematicienii notează raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său prin litera grecească PI care reprezintă inițiala cuvintelor din aceeași limbă “perimetros” (perimetru) și “periferia” (periferie) , folosite de Arhimede în lucrarea sa despre cerc. Dar nu întotdeauna matematicienii au întrebuințat litera PI pentru a reprezenta raportul dintre circumferința și diametrul cercului. El a fost introdus abia în secolul al XVIII-lea, și atunci nu de catre toți matematicienii ,care pentru a marca acest raport foloseau litera “p” . Litera greceasca PI a fost folosită în geometrie pentru prima dată de Isaac Barrow (1630-1677) în lucrarea “Lecții ținute în școala publica a Academiei din Cambridge” de W. Oughtred în “Matematica recreativă”, pentru a nota însă lungimea cercului.
Abia spre sfârșitul secolului al XVII- lea,când rapoartele au fost asimilate cu numerele, a început să fie folosit PI în sensul de astăzi.
Cel dintîi matematician care l-a folosit pe PI pentru a-l nota pe 3,14… a fost W. Jones (1675-1749), în anul 1706, apoi Cristian Goldbach (1690-1764), în anul 1742. Celebrul matematicien elvețian Leonhard Euler (1707-1783), membru al Academiei de Științe din Petersburg, mai întrebuința prin 1734 litera “p” pentru a nota raportul dintre lungimea cercului și diametrul său,apoi cațiva ani mai târziu litera “c”, pentru că în lucrarea “Introducere în analiza infiniților”, publicată în 1748, să adopte definitiv litera grecească PI, și, datorită lui, acest simbol a intrat definitiv în uzul general al matematicienilor.
Noi cunoaștem azi drept valoare pentru Pi numărul 3,141.592.653…, dar , în decursul istoriei , valoarea lui nu a fost întotdeauna aceeași , ci a variat față de acest număr, în funcție de epocă, zonă geografică și popoare.
Vechile valori ale lui Pi au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de încercări. Astfel, se lua pur și simplu o sfoară și se înconjura cu ea un cilindru, după care se măsurau lungimea ei și diametrul cercului. Ceea ce ieșea din această împărțire era valoarea lui Pi, deși în aceea vreme , așa cum am arătat, acest raport nu se nota cu această literă.
Cea mai veche valoare a raportului dintre circumferința cercului și diametrul său a dat-o scribal egiptean Ahmes în jurul anului 1.800 î.
Chr. , în “Manualul lui Ahmes”, aflat pe papirusul Rhind . Ea este de 3,1.604, mai mare decât valoarea reală cu aproximativ 0,0188, rezultat care este însă mult mai apropiat de valoarea sa reală față de rezultatul obținut mai târziu de Arhimede.
Egiptenii mai obțineau valoarea lui Pi folosind raportul dintre perimetrul pătratului de la baza piramidei lui Keops si dublul înălțimii acestui monument, rezultatul fiind de 3,1.415.982. Încă din antichitate, matematicienii au încercat să rezolve așa-numita problemă a cvadraturii cercului, adică să contruiască un pătrat care să aibă aria egală cu a unui cerc dat, folosind numai compasul și rigla, dar pentru aceasta le trebuia valoarea exactă a lui Pi. Prin descifrarea unor tabele scrise pe tăblițe de lut, descoperite in 1950, de M. Bruius, la Susa, în Iran, rezultă că, în urmă cu 2.000 de ani î. Chr. , babilonienii calculaseră pentru Pi valoarea de 3,125, cu 0,0166 mai mică decât valoarea reală. La vechii caldeeni,valoarea lui Pi era egală cu 3, pentru că ei considerau că raza cercului se poate înscrie de 6 ori pe circumferința cercului.
