Transcript ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnunar - Tölfræðileg gæðastjórnun - Eggert Þ.

ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnunar
- Tölfræðileg gæðastjórnun -
Eggert Þ. Þórarinsson
M.sc. í vélaverkfræði
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 1
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Stýririt - heimaverkefni
Stýririt fyrir X og s eru notuð til þess að fylgjast með tiltekinni
framleiðslu. Fjöldi mælinga í sýni er n = 4. Eftir 30 sýnatökur fengust
eftirfarandi niðurstöður:
30
X
i 1
i
 12870
30
s
i 1
i
 410
i) Finnið +/- 3σ stjórnmörk fyrir X og s stýriritin.
ii) Finnið +/- 2σ stjórnmörk fyrir s stýriritið.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 2
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Sýnatökuáætlanir - Hvað er til ráða?
Verið er að skoða innköllun á fæðubótarefni frá erlendum
framleiðanda (fyrir Íslandsmarkað) þar sem rangur fylgiseðill var í
umbúðum (í einni öskju). Í kjölfarið var ákveðið að skoða allar lotur
100% vegna þess að slíkur galli má ekki eiga sér stað. Það er búið
að taka út framleiðandann, en hugmyndin er að innleiða
móttökueftirlit til að meta hvort framleiðslan sé í lagi. Á hvaða
forsendum byggjum við slíkt móttökueftirlit?
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 3
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Tölfræðileg gæðastjórnun
•
Stýririt
•
Sýnatökuáætlanir
•
Tilgátupróf
•
Sætispróf
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 4
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Stýririt
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Stýririt byggja á mælingum.
Lykilatriði að mælingarnar endurspegli ástand ferlisins þegar ekkert er
að gerast.
Safna a.m.k. 100 mælingum.
Fylgjast vel með ferlinu á meðan.
Leita að mynstrum eða leitni sem gefur til kynna óstaðnað ferli.
Finna skýringar á öllu óeðlilegu sem kemur upp á meðan mælingum
er safnað.
Lágmarka mælióvissu; starfslið, mælitæki, efni, aðferðir, umhverfi
o.s.frv.
Teikna deplarit. Kanna mögulega fylgni.
Lykilatriði að vanda smíði stýririta.
Rangar forsendur;
 Inngrip tíð, hár kostnaður.
 Gæðum hugsanlega ábótavant.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 5
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Val á stýriritum
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 6
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Val á stýririt
• Normaldreift ferli á við þegar:
–
–
–
–
Samfelldar mælingar.
Stundum þarf að varpa mælingum til að gera þær normaldreifðar.
Margir þættir hafa áhrif á ferlið.
X, R, s, MR og fleiri stýririt.
• Tvíkosta ferli á við þegar:
– Útkoman er já/nei, 0/1, gölluð/ekki gölluð o.s.frv.
– Útkoma úr einni mælingu er óháð fyrri mælingum.
– p og np stýririt.
• Poisson ferli á við þegar:
– Verið er að telja fjölda á eining; 0,1,2,3 o.s.frv gallar.
– Útkoma úr einni mælingu er óháð fyrri mælingum.
– c og u stýririt.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 7
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
X og R - stýririt
•
•
•
X er mælikvarði á meðaltalið.
R, meðalspönnin, er mælikvarði á breytileikann.
Skiptum mæligildunum í m hópa með n gildum innan hvers hóps.
Stýrimörk á X – stýriritinu:
Stýrimörk á R – stýriritinu:
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 8
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
X og s - stýririt
•
•
•
X er mælikvarði á meðaltalið.
s, staðalfrávikið, er mælikvarði á breytileikann.
Eins og áður skiptum við mæligildunum í m hópa með n gildum innan
hvers hóps.
Stýrimörk á X – stýriritinu:
Stýrimörk á s – stýriritinu:
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 9
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Stuðlar fyrir stýririt
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 10
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
X, R og s - stýririt

