Transcript Ch11 流體的性質 §11-1 靜止流體內的壓力 §11-2 大氣壓力 §11-3 帕斯卡原理 §11-4 阿基米得原理 §11-5 液體的界面現象 §11-6 白努利方程式 §11-1 靜止流體內的壓力 靜止流體與物體接觸時，流體與物體在接觸面上的作 用力必定垂直於接觸面。流體在接觸面上如受到平行於接 觸面的作用力，則流體將產生流動。 1.

Ch11 流體的性質
§11-1 靜止流體內的壓力
§11-2 大氣壓力
§11-3 帕斯卡原理
§11-4 阿基米得原理
§11-5 液體的界面現象
§11-6 白努利方程式
§11-1 靜止流體內的壓力
靜止流體與物體接觸時，流體與物體在接觸面上的作
用力必定垂直於接觸面。流體在接觸面上如受到平行於接
觸面的作用力，則流體將產生流動。
1. 壓力：單位面積上所受到正向力的大小。
• 平均壓力：作用在物體表面上的正向力為 F⊥，受力面積
為 A，則該面積所受的平均壓力
F⊥
P
A
• 某一點的壓力：極小面積的平均壓力
F⊥
P  lim
A 0 A
• 壓力的單位：
 帕（Pa）= 牛頓∕公尺2 ； 達因∕公分2
 巴（bar）= 105 帕 = 105 牛頓∕公尺2
 公分水銀柱高（cm-Hg）= 1332.8 帕。
2. 靜止流體內壓力的性質：
(1).任何一點受到各方向的壓力都相同
(2).同一流體中，相同深度的各點壓力均相等
(3).在 h 深度，由密度為ρ的流體重量所產生的壓力
P   gh
證明：
W  ( Ah) g
P

  gh
A
A
h
W
A
3. 加速座標系中，距液面 h 深處液體的壓力：
(1). 加速度 a ：  P   ( g  a ) h
(2). 加速度 a ：  P   ( g  a) h
(3). 加速度 a  或 ：
P   ( g 2  a 2 )h
此時液面與水平面的夾角 
a
tan 
g
h
說明：在一向右以 a 加速運動的座標系
中，一質量為 m 的物體額外受到一向左
的假想力 mg。因此相當於重力加速度由
g 變為 g' ，如右圖。
θ
a
a
g' θ g
θ
例題：不計大氣壓力，水的密度為ρ。一水壩
高 h，寬 w，和水的接觸面與水平面夾 60o角，
如右圖所示，在滿水位時水壩所受到水的總作
用力大小為若干？
3
答案：
 gwh2
3
h
60o
例題：如圖所示為高 h、底面半徑 r、內裝
滿密度  液体的圓錐形容器，求器壁側面
所受到液体的總力。又如將此容器倒置，
則答案為何？
2
答案：  hAg
3
1
 hAg
3
例題：U 形管中裝有水銀（水銀密度為13.6g∕cm3），在其右
臂注入 13.6公分高的水時，左臂的水銀面從原來液面上升多
少？
答案：0.5 公分
13.6cm
1cm
例題：如右圖，若盛有密度 ρ 之液體的容器
受力作用而有水平向右加速度 a 時，此時距
液面正下方 h 處，水壓為 _______。
答案： gh
θ
h d
a
例題：右圖是內半徑 r、水平管長為
ℓ＋4r 的Ｕ形管，此管以等加速度 a
向右直進時，左右兩管內液面的最大
高度差為何？但重力加速度為 g。
(  4r ) a
答案：
g
h1
h2
F1
ℓ+4r
F2
例題：右圖是內半徑 r、水平管長為
ℓ＋4r 的Ｕ形管，若此管以右管右緣
為轉軸作角速度ω的旋轉，則左右兩
管內液面的最大高度差為何？
h1
h2
F1
(  4r ) 
答案：
2g
2
2
ℓ+4r
F2
§11-2 大氣壓力
1. 大氣壓力的成因與性質：
• 如右圖所示，地球表面任一點 A 的大氣
壓力值，等於在 A 點的單位面積所承受
該點向上延伸的空氣柱重量。
A
• 氣體和液體兩者主要的差異在於液體很難壓縮，因此當
溫度不變時，其密度為定值；氣體容易被壓縮，也容易