Evrei, care au avut relații culturale și politice foarte strânse cu asiro-caldeenii.Îl considerau pe Pi egal tot cu 3. În “Biblie” se relatează că în templul lui Solomon,ridicat în secolul al XI-lea î. Chr, era un mare bazin de aramă, “de formă rotundă,având zece coți de la o margine la alta și o linie de 30 de coți îi masura circumferința”. Din descrierea acestui bazi, făcut de arhitectul Hiram de Tyr, la cererea lui Solomon, rezultă că Pi era egal cu 3,așa cum rezultă și din “Talmud”, o culegere de tradiții rabinice posterioare “Bibliei”, în 3 care se afirmă că “ceea ce are un înconjur de trei palme e lat de o palmă”. Aceeași valoare de 3 o dă și chinezul Ceu-pei în lucrarea sa “Cartea Sfântă a socotitului”,apărută în secolul III î.Chr.
Prin secolele VIII-VII î. Chr. , geometrii greci aveau două idei fundamentale în legătură cu cvadratura cercului: prima – că cercul se poate asimila cu un poligon regulat cu un număr înfinit de laturi și, a doua – că aria cercului este cuprinsă între cea a unui poligon regulat înscris și ce-a a unui poligon regulat circumscris,având același număr infinit de laturi. Ei credeau că problema cvadraturii cercului se poate rezolva prin metodă gramică, adică prin trasarea unor curbe mai complicate decât cercul. Printre greci care au căutat să rezolve cvadratura cercului și să afle valoarea lui Pi se număra Hipocrat din Chios (secolul V î. Chr.) , care s-a folosit de arile limitate de doua arce de cerc având aceleași extremități și a căror convexitate sunt situate de aceeași parte, figura geometrică plană numită “lunula”.
Dinostrat (sec. IV. î. Chr.), fostul elev a lui Platon, s-a folosit de o curbă ajutătoare,cunoscută azi în geometrie de “cvadricea lui Dinostrat”, iar Arhimede din Siracuza (287-212 î. Chr.), în lucrarea sa “Despre masurarea cercului”, a găsit valoarea lui Pi ca fiind cuprinsă între 3,141.606 și 3,141.590, valoarea cea mai apropiată de cea reală fiind 3,1.416, care este și astăzi folosită de către matematicieni. Valori apropiate de cele obținute de Arhimede au găsit și Claudiu Ptolomeu și Heron din Alexandria. Cel dintîi grec care a popularizat problema cvadraturii cercului,ridiculizând-o, a fost scriitorul Aristofan (sec V. î. Chr.),în comedia sa “Păsările” .
În general romanii au folosit pentru Pi valoarea dată de Arhimede, în schimb indienii foloseau pentru raportul dintre lungimea cercului și diametrului său valoarea de 3,0625.La începutul Evului Mediu, matematicianul arab Mahomed ben Musa (sec IX), în lucrarea sa “Algebra”, dădea pentru Pi aceeași valoare ca și Arhimede , afirmând că “Procedeul cel mai bun este sa înmulțim diametrul cu 3 1/7. Acesta este mijlocul cel mai rapid și cel mai ușor. Mai mult știe Dumnezeu!” . În secolul VI d. Chr. , renumitul matematician indian Aria-Bahata a dat pentru Pi valoarea de 3,1416, plecând de la un hexagon înscris într-un cerc, căruia i-a dublat succesiv laturile până la un poligon cu 384 de laturi. Apoi, considerând că perimetrul unui poligon cu un număr de laturi se apropie de lungimea circumferinței în care se înscrie acel poligon, a calculat acest perimetru, pe care l-a împărțit apoi la diametrul său.
Un alt matematician indian, Bhaskara înțeleptul, care a trăit în secolul al XII-lea, a dat pentru Pi valoarea de 3,1416, folosind același procedeu de calcul aplicat de Arhimede. Marele învățat uzbec Djemsid-ben Masud ed-Din al-Casi, care a trăit în jurul anului 1400,primul director al observatorului astronomic de lângă Samarkand, a scris o carte intitulată “învățătura despre cerc” în care a calculat raportul dintre lungimea circumferiței și raza servindu-se de un poligon regulat cu 800.335.168 de laturi, obținând pentru Pi urmatoarea valoare, cu 16 zecimale, 3,1415926535897932… rezultat surprinzător de exact.