Ef ekki er notast við +/- 3σ sem stýrimörk þarf að huga að hvernig
stuðlarnir A2, D3, D4, A3, B3 og B4 eru reiknaðir út.
A2 
3d
3d
3
; D3  1  3 ; D4  1  3
d2
d2
d2  n
3
3
3
2
A3 
; B3  1   1  c4 ; B4  1   1  c42
c4
c4
c4  n
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 11
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Aðrar leiðir en +/- 3σ (e. zone-testing)
1. 1 gildi lendir utan A.
2. 2 gildi af 3 lenda utan B sömu
megin við CL.
3. 4 gildi af 5 lenda utan C sömu
megin við CL.
4. 8 gildi í röð sömu megin við CL.
5. 15 gildi í röð lenda í C, annað
hvort fyrir ofan eða neðan CL.
6. 8 gildi í röð lenda utan C, annað
hvort fyrir ofan eða neðan.
Aukinn fjöldi af stýrireglum, eykur líkurnar á fölskum viðvörunum;
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 12
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
PCR - færni ferils (e. process capability ratio)
Færni ferils, PCR, er skilgreind sem;
USL  LSL
6
Yfirleitt notast við raunverulega færni
ferils, PCRk;
USL     LSL 
PCRk  min 
,
 3
3 
PCR mælir mögulega færni en PCRk
raunverulega færni.
PCR 
PCRk > 1, gildir alltaf.
PCRk ≥ 11/3, oftast lágmark.
PCRk ≥ 2, ferlið kallað 6σ ferli.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 13
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
ARL (e. average run length)
ARL er mælikvarði á hvenær stýririt sýnir
útslag (að meðaltali) eftir breytingu á
ferlinu (hliðrun).
kσ:
hliðrun í stýribreytunni.
L(kσ): líkur á að lenda innan stjórnmarkanna eftir
hliðrun.
Y:
fjöldi gilda þangað til við lendum utan
stjórnamarkanna.


1
ARL (k ) E Y   PY  nn  nL (k ) n 1 1  L(k ) 
1L(k )
n 1
n 1
Góð stýririt hafa stór ARL(0) gildi (þegar
ferlið er í tölfræðilegu jafnvægi) sem eiga
að minnka hratt þegar kσ (hliðrunin) fer
stækkandi.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 14
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
p, np - stýririt
•
•
•
•
Ef flokka má sýni í 2 flokka, 0/1 eða galla/ógallað er unnt að nota p eða
np stýririt.
p er gallahlutfall og n er fjöldi sýna, np lýsir því fjölda galla í hóp.
Eins og áður skiptum við mæligildunum í m hópa með n gildum innan
hvers hóps.
D lýsir fjölda gallaðra sýna innan hvers hóps.
Stýrimörk á p – stýriritinu:
Stýrimörk á np – stýriritinu:
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 15
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
c og u - stýririt
•
•
•
Hér skiptir máli hversu margir gallar eru í sýni, geta verið 0,1,2,3….
c lýsir fjölda galla í sýni. Meta má c með einföldu meðaltali mælninga.
Sambandi c og u er lýst með jöfnunni u = c/n, þar sem n er fjöldi eininga
í sýni. u lýsir því fjölda galla per einhverja einingu.
Stýrimörk á c – stýriritinu:
23.9.2010
Stýrimörk á u – stýriritinu:
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 16
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Tölfræðileg gæðastjórnun
•
Stýririt
•
Sýnatökuáætlanir
•
Tilgátupróf
•
Sætispróf
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 17
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Sýnatökuáætlanir (e. sampling plan)
• Stýririt eru notuð til að fylgjast með hvort ferli eru í tölfræðilegu
jafnvægi.
• Sýnatökuáætlanir eru hins vegar eftirá eftirlit. Tekin eru sýni, t.d.
úr sendingu og á grundvelli þeirra skorið úr um hvort samþykkja
eigi sendinguna eða hafna henni.
• Sýnatökuáætlanir segja til um hversu mörg sýni, n, á að taka og
hversu marga galla, c, eigi að leyfa.
• Þegar teknar eru ákvarðanir á grundvelli sýnatöku geta tvenns
konar mistök átt sér stað;
1. Góðu safni er hafnað með líkunum α (e. producers risk).
2. Slæmt safn er samþykkt með líkunum β (e. consumers risk).
• OC kúrfa sýnir líkurnar á að samþykkja safn sem fall af p,
hlutfalli galla í safninu.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 18
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
OC - kúrfa
•

Dæmigerð einföld sýnatökuáætlun gæti
t.d.
i) n = 125, c ≤ 5
ii) n = 100, c ≤ 4
OC – kúrfan hér til hliðar sýnir að ef p =
0,05 eru 40% og 25% líkur á að
samþykkja safnið í tilvikum i) og ii).