膨脹，即使在定溫時，其密度並非定值，隨所受的壓力
而改變。
• 空氣的密度隨離地的高度而改變，大氣壓力和海拔高度
之間不是線性的關係。實驗顯示大氣壓力隨高度成指數
函數遞減
P  Poeah
P0 為海平面處的大氣壓力
a 為常數其值約為 1.25 x 10 -4 (1/m)
h 為所在處的高度。
2. 托里切利實驗：
托里切利公元 1643年托里切利，利用
一倒滿水銀的長玻璃管，使其開端沒
入水銀池中（如圖），首先測出地球
表面的大氣壓力，約相當於 76公分高
的水銀柱所產生的壓力。
76cm
3. 標準大氣壓力（atm）
一標準大氣壓力定義為：在緯度 45度的海平面處，溫度
為 0℃時，76公分高的水銀柱所產生的壓力。因此
1atm  76cm  Hg  13.6 g / cm3  980cm / s 2  76
 1.013 106 dyne / cm 2  1.013 105 N / m 2
 1.013 105 帕  1.013 巴
例題：大氣壓力壓在一平方公尺的水平桌面上約略相當於多
大的重量壓在此桌面上？ (A)1公斤 (B)10公斤 (C)100公斤
(D)1000公斤 (E)10000公斤
[68.日大]
答案：E
例題：設有一半徑為 10公分的球，將之切成兩半球，緊密
相對扣合，內部抽成真空，則要多大數量級之力﹙以牛頓為
單位﹚才能將其拉開？ (A)100 (B)103 (C)106 (D)109。
[71.日大]
解：所需拉力為每一半球所受到大氣
壓力產生的總力。將右半球表面細分
成許多小塊，每一小塊受到大氣壓力
的鉛直分力互相抵消，因此只需對水
平分力作加總，設大氣壓力為 P0，則
A
F   P0 A cos i
i
 P0  A cos i
i
 P0 R
2
A cos i  i
i
P0 A
§11-3 帕斯卡原理
1. 內容：對一封閉的液體所施的壓力必均勻且大小不變的
傳遞到液體中的任一點。
說明：靜止流體內任何兩處的壓力
（如右圖）必須滿足
Pb  Pa   g (hb  ha )
如兩處壓力增加量不相等，則此關
係將無法滿足。因此帕斯卡原理為
此關係必須成立的必然結果。
ha
hb
Pa
Pb
2. 應用：液壓機
液壓起重機的構造如右圖所示，
在右管（截面積為 A1）的活塞上
施一推力 F1，則在活塞下方對液
體所施加的壓力為
F2
A2
F1
A1
F1
P1 
A1
根據帕斯卡原理，此壓力將大小不變的傳遞至左管（截面
積為 A2）的活塞下方，對活塞產生的推力
A2
F2  P1 A2 
F1
A1
即在小活塞上施一較小的力，在大活塞上產生一較大的
推力，施力與產生的推力與兩邊截面積成正比。
例題：一水壓機，大小活塞面積各為 9cm2、
3cm2 且重量不計，兩活塞原在同一水平高度
上，今在大活塞上放重量為 100gw 的物體，
則達平衡時，小活塞將上升幾公分？
答案：25cm
h
例題：一油壓機內裝密度為ρ，兩活賽截面積
各為 A1 及 A2，當在 A1 置重量 W1，在 A2 上
置重量 W2 時，兩活賽能保持在等高的平衡
狀態，如圖所示。若要使 W1 的平衡位置上
升 h，則需在 A2 上增加的重量為 ________。
[86.日大]
答案： gh( A1  A2 )
§11-4 阿基米得原理
1. 浮力的來源：
考慮在流體內一直立的圓柱體的受力情形。設圓柱體的截
面積為 A，高度為 h。流體的密度為ρ。圓柱體側面受到的
壓力，由於對稱的關係，互相抵消。頂面受到一鉛直向下
的力
F1  P1 A   gh1 A
底面受到一鉛直像上的力
F2  P2 A   gh2 A
h1
P1
h2
h
因此流體作用在圓柱體的合力
F  F2  F1   gAh
 圓柱體所排開的流體重量
