Transcript 3.3

3 지식의 지도
수학에서는 간단한 수학적인 사실이나
기능이 이후에 연결되는 이해와 문제
해결에서 매우 중요한 역할을 하게 된다.
다음과 같은 문제해결을 해 보자.
‘어떤수를 제곱해야 할 것을 잘못해서 2
배 하였더니, 제곱한 것보다 15작게 되
었다고 한다. 원래의 수를 구하여라. ’
제곱의 뜻, 작다의 뜻
(x-5)(×+3) = 0의 계산
위의 지식이나 기능을 알게 될 때 비로소 미지
수 X를 잡고
X2-2X = 15, (X-5)(X+3) = 0
∴X=5 or X = -3 과 같이 해결할 수 있다.
수학적적인 사실 :
2×3= 6, △ABC의 넓이는 1/2×(밑변의 넓이)×(높
이), 22/7는 π의 근사값
기능 :
두 자리 수의 곱셈, 근사값에서 유효숫자 표기법, 주
어진 분수를 약분하기, 미분∙적분
등 현행 중등학교에서 사용하고 있는 교과서를 분석
해 보면 많은 내용이 이 영역에 속한다는 사실을 알
수 있다.
기능과 지식영역의 계획을 어떻게 세울 것인
가를 먼저 이야기하고 지도의 실제를 논한다.
(1) 지식과 기능영역의 분류
수학교사들에게 요구되는 어려운 일 하나는
교과서에서 지식과 기능을 구분하는 일이다.
즉교사의 입장에서 교과서의 어느 부분을 지
식이나 기능으로 분류하며 가르칠 것인가이다.
이러한 결정은 어떤 뚜렷한 조건에 의하여 근
거해야 한다는 것이 아니고, 교사의 주관적 입
장에서 구분해야 한다는 것이 더욱 문제를 어
렵게 만든다.
교사 A
수학의 거의 모든 영역은 지식과 기능으로 구
성되었다고 본다. 그래서 그는 수학시간에 학
생들이 교과서 내용을 암기하기를 바란다. 따
라서 시험은 전적으로 얼마나 암기를 잘 하고
많이 해서 정직하게 기록하느냐를 평가한다.
그래서 근의 공식을 잘 기억해서 쓴 사람은 점
수를 잘 받고, 근의 공식을 잘 기억하지 못해
서 틀리게 쓴 사람은 점수를 잘 받지 못한다.
B교사
원리와 과정을 중요시한다. 그래서 간단한 수
학내용, 예를 들어 ‘<, = ’의 뜻, 2+3=5, π
≃3.14등과 같은 사실을 제외하고는 과정을
중시한다. 어떤 정리나 공식에 대하여 반드시
유도과정을 강조하고 왜 그러는지를 항상 강
조한다. 다른 평가에서도 교사B는 독특하다.
교사 B는 언제나 개방된 시험(open book)으
로 대처한다.
두 교사의 지도 방법에는 학습에서 결과
(product)를 중시할 것인가, 과정(precess)을
중시할 것인가를 보여 주고 있다. 대부분 교사
들은 이 두가지 지도방법의 사이에 속할 것이
다. A교사와 같이 수학의 거의 모든 영역을 지
식이나 기능 수준으로 생각하여 지도하는 것
은 문제가 있다고 생각이 든 것이다. 교과서의
어느 부분을 지식과 기능으로 분리할 것인가
는 교사의 결정 문제이다.
지식과 기능의 분리
① 이 수학적인 사실(내용)은 단순한(또는
특정한) 사실의 기억을 강조하는 부분인
가?
② 이 수학적인 사실(내용)은 그 과정 유
도가 꼭 필요하다고 보는가?
③ 유도하는 시간이 오래 걸린다고 보는가?
④ 이 수학적인 사실(내용)은 다른 내용에
어떻게 사용되는가?
지식을 목표 진술할 때는 ‘학생은 ~을
알야야 한다’와 같이 나타낼 수 있다.
①학생들은 3.14가 π의 값을 소수 둘째자
리까지 계산한 근사값임을 알수 있다.
②학생들은 어떤 실수 x와 자연수 n에 대
하여 x은 x를 n번 곱한 결과이고, 이때 n
은 x의 지수임을 알수가 있다.
기능을 목표 진술할 때는 지식과는 약간 다른
형태가 된다. 기능은 어떤 일정한 지도기간이
끝나면 학생들은 할 수 있어야 한다(be able
to), 즉 행동(action)을 강조한다
①학생들은 직교평면좌표에서 몇 개의 순서쌍을
나타낼 수 있다.
②학생들은 정수의 집합 범위에서 이차식을 인
수분해할 수 있다.
③학생들은 직각삼각형의 어느 두 변이 주어져
있을 때 다른 한 변의 길이를 계산할 수 있다
가) 대수 영역
지수 학생들은 ∈는 ‘~의 원소이다’를
나타내는 기호이고, ∉는 ‘~원소가 아니
다’를 나타내는 기호임을 알 수 있다.
기능 학생들은 주어진 이차함수를 보고
대응표를 만들어 그래프를 그릴 수 있다.
나) 기하 영역
지식 학생들은 평면에서 두 개의 직선 m
과 n이 평행할 때 필요 충분조건은
m⋂n=∅임을 알 수 있다.
기능 학생들은 주어진 이차함수를 보고
대응표를 만들어 그래프를 그릴수 있다.
(2) 지식과 기능의 지도
지식과 기능의 지도에서 가장 큰 특징은
학생들은 자동적으로 지식과 기능에 대
한 내용을 진술한다거나 제시할 수 있어
야 한다. 즉, 빠르고 정확하게 제시해야
한다. 지식내용은 반복, 부분학습, 기억
법을 이용하여 도입, 실증, 연습단계로
진행이다.
가) 도 입
도입에서는 교사가 목표를 명확하게 제
시하는 단계이다. 즉 수업의 핵심이 어
떤 것이며 수업의 효과(응용)는 무엇이
될 것이다 하는 교사의 명확한 진술이다.
주의할 점은 동기유발이 일어나도록 항
상 준비해야 한다
나) 실증
교사는 목표제시 후 칠판에 직접 알고리
즘을 모범답안으로 제시한다. 이 때는
전체과정을 실증해 주고, 부분부분을 강
조해서 계산해 준다.
학생들이 선수학습내용을 알고 있는가를
점검해야 하며 유사절차(analogy)를 이
용하는 것도 바람직하다.
다) 검증 및 연습
알고리즘의 각 단계의 성립 이유를 제
시하는 일이다.
a/b÷d/c = a/b × 1/(d/c), 나누기의 정의
a/b × 1/(d/c) = a / b , 유리수 곱셈 정의
a / b = (a/ b)(c/ d)
(d/ c)(c/ d)
d/ c
d/ c
, 유리수 성질 (0은 제외)
= a/b × c/d∴ a/b÷d/c = a/b × c/d,
교사는 연습과정으로 학생들을 유도하
는데 연습을 반복시키며 알고리즘 절차
는 기억하도록 강조한다. 연습의 효과는
매우 중요한 것이어서, 교사가 어떤 연
습을 어떤 방법으로 주느냐에 따라 그
결과가 결정된다