O C (p )


AQ L ,p 1
23.9.2010
L T P D ,p 2
Viljum mjög sjaldan lenda í því að hafna
söfnun með p < p1 = AQL (Acceptable Quality
Level). Þar með er búið að festa einn punkt á
OC kúrfunni, venja að nota α = 0,05
Viljum nær alltaf hafna safni með p > p2 =
LTPD (Lot Tolerance Percent Defective). Þar
með er búið að festa annan punkt á OC
kúrfunni, venja að nota β = 0,10.
p
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 19
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
OC – kúrfur framhald
•
•
Algengt er álykta að sýnatökuáætlun eigi að innihalda, t.d. 5%, 10% eða 20%
af safni.
Skoðum eftirfarandi dæmi:
• Með öðrum forsendum fæst:
1.
2.
3.
4.
N = 50, n = 5 og c = 0
N = 100, n = 10 og c = 0
N = 200, n = 20 og c = 0
N = 500, n = 50 og c = 0
1.
2.
3.
4.
1
1
N=50
0.8
0.6
N=100
0.4
N=200
Áhrif stærðar safns (N) á OC - kúrfur
0.6
0.4
N=500
23.9.2010
N>200
0.2
0.2
0
0
n = 20, c = 0
n = 20, c = 0
n = 20, c = 0
n = 20, c = 0
0.8
OC(p)
OC(p)
N = 50,
N = 100,
N = 200,
N = 1000,
0.02
0.04
0.06
Hlutfall galla, p
N=50
0.08
0.1
0
0
N=100
0.05
0.1
Hlutfall galla, p
0.15
0.2
N, stærð safns, skiptir venjulega litlu máli!
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 20
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Einföld sýnatökuáætlun


Hægt að beita nomograf við
hönnun á einföldum
sýnatökuáætlunum.
Ef;
N = 10.000
n = 90
c=2
pinn = 0,01

23.9.2010
Þá gefur nomograf að líkur á
samþykkt séu P ≈ 0,94.
Ef tveir punktar á grafinu eru
þekktir er hægt að ákvarða
þann þriðja.
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 21
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Tvöföld sýnatökuáætlun
•
Tekin n1 sýni og fjöldi galla, d1 fundinn. Ef d1 ≤ c1 samþykkjum við safnið.
Ef d1 ≥ r1 höfnum við safninu og ef c1 < d1 < r1 tökum við viðbótarsýni, n2
og finnum d2. Ef d1 + d2 ≥ r2 höfnum við safninu, annars ekki.
Stærð sýnis Heildarfjöldi sýna Hæsti fjöldi galla fyrir samþykki Lægsti fjöldi galla fyrir höfnun
n1
n1
c1
r1
n2
n1 + n2
c2
r2 = c 2 +1
Sýnast æ rð n1
Fjöldi galla d1