P2
2. 阿基米得原理：
物體在流體中所受的浮力等於其所排開的流體重量
說明：物體在流體中所受到的浮力，來自物體
表面受到流體壓力所產生的總作用力。因此在
流體中具有同樣大小與形狀的物體受到的浮力
相等。如右圖，考慮沉在流體中的一物體所受
到的浮力 B。首先在流體中想像一塊與物體同
樣形狀及大小的體積（如右圖），此塊流體受
到的浮力 B' 與物體所受到的浮力大小相等，
但因此部份的流體處於靜止狀態，因此受到的
浮力等於其受到的重力 W。
 B  B
 B W

 B  W
B
B'
W
例題：一空心球其內徑為 A，外徑為 B，放入水中時，此球
恰有一半浮出水面。設此球由密度均勻的材料製成，則此材
料之比重為 ________。
[84.日大]
B3
答案：
2( B3  A3 )
例題：一容器內盛有水，水面上有一層密度
末知的油。今將一邊長為 0.1公尺，質量為
0.76公斤的正立方體放入容器內，發現正立
方體有 0.06公尺高沒於油中，0.04 公尺高沒
於水中（如圖），則油的密度是
__________公斤∕公尺3。
[90.日大]
答案：600kg∕m3
例題：一比重為 x（x < 1）的物體，在水面上方 h 高度處，
由靜止掉下，忽略所有阻力，則物體在水中所能到達的最大
深度為何？
x
答案：
h
1 x
例題：一彈簧秤 S1 吊一鐵塊，鐵塊重 x 公斤，
體積 103立方厘米，另有一水盆連水其重量為 y
公斤，水盆置於另一彈簧秤 S2 上。今將鐵塊浸
入水盆（如右圖），則下列不等式何項正確？
(A) S1 之讀數 < x 公斤
[68.日大]
(B) S1 之讀數 > ( x -2 ) 公斤
(C) S2 之讀數 < ( x + y ) 公斤
(D) S2 之讀數 > ( x + y + 1 ) 公斤
(E) S1 及 S2 讀數之和 > ( x + y + 1 ) 公斤。
答案：ABC
S1
S2
例題：如右圖，一均勻木棒，一端以細繩
懸掛，下端浸於水中，平衡時浸在水中的
長度恰為棒長的一半，則此棒的比重為何？
答案：0.75
θ
例題：容器內盛液體（密度為 d）共重 W0，置於一磅秤上，
今有一重 W，密度為 D（D > d）之物體，自液面下釋放，則
物體在下沉的過程磅秤讀數為何？
d
答案：W0  浮力  W0  W
D
例題：一立方體木塊，邊長為 ℓ，比重為 d，今將其全部沒
入水中，然後釋放之，使其在水面上作簡諧運動，則其週期
為何？
d
答案：2
g
Δy
§11-5 液體的界面現象
1. 表面張力：
(1) 表面張力的現象：
•
•
•
•
自來水管口滴下的水滴成球形
昆蟲能在水面上行走
杯內水滿可不外溢
水銀、露珠皆成球形。
(2) 表面張力的成因：
如右圖所示，在液體與氣體接觸的液
面上，分子間存在互相吸引的力量，
欲將彼此拉近，使得液面像一張彈性
膜，此為表面張力的來源。
氣態
液態
(3) 表面張力的特性：
• 表面張力只出現於液體的界面上，內部並不存在。
• 表面張力其作用方向垂直於邊界且沿著液面的切線方向。
• 表面張力的大小與液體的種類及溫度有關，一般掺了雜質
或溫度升高後表面張力變小。
(4) 表面張力的定義：
為了定義表面張力，考慮液面上一條
長度為 ℓ 的邊界線，如右圖所示。表
面張力定義成沿此邊界線上，單位長
度的拉力，以符號 T 表示
T
F
ℓ
F=ℓT
各種液體界面在 20℃ 時的表面張力
例題：如右圖，一鉛直豎立的細鐵框，
在鐵框內形成一肥皂膜。鐵框下方為一
可自由上下滑動的細鐵桿，長度為
20cm。當鐵桿質量為 10g 時，恰可成平
衡，則肥皂膜之表面張力為何？
答案：0.25 gw∕cm
ℓ
T
T
W
例題：一長度為 ℓ，重量為 W1 之細鐵桿，
受皂膜之表面張力以 a 之加速度向上運動
