Transcript 4.2 이해의 지도 (3) 발견적 지도

1. 피타고라스 정리를 발견학습을 통하여
지도하는 방법을 생각해보자. (기하영역)
2. 구체적 모델을 이용하여 인수분해하기.
(기능영역)
3. 학생들은 그래프 y=(a-k)2+ p가 다음과
같은 성질을 가짐을 이해한다. (대수영역)
기하영역
피타고라스 정리를 발견학습을 통하여
지도하는 방법을 생각해보자.
1단계 : 문제를 정의한다.
2단계 : 자료를 모으고, 분석하고 조직한다.
3단계 : 가설을 세운다.
4단계 : 가설을 증명(검증)한다.
5단계 : 응용하기.
1단계: 문제를 정의한다.
3
4
1
5
6
7
3
8
5
4
12
13
6
2
8
10
1단계: 문제를 정의한다.
3
4
1
5
3 cm
5 cm
4 cm
1단계: 문제를 정의한다.
S3
S23 cm
5 cm
S1 = 16
4 cm
S1
S2 = 9
S3 = 25
2단계: 자료를 모으고, 분석하고 조직한다.
6
3
8
4
1
2
5
10
6
7
3
8
5
4
12
13
2단계: 자료를 모으고, 분석하고 조직한다.
S3
S23 cm
5 cm
4 cm
S1
S1 = 16
S1 = 42
S2 = 9
S2 = 32
S3 = 25
S3 = 52
2
2
2
따라서, S1 + S2 =S3
3단계: 가설을 세운다.
b cm
c cm
a cm
“직각삼각형에서 빗변( c )의 제곱은 지각을 낀
나머지 두 변(a, b)의 제곱의 합과 같다.”
즉, a2 + b2 = c2
4단계: 가설을 증명(검증)한다.
E
F
D
△ABC ≡ △DEB ≡ △FGE ≡ △HCG
(왜냐하면 SAS에 의하여)
따라서, BC = BE = EG = GC = a
G
a
H
c
C
x
b
B
A
또,
∠EGC = ∠CBE = ∠GCB = ∠GEB =∠R
( 왜냐하면 ○+×=90°인데,
180-(○+×)=90°)
∴□GEBC는 정사각형이다.
4단계: 가설을 증명(검증)한다.
E
F
E
D
G
G
=
B -
a
B
×4
H
c
C
A
b
C
a = (b+c) -4× 1 bc ⇔ a2 = b 2+2bc + c2 -2bc
2
2
2
∴a2 = b2 + c2
5단계: 응용하기.
b cm
c cm
a cm
a 2+ b2= c2
첫째, 순수 발견적 지도
교사가 문제장면(과제)만 제공하고 교사의 도움은 거의
안 받고 학생들 스스로 직관과 구체적 자료를 모으고, 분
석하고, 조직하여 주어진 과제의 목표에 도달하게 하는
방법이다.
둘째, 인도된 발견적 지도
교사가 수업을 이끌어 가는데 사전에 계획된 절차와
오류를 최소화하면서 질문이 필요하면 핵심 아이디어를
제공한다.
오일러 공식의 지도하는 방법에서
교사A : 정육면체를 손에 들고 꼭지점, 면, 변 등을 지적하면서
V+F=E+2 라고 칠판에 쓴다. 다음 다른 다면체에서도 이
러한 관계가 성립하는가 확인하라고 지시한다.
교사B :
… 교사는 꼭지점, 면, 변을 정사면체에서 지적하고,
다음 표를 완성하도록 한다. 다음 V+F와 E+2와는 어떤
관계가 있는가라는 질문을 한다.
다면체
정4면체
정6면체
정8면체
정12면체
정20면체
꼭지점
의 수(V)
면의 수
(F)
변의 수
(E)
V+F
E+2
오일러 공식의 지도하는 방법에서
교사C : … 꼭지점, ,면, 변을 지적하고, 학생을 소집단으로 나
누어, F, E, V의 관계를 구하도록 지도한다.
교사D :
… 교실에 들어온 즉시 아무 말을 하지 않고 칠판에
“정사면체에서 V, F, E의 관계를 말하라”라고 쓰고 여러
학생들에게 몇 개의 정다면체를 나누어 준다.