d1<=c1
c1<d1<r1
d1>=r1
Sýnast æ rð n2
Fjöldi galla d2
Samþ.
safnið
23.9.2010
d1+d2=>r2
d1+d2<=c2
Oft notað n1 = n2 eða n2 = 2n1
Aðalkosturinn við tvöfalda
sýnatöku umfram einfalda er
að hún er betri mælikvarði á
sveiflandi gæði vöru.
Hafna safninu
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 22
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
ASN (e. average sample number)
Meðalfjöldi sýna sem þarf til að taka ákvörðun um samþykki eða höfnun á
safni sem hefur p sem hlutfall galla.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 23
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
ATI (e. average total inspection)
Meðalgildi heildarfjölda sýna sem er skoðaður í safni með p sem hlutfall galla.
Gert er ráð fyrir að hafnað safn sé alskoðað þar sem gölluðum einingum er
skipt út eða þær lagfærðar.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 24
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
AOQ (e. average outgoing quality)
Meðalgildi á hlutfalli galla í safni eftir skoðun fyrir gefna sýnatökuáætlun og
gefið p-gildi fyrir skoðun. Stærsta gildið sem AOQ(p) tekur fyrir gefið safn og
gefna sýnatökuáætlun er AOQL (e. average outgoing quality limit).
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 25
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Hönnun á tvöföldum sýnatökuáætlunum
• Hægt er að hanna tvöfaldar sýnatökuáætlanir beint út frá
gildunum á OC-kúrfunni; p1, 1-α, p2 og β.
•
23.9.2010
Hönnun:
1. p1, 1-α, p2 og β eru þekkt.
2. Reiknum R = p2/p1
3. Veljum annað hvort n1 =
n2 eða n2 = 2n1
4. Veljum viðeigandi töflu og
staðsetjum okkur í réttri línu
út frá gildinu á R.
5. Lesum c1 og c2 út. n1 má
svo reikna út frá gefnum
gildum á pn1. n2 fæst í
framhaldinu.
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 26
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Hönnun á tvöföldum sýnatökuáætlunum
•
23.9.2010
Dæmi:
1. p1 = 0,01. 1-α = 0,95. p2 =
0,06. β = 0,10.
2. R = p2/p1 = 6.
3. n2 = 2n1
4. R = 6,48, lína 3.
5. c1 = 1. c2 = 3. n1 = 65. n2 =
130.
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 27
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
MIL STD 105D (ISO 2859)




23.9.2010
Mest notaði staðallinn við sýnatökur.
Kerfið hefur 7 stig: I, II, III, S1 S2, S3 og
S4, þar sem S1-S4 eru ætluð fyrir tilvik
þar sem sýnataka er mjög dýr eða
eyðileggja þarf sýni. Því gefa S1-S4
mjög lítil gildi á sýnafjölda. Venjulegt
stig er II.
Kerfið er þannig uppbyggt, að
sýnafjöldi ákvarðast af N og stiginu. c
og n gildi eru síðan ákveðin út frá AQL
gildinu.
Einn af stærstu kostum MIL STD 105D
er að það inniheldur reglur um hvenær
rétt er að fara frá takmörkuðu eftirliti
yfir í venjulegu og þaðan yfir í stífara
eftirlit. Sjá hér til hliðar.
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 28
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
MIL STD 105D (ISO 2859)
•
23.9.2010
Skref við notkun;
1. Velja AQL.
2. Velja viðeigandi stig.
3. Ákvarða lotustærðina.
4. Finna þann bókstaf sem
tilheyrir lotustærðinni.
5. Ákvarða hvort nota á
einfalda/tvöfalda/margfalda
sýnatöku.
6. Finna viðeigandi áætlun út
frá gefnum töflugildum.
•
Dæmi: AQL = 0,65, N = 2000,
venjulegt eftirlit => stig II. Það
gefur bókstafinn K. Nota á
einfalda sýnatöku.
i) Venjulegt eftirlit; n = 125, c = 2
og r = 3.
ii) Hert eftirlit; n = 125, c = 1 og
r = 2.
iii) Takmarkað eftirlit; n = 50, c = 1
og r = 3.
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 29
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Dodge - Romig




Elsta staðlaða kerfi fyrir sýnatöku.
Kerfið inniheldur einfaldar og tvöfaldar sýnatökuáætlanir fyrir ákveðin
gildi á LTPD og AOQL.
Hugmyndin er að hafa eftirlitið eins ÓDÝRT og hægt er með því að
lágmarka ATI út frá gefnu N og pinn gildi.
Tilgreining á LTPD gildi gefur mikið strangari áætlun heldur en tilgreining
á sama AOQL gildi. Ef t.d. 401 ≤ N ≤ 500 og pinn = 0,6% fæst út frá
LTPD = 2% að n = 165 og c = 1, meðan AOQL = 2% gefur n = 39 og c =
1.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 30
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Tölfræðileg gæðastjórnun
•
Stýririt
•
Sýnatökuáætlanir
•
Tilgátupróf
•
Sætispróf
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 31
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Próf fyrir meðalgildi N~(µ,σ2) með þekkta dreifni
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 32
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Líkindaþéttleiki normaldreifingar
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 33
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Próf fyrir meðalgildi N~(µ,σ2) með óþekkta dreifni
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 34
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Líkindaþéttleiki t-dreifingar
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 35
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Próf fyrir dreifni N~(µ,σ2)
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 36
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Próf fyrir gallahlutfall í tvíkostadreifingu


Er gallahlutfallið p jafnt p0, standard gallahlutfallinu?
n fjöldi sýna og x tilheyra gallahlutfallinu p.