（如圖所示）。今在細鐵桿上掛一重量為
W2 之小物體後，細鐵桿變以之加速度 a 向
下運動，則皂膜的表面張力為 ________。
（以 W1，W2 及 ℓ 表示）。
[89.日大]
W1 (W1  W2 )
答案：
(2W1  W2 )
ℓ
a
a
W1
針
例題：一水面恰可支撐質量 0.72 克、
長 5 公分的縫衣針，如右圖，試求
水的表面張力。（不計浮力）
2
答案：約為 8.310 ( N / m)
T
30o
30o
T
120o
水
W
例題：試求要將一質量可忽略，半
徑為 10 公分的圓環，由 20℃ 的水
面上拉出，如右圖所示，所需要的
力量大小為何？
答案：9.15 102 牛頓
例題：如右圖所示，表面張力為
T 的肥皂膜，將中間的細線拉成
半徑為 R 的圓形，試求此圓形細
線之張力。
解：右半圈細線的受力圖如右下圖所示，
F 為細線的張力。表面張力的鉛直分量
互相抵消，因此由靜力平衡的條件得
2 F  表面張力對右半圈細線產生的合力
  2T  i sin i  2T   i sin i
i
 2T (2 R )  F  2TR
F
T
F
i
 i sin i
i
i

i
例題：有一個半圓形的薄板平放在水面上，其直徑邊上抹有
一層牙膏。已知水與薄板間的表面張力為 T1，抹了牙膏處的
表面張力為 T2 (T1＞T2)，則該薄板所受的總力為何？
答案：L（T1-T2）
L
例題：一滴管管口內半徑為 r，若水的密度為ρ，表面張力
為 T，重力加速度為 g，則當水滴緩慢自管口低下時，水滴
之半徑為何？
3rT
答案：R  3
2 g
r
W
2. 毛細現象：
(1) 毛細現象的例子：
• 將兩端開口之細玻璃管插入水中，管內
液面比管外液面高，管子愈細，內外水
面高度差愈大，如圖一所示。
• 將兩端開口之細玻璃管插入水銀中，管
內液面比管外液面低，管子愈細，內外
水銀面高度差愈大，如圖二所示。
• 毛巾的一端浸入水中，則整條毛巾會濡
溼。
• 植物內的維管束也充當毛細管的角色，
根部的水分和養分得以輸送至枝葉。
水
圖一
水銀
圖二
(2) 毛細現象的成因：
• 毛細現象為內聚力（表面張力）與附
著力互相作用的結果。當液體與固體
接觸時，液體的表面分子，與固體表
面分子會有互相吸引的力量，稱為附
著力。當此附著力大於液體的內聚力，
液體將散布在固體表面，如右上圖所
o
示。此時接觸角 α< 90 。當附著力小
於液體的內聚力時，則液體會縮成顆
粒，如右下圖所示，此時接觸角 α>
90o 。
• 同樣的，當細玻璃管插入水中，因水
面與管壁的附著力大於其內聚力，管
壁處的水面往上彎，水面上升，接觸
角 α< 90o ，如右圖。
α
α
水
• 當細玻璃管插入水銀中，因水銀面
與管壁的附著力小於水銀內聚力，
管壁處的水銀面將往下彎，水銀面
下降，接觸角 α> 90o ，如右圖。
水銀
(3) 毛細現象的公式：
如右圖，細玻璃管插入
水中，管內液面上升，
插入水銀中，管內液面
下降。管內外液面的高
度差 h
2T cos 
h
 gr
α
α
水
2r
h
h
α
水銀
2r
T 為液體的表面張力；ρ為液體的
密度； g 為重力加速度。
證明：針對於玻璃管插入水中的情況。
考慮管內比管外高出部分的水柱，其受
力圖如右下圖。上下的壓力皆為一個大
氣壓力，因此產生的合力互相抵消。同
樣的周圍管壁水平方向的壓力產生的力
量互相抵消。根據靜力平衡的條件，剩
下鉛直方向的受力也必須抵消，即這一
段的水重被表面張力所支撐。表面張力
作用在上方管壁的一圈上，因此
W  mg   ( r 2  h) g  T (2 r ) cos 
2T cos 
h
 gr
α
α
水
h
2r
T Pπr2
W
Pπr2
T