오일러 공식의 지도하는 방법에서
교사A : 정육면체를 손에 들고 꼭지점, 면, 변 등을 지적하면서
V+F=E+2 라고 칠판에 쓴다. 다음 다른 다면체에서도 이
러한 관계가 성립하는가 확인하라고 지시한다.
교사A는 발견적 지도방법이 아니다.
교사B : … 교사는 꼭지점, 면, 변을 정사면체에서 지적하고,
다음 표를 완성하도록 한다. 다음 V+F와 E+2와는 어떤
관계가 있는가라는 질문을 한다.
교사B는 비교적 자세하게 지침을 준 발견적 지도방법이 이다.
교사C : … 꼭지점, ,면, 변을 지적하고, 학생을 소집단으로 나
누어, F, E, V의 관계를 구하도록 지도한다.
교사C는 비교적 학생들과 학생들, 학생들과 교사 간의
상호작용을 강조하고 있다..
교사D :
… 교실에 들어온 즉시 아무 말을 하지 않고 칠판에
“정사면체에서 V, F, E의 관계를 말하라”라고 쓰고 여러
학생들에게 몇 개의 정다면체를 나누어 준다.
교사D는 비교적 순수 발견적 지도 방법을 강조하고 있다.
기능영역
기능영역에 해당되는 수학내용이라도 이해를 필요로
하는 영역은 이 방법으로 지도할 수 있다.
과제명 : 구체적 모델을 이용하여
인수분해하기.
목표 : 구체적 모델을 이용하여 다항식을 인수로 분해하고
상징 적 수준에서 인수분해의 어떤 규칙을 발견하는
데 있다.
활동1 : 교사는 다음 그림과 같은 사각형을 두꺼운 종이에서
종이에서 오려낸다.
x
x
x
2
1x
1
1x
1
1x
1
1
1
1
1
1
활동1 : 교사는 다음 그림과 같은 사각형을 두꺼운 종이에서
종이에서 오려낸다.
다음에는 x 2+3x+2는 한 개의 정사각형, 세 개의
직사각형, 두 개의 정사각형이므로 다음과 같은 질
문을 준다.
(1) x 2+3x+2에 해당하는 사각형들을 적당히 짜맞추어
직사각형 모양을 만들 수 있는가?
(2) 이 때, 가로와 세로는 어떻게 나타나는가?
x2+3x+2 =
(x+1)(x+2)
X +1
X+2
다음 문제를 풀어보자.
2
x +6x+6= ( x + 1 )( x + 5 )
2
x +6x+8= ( x + 2 )( x + 4 )
2
2
2x +7x+3 = ( 2x+ 1)( x + 3 )
2
2x +5x+3 = ( 2x+ 3)( x + 1 )
2
x +8x+15= ( x + 3)( x + 5) 3x +5x+2 = ( 3x+ 2 )( x + 1)
2
2
x +7x+12= ( x + 3 )( x + 4 ) 2x +7x+6 = ( 2x+ 3)( x + 2)
2
x +2x= ( x )( x + 2 )
활동2 : 앞의 연습에서 x2+bx+c=(x+p)(x+q)임을 알았으므로
이제는 다음과 같은 두 개의 질문을 통하여 어떤
규칙을 산출해 내도록 한다.
2
x +6x+6= ( x + 1 )( x + 5 )
2
x +6x+8= ( x + 2 )( x + 4 )
2
x +7x+6 = ( x + 1 )(x + 6 )
2
x +7x+10 = ( x + 2 )(x + 5 )
(1) p, q와 c와는 어떤 관계가 있는가?
(2) p, q와 b와는 어떤 관계가 있는가?
알고리즘을 발견했으면 다음 문제를 인수분해 해보자.
2
x +5x+6= ( x + 2 )( x + 3 )
2
2
x +6x+9= ( x + 3 )
2
x +9x+20 = ( x+ 4 )( x + 5 )
2
x +10x+9 = ( x+ 1 )( x + 9 )
활동3 : 앞에서 ax 2+bx+c 형태의 인수분해를 면적을 통해 연습
했으므로 다음 두 가지 질문을 통해 ax 2+bx+c = (ax+p)
(x+q)의 알고리즘을 스스로 산출하도록 한다.
ax2 +bx+c = (ax+p)(x+q)
(1) p, q와 c와는 어떤 관계가 있는가?