Matematicianul olandez Ludolph van Keulen (1540-1610) din Leyda, a obținut, in 1596, valoarea lui Pi cu 35 de zecimale, număr care a fost agravat pe mormântul lui,germanii numind și astăzi simbolul Pi număr ludolphian.
În Europa medievală,problema cvadraturii cercului i-a preocupat mai puțin pe matematicieni,acest lucru fiind prezentat ca având ceva mistic, ca un fel de piatră filosofală a matematicienilor , cel care ar fi putut rezolva această problema ar fi putut sa înțeleagă o mulțime de lucruri tainice despre lume și viață. În timpul Renașterii,unii matematicieni au încercat să-i combată pe vechii greci,care au susținut că această problemă a cvadraturii cercului nu s-ar putea rezolva , deși toată lumea știe că nici una din valorile date lui Pi nu este exactă, din moment ce ele se bazează pe perimetrele unor poligoane, și nu pe circumferința cercului. Lipsa soluției la această problemă a făcut ca orice acțiune de orice natură, grea și încurcantă, căreia nu i se întrevedea o soluție să fie numită în literatură, ca fiind o adevarată cvadratura a cercului.
Matematicianul și astronomul olandez Cristiaan Huygens (1629 1695) a publicat in 1651 lucrarea “Teoreme asupra cvadraturii hiperbolei, elipsei și cercului din datele proporțiilor centrului de greutate”, iar în 1654 “Despre aflarea marimii cercului”, în care, folosind aceeași metodă a perimetrelor, a determinat valoarea lui Pi, el fiind ultimul care a mai folosit metoda perimetrelor pentru determinarea valorii Pi. După el, matematicienii nu au mai folosit metode geometrice, ci analitice pentru aflarea valorii Pi, așa cum a facut matematicianul francez Francois Viete (1540-1603), care, în anul 1593, a scos lucrarea “Opt cărți despre raspunsuri la diferite probleme”, în care a demonstrat că raportul dintre aria pătratului înscris în cerc și aria cercului se poate exprima printr-un produs cu un număr infinit de factori.
Matematicianul și filosoful englez Thomas Hobbes (1588-1679) a încercat să rezolve problema cvadraturii cercului, dar după mulți ani de muncă rezultatul la care a ajuns a fost total eronat,lucru demonstrat de distinstul matematician englez John Wallis (1616-1703), care a polemizat cu Hobbes o perioadă de timp, demonstrându-i că s-a înșelat. În cele din urma, Hobbes i-a scris lui Wallis : “Sau eu singur sînt nebun, sau ei toți (profesorii de matematică) și-au pierdut mințile; nu văd o părere de mijloc – doar dacă nu va veni altcineva care să spună că toți am înnebunit”. Wallis i-a dat replica,scriindu-i: “Afirmația d-lui Hobbes nu poate fi combătută. Pentru că daca el ar fi nebun,ar fi extrem de improbabil să fie convins prin rațiune de acest lucru; pe de altaparte, dacă noi toți am fi cei nebuni, n-am avea calificarea necesară pentru a încerca să o facem”.
Duelul verbal dintre ei a continuat până la moartea lui Hobbes, la vârsta de 91 de ani. În unul din ultimele sale atacuri,Hobbes scria despre afirmațile lui Wallis: “Tot ce ați spus până acum este eroare și răutate; astfel spus,, vânt rău mirositor, asemenea celui lansat de o mirtoagă cu burta prea plină atunci când este înșeuată”. Despre Hobbes s-a spus că reprezintă cazul clasic al omului de geniu care se aventurează într-o ramură a științei pentru care nu era bine pregătit și care și-a cheltuit cea mai mare parte din energia sa creatoare pseudoștiințifice.