例題：在一標準大氣壓力下，以內半徑為 1 毫米的水銀氣
壓計測量氣壓，若考慮毛細現象，則所測到的水銀柱高度
應為若干？（已知水銀的表面張力為 0.465 N∕m；管壁水銀
面的接觸角 α= 135o。）
答案：75.51cm
例題：如圖所示，一 U 形毛細管，左右兩管的
內半徑各為 r1 及 r2 （r1 < r2）。已知管內液體
的密度為 ρ，液體與玻璃的接觸角為零，兩管
的液面差為 h，則該液體的表面張力為
_________。
[81.日大]
解：另液體的表面張力為 T，則
h  h1  h2 
T 
2T cos 0 2T cos 0 2T r2  r1


(
)
 gr1
 gr2
 g r1r2
 gr1r2 h
2(r2  r1 )
h
例題：一細玻璃管其內半徑為 r，管內封入某
氣體後，倒置於某液體中（如圖所示）。今
測得管中液面較管外液面高 h，且液面與管壁
之接觸角為α。若液體的密度為ρ，表面張力
為 T，管外大氣壓力為 Po，重力加速度為 g，
則管內氣體的壓力為 __________。
[85.日大]
α
r
h
解：令管內氣壓為 P。則管內水面薄膜
的受力圖如右下圖所示，由靜力平衡的
條件得
P r 2  ( P0   gh) r 2  T (2 r ) cos 
2T cos 
 P  P0   gh 
r
T
P r 2 T
( P0   gh) r 2
§11-6 流動中的流體
1. 理想的穩流體的特性：
• 流體沒有粘滯性，因此不會因內部的摩擦而消耗能量。
• 流線上每一點的速度和壓力保持定值，不隨時間而改變。
• 流體不會轉動，例如將一附有踏板的轉輪，不論放在液體
內部任何一處，皆不會轉動。
• 流體具有不可壓縮的性質，即流體的密度保持一定，不受
壓力的影響。
2. 連續方程式：
理想流體在管子流動時，單位時間內流入管子某一段的質量
必須等於流出此段管子的質量。如下圖，在截面積為 A1 處
的流速為 v1，則在此處單位時間向右流入的流體質量為
ρA1v1。在截面積為 A2 處的流速為 v2，則在此處單位時間向
右流出的流體質量為 ρA2v2，因此 v1，v2 滿足
A1v1  A2v2
v1
A1
A2
v2
即在同一流管中，截面積較小處，流體的流速較快。此
關係式稱為連續方程式。
例題：水龍頭出水口截面積為 A0，水流速率為 v0，當水流
垂直下落 h 高度時，水柱之截面積變為若干？
答案：
v0 A0
v02  2 gh
A0
h
A
3. 白努利方程式：
內容：為瑞士科學家
白努利在1738年所提
出。如右圖，在理想
流體內的不同兩處，
流體的壓力、流速與
所在高度分別為 P1、
v1、y1 與 P2、v2、y2，
滿足下列方程式
Δx2
P2A2
v2
Δx1
y2
P1A1
y1
v1
1 2
1 2
p1   v1   gy1  p2   v2   gy2
2
2
Δx2
證明：白努利方程式是
根據功能定理而來。如
右圖，1、2 兩處流體
的流速滿足連續方程式
A1v1  A2v2
考慮極短的一段時間 t
P2A2
v2
P1A1
Δx1
y1
y2
v1
內，外界對如右圖所示
的一段流體所做的功
W  P1 A1x1  P2 A2 x2   ( A1x1 )( y2  y1 )
此段時間內，這一段流體的總動能變化量為
1
1
(  A2 x2 )v22  (  A1x1 )v12
2
2
最後根據功能定理 W  Ek 與連續方程式 A1x1  A2 x2
 Ek 
即得白努利方程式。
白努利方程式的應用：
當 y1 = y2 ，即流體的兩處高度相差不大時，則白努利
方程式變成
1 2
1 2
P1   v1  P2   v2
2
2
流速較大處，壓力較小。
• 香水噴霧器：利用球泡壓縮
使管內氣體變大