Er gallahlutfallið í tveimur tvíkostadreifingum jafnt?
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 37
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Tölfræðileg gæðastjórnun
•
Stýririt
•
Sýnatökuáætlanir
•
Tilgátupróf
•
Sætispróf
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 38
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Sætispróf
• Byggja á því að raða mælingum eftir vaxandi stærð.
Lítum á tvö sætispróf;
- Wilcoxon Signed-Rank Test
- Wilcoxon Rank-Sum Test
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 39
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Signed-Rank test
Dæmi: Til eru 9 mælingar af einhverri stærð.
• Viljum prófa tilgátuna; H0 :    0  10 H1:    0  10
i) Drögum 10 frá mælingunum. Þá fæst;
X1
11,2
1,2
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
9,9
0,1
10,3
0,3
9,5
0,5
10,4
0,4
12,1
2,1
9,2
0,8
9,4
0,6
11,3
1,3
ii) Gefum mismuninum sætisgildi, þ.e. minnsta talan fær gildið 1, næst
minnsta 2, o.s.frv. (ath. taka tölugildi)
7
23.9.2010
1
2
4
3
9
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
6
5
8
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 40
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Signed-Rank test
iii) Bætum við formerki. Þá fæst;
7
1
4
2
3
9
6
5
8
iv) Finnum summu sætisgilda með sama formerki.
W   16
W   29
• Prófstærðin er;
 W   W   45  n(n  1) 

2 
W  min(W  , W  )
• Höfnum H0 ef W  W þar sem W fæst úr töflum. (Ef W
er lítil stærð liggjum við öðru hvoru megin við  0 og höfnum
þar með H0)
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 41
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Signed-Rank test
• Fáum W = 16. Ef α = 5%, tvíhliða próf og n = 9 fæst;
W0,05  5  W
þ.e.a.s. samþykkjum H0.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 42
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Signed-Rank test
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 43
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Rank-Sum test
• Ef X11, X12 ,..., X1n1 og X 21, X 22,..., X 2n 2 eru tvö óháð úrtök
með n1  n2 úr samfelldum. Viljum við prófa tilgátuna;
H0:1 2 ; H1:12
• Dæmi: Loftstýringarbúnaði í kjarnorkuveri var haldið við með 2
mismunandi viðhaldsáætlunum PI og PII. Eftirfarandi gögn fengust
(tími þ.t. bilun verður) ;
n1=5, PI
n2=5, PII
7
3
26
150
10
40
8
34
29
32
i) Viljum kanna hvort marktækur munur sé á PI og PII;
H0 :  PI   PII ; H1:  PI   PII
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 44
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Rank-Sum test
ii) Mælingum er gefið sætisgildi líkt og áður;
n1=5, PI
2
5
4
3
6
summa W1 = 20
n2=5, PII
1
10
9
8
7
summa W2 = 35
• Ef 2 eða fleiri gildi eru jafnstór er notað meðaltal
sætisgildanna.
• Eftirfarandi samband gildir fyrir W og W ;
1
2
W2 
(n1  n2 )(n1  n2  1)
 W1
2
• Ef mismunur W1 og W2 (e.t.v. leiðrétt miðað við mismunandi fjölda
mælinga) er lítill, samþykkjum við H0 og öfugt.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 45
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Rank-Sum test
• Prófstærðin er;
min(w1 , w2 )
• Höfnum H0 ef min(w1, w2 )  w þar sem wα fæst út töflu.
• Miðað við α = 0,05, tvíhliða próf, og n1 = n2 = 5 er W0,05 = 17
< 20, þ.a. við samþykkjum H0. Ekki er marktækur munur
miðað við α = 0,05.
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 46
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Rank-Sum test
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 47
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Wilcoxon Rank-Sum test
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 48
ENDURMENNTUN HÁSKÓLA ÍSLANDS
Gangi ykkur vel!
Takk fyrir
23.9.2010
Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun
cc. Eggert Þ. Þórarinsson
Nr. 49