în tot felul de absurdității
În secolul al XVIII-lea, Johann Lambert (1728-1777) a reușit să soluționeze una din problemele legate de numărul Pi, arătând că aceasta este un număr irațional,sau, cu alte cuvinte, că el nu se poate exprima sub forma unui număr zecimal finit și că nici nu are vreun grup de zecimale care să se repete, adică să poată fi scris sub formă de fracție zecimală periodică. Mai târziu in 1882, matematicianul german Ferdinand Lindemann (1852-1939) a demostrat că problema găsirii cvadraturii cercului nu poate fi rezolvată, pentru că Pi face parte din clasa numerelor trascendente, care nu pot fi rădăcini ale unor ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Ori, pentru a construi o linie cu rigla și compasul trebuie ca lungimea respectivei linii să fie rădăcina unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Din moment ce Pi este transcendent, el nu poate fi o astfel de rădăcină și, că atare, găsirea cvadraturii cercului este imposibilă.
La sfârșitul secolului al XIX-lea, numeroși matematicieni au căutat să calculeze, cu creionul și hârtia în față, cât mai multe zecimale pentru Pi. Cel mai neobosit calculator s-a dovedit matematicianul englez William Shanks, care, de-a lungul a peste 20 de ani, a reușit să calculeze 707 zecimale, numai că, după inventarea calculatorului, în 1945, s-a constatat că Shanks greșise ce-a de-a 528-a zecimală, ele,evident,eronate.
iar toate celelante care urmau erau și
În anul 1945,folosindu-se calculatorul ENIAC, s-au obținut nu mai puțin de 2.000 de zecimale, în numai 70 de ore. Mai târziu, un alt calculator, mai performant, a obținut 3.000 de zecimale în numai 13 minute ! în 1959, cu ajutorul unor calculatoare franceze și engleze s-a ajuns la performanța de 10.000 de zecimale, iar la 29 iulie 1961, un calculator IMB 7090 Data Center, din New York, a calculat pentru Pi 100.265 de zecimale, după 8 ore și 1 minut, și după alte 42 de minute pentru a transforma rezultatul binar in formă zecimală.
Din revista “Science et Vie” aflăm că la centrul de calcul al Universității din Tokyo, cercetătorul japonez Yasumara Kanada a lucrat la 1024 de microprocesoare montate în paralel, timp de 10 ore, pentru a-l cunoaște mai bine pe Pi. La sfarșitul acestui efort deosebit, matematicianul a aflat pentru Pi 51 de miliarde de zecimale, fără să găsească o anumită regulă matematică în însușirea acestor cifre, deși există și grupe de cifre care se repetă, astfel fiind grupuri de 7.777 și chiar un neașteptat 999.999, dar ele sunt total întâmplătoare. Scriind despre faptul că astăzi calculatoarele pot obține pentru Pi câteva mii de zecimale în mod obișnuit, Philip j. Davis scrie în cartea sa “Legendele numeroaselor mări “, ca o asemenea operație a devenit un fel de “gărgară cu ajutorul căreia mașinile de calcul își curăță gâtul”.
Pentru memorarea mai facilă a cat mai multor zecimale ale numărului Pi s-au înlocuit, în diferite limbi, tot felul de fraze,zicale,poezioare etc. ușor de memorat și care dau, prin numărul de litere ale cuvintelor, luate în ordine,cifrele zecimale respective. În Limba Română propoziția “Așa e ușor a scrie renumitul și utilul număr” dă valoarea lui Pi cu 8 zecimale, în germană este un catren care dă 23 zecimale, iar în limba franceză, 4 versuri alexandrine dau primele 30 de zecimale ale numarului Pi. Acesta este aproape recordul absolut, pentru că mai departe nu se mai poate deoarece a 32-a zecimala e…. zero!
Deși este studiat de mai bine de 5.000 de ani, nici astăzi numărul Pi nu este cunoscut îndeajuns, el continuînd să fie un număr ciudat,care își păstrează tainele și poate să ne rezerve înca multe surprize.
În Limba Română performanța
urmatoarele doua poezii:
este de 25 de zecimale, dată de
1. “Dar o știm, e număr important ce trebuie iubit Din toate numerele însemnate diamant neasemuit, Cei ce vor temeinic asta prețui Ei veșnic bine vor trăi” 2 . “Sus e luna; O zeiță fermecată, Ca nebuna Peste ape trece supărată.
Cântecele toamnei parfumate Mor de dor; Legănate ușor Visuri de iubire Spre cer zbor”