(2) a, p, q와 b와는 어떤 관계가 있는가?
알고리즘을 발견했으면 다음 문제를 인수분해 해보자.
2
2x +7x+6=( 2x+3 )( x + 2 )
2
2x +9x+4=( 2x+1 )( x + 1 )
2
2x +13x+15=(2x+10)( x + 3 )
2
3x +10x+8=( 3x+ 4 )( x + 2 )
활동4 : 이번에는 x 2-3x+2=(
)(
)와 같이 x의 계수 또는
상수의 부호가 음인 경우이다. 다음과 같은 조작활동을
2
통해 x -3x+2=(x-2)(x-1)을 유도한다. 검은 직사각형은
전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다.
x
1
1
x
1
1
1
1
2
활동4 : 이번에는 x -3x+2=(
)(
)와 같이 x의 계수 또는
상수의 부호가 음인 경우이다. 다음과 같은 조작활동을
2
통해 x -3x+2=(x-2)(x-1)을 유도한다. 검은 직사각형은
전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다.
x
1
1
x
1
∴x
2
-3x+2=
(x-1)(x-2)
2
활동4 : 이번에는 x -3x+2=(
)(
)와 같이 x의 계수 또는
상수의2 부호가 음인 경우이다. 다음과 같은 조작활동을
통해 x -3x+2=(x-2)(x-1)을 유도한다. 검은 직사각형은
전체에서 그 넓이만큼 뺀다는 뜻이다.
그럼, 다음 문제를 풀어보자.
2
x -2x+1=( x – 1)
2
2
x -6x+8=( x – 2)( x – 4)
2
x -5x+6=( x – 2)( x – 3)
2
2x -5x+2=( 2x- 1)( x - 2 )
활동5 : 활동2와 활동3과 같은 내용의 발견을 한 다음, 여기서
얻어낸 알고리즘을 다음 보기와 같은 방법으로 연습한다.
2
x - 8x + 12 = ( x - 6 )( x - 2 )
x
-6 = -6x
x
-2 = -2x
2
x +x–6
2
x - 13x +15
2
2x + x – 10
2
3x -14x -5
지금까지 제시한 보기들은 주로 활동적인 학습. 즉, 구체적인
활동을 용이하게 제시할 수 있는 내용들이었기 때문에 구체물
조작, 작도 등이 가능한 것들이었으나 대수분야에서는 이러한
활동이 어렵다.
대수영역
앞에서 제시한 발견적 지도의 절차를 단
계별로 구분하지 않고 다음과 같은 계열
로 이끌어 갈 수 있다.
2
과제 : 학생들은 그래프 y=a(x-k) + p가 다음과
같은 성질을 가짐을 이해한다.
(1) a>0 일 때, 그래프는 위로 오목하고, 점(k ,p)에서
최소값을 가진다.
(2) a<0 일 때, 그래프는 아래로 오목하고, 점(k ,p)에서
최대값을 가진다.
(3) 그래프는 직선 x=k 를 대칭축으로 한다.
(가) 학생들은 대응표를 만들어 그래프 용지에 다음과 같은
이차함수의 그래프를 그린다.
2
y=2x,
2
y=-2x,
1 2
y= x,
4
1 2
y=- x
4
(가) 학생들은 대응표를 만들어 그래프 용지에 다음과 같은
이차함수의 그래프를 그린다.
다음 교사는 앞의 그래프를 보고 다음을 빨리 그려 보
도록 한다.
2
y=4x,
2
y=-4x,
1 2
y= x,
8
1 2
y=- x
8
이러한 연습이 끝난 다음, 교사는 다음을 학생들과
토론한다.
(1) 마지막 네 문제를 앞의 열 문제에서 보여 준
그래프를 이용하여 어떻게 빨리 그릴 수 있는가?
2
(2) y=ax 이 a의 값(음, 양)에 따라 그래프의 방향
과 폭이 어떻게 변하는가?
(나) 교사는 다음 문제의 대응표를 만들어 그래프를 그려본다.
2
2
y= x + 2
y=-x + 2
위의 그래프를 이용해서 대응표 없이 다음 그래프를
그려보게 한다.
1
y= x + ,
2
2
1
y=-x 2
2
이러한 연습이 끝난 다음 (가)에서 제시한 비슷한
토론을 교사가 유도한다. 즉,
(1) 나중 두 문제의 그래프를 앞의 문제를 통하여
대응표 없이 그릴 수 있는가?
2
(2) y=ax + c 의 그래프는 c의 값에 따라 어떻게
모양이 바뀌는가?
(다) 교사는 두 가지 연습을 시도한다. 방법은 앞의 (가), (나)
에서와 같이 한다.
2
첫째 연습 y=a(x-k) 에서 k의 역할을 일반화 할 수 있게
2
하는 연습 및 토론, 둘째 연습 y=a(x-k) +p 에서 p의 역할
을 일반화할 수 있게 하는 연습 및 토론, 이러한 연습이
가능한 학생 스스로 이루어진 다음 교사는 다음과 같은
두 문제를 제시하여 종합하면서 토론을 끝낸다.
2
y=2(x+3) +1,
2
y=2(x-3) +1
위의 보기는 대수분야에서 일어나는
전형적인 발견적 지도이다.
여기서는 논증과 같은 증명방법은 없으나 앞에서
제시한 절차를 따라갔다.
1단계 : 문제를 정의한다.
‘교사가 발견하려는 과제의
성격을 이야기해 주고
2
복잡한 그래프 y=a(x-k) +p 를 어떻게 하면 쉽게 그릴
수 있을까’로 동기유발 한다.
2단계 : 자료를 모으고, 분석하고 조직한다.
(가), (나), (다) 를 제시한다.
3단계 : 가설을 세운다.
쉽게 가도록 계산식을 제시한다.
4단계 : 가설을 증명(검증)한다.
2
y=a(x-k) +p 에서 a, p, k 의 관계를 일반화 시킨다.
5단계 : 응용하기.
2
y=ax +bx+c ( a≠0 )
중·고등학교 교과서에서 대수분야는 이러한 보기를
통해서 가능한 과제를 선택하여 교재개발을 할 수
이다.
이러한 활동은 학생들에게는 전혀 알지 못하는 수학
분야를 자기가 만들어 본다는 관점에서 유익한 기회가
된다.
교사는 이미 알고 있는 내용이기 때문에 잘못하면
학생들의 발견 분위기를 침해할 수 있으므로 사전
에 지침(질문)의 수준을 계획하여 인도된 발견과정
이 이루어지도록 해야 한다.
이러한 발견학습은 다음과 같은 관점에서 권장할
만한 지도 방법이다.
(1) 부르너는 어떤 과제의 성취는 개인의 학습에
대한 탐구의욕, 추측의 지향, 스스로 문제를 해결할
수 있다는 태도의 개발과 관련이 있다고 말한다.
학생에게 발견학습은 이러한 분위기를 만들어
준다.
(2) 발견학습은 익숙하지 않은 문제장면(예를 들어
직장에서 직면하는 수학적인 문제)을 스스로 해결해
보려는 일반적인 문제 해결 전략을 세우게 하는 태도
와 관심을 주게 한다. 즉 어려운 문제 해결에 도전하려
는 태도, 알맞은 풀이 전략을 이끌어내려 하는 지적활
동이 보다 중요하다. 발견학습은 이러한 면에 도움을
줄 수 있는 학습이다.
이러한 발견학습은 다음과 같은 관점에서 권장할
만한 지도 방법이다.
(3) 발견학습 과정에서 일어나는 활동 –소집단을 형
성하여 자료를 모으고 분석하기, 가설을 세우고
비교 하기 등- 은 다른 학생들의 생각을 듣고 비판
하고, 예측하는 기회를 제공함으로써 합리적인 생
각을 하게 되고 대화기술이 향상되는 효과를 얻을
수 있다.
(4) 수학을 만드는 과정에서 학생들이 직접 참여했
기 때문에, 단순히 결과만을 중시하고 필요하면 암
기하는 학습보다 오랫동안 이해활동이 지속되어
다른 과제를 해결하는 데 재발견의 기회가 증대된
다.
그러나, 수업의 속도를 고려한다면 발견학습은
비효과적일 수밖에 없다.
이상으로 발표를 마치겠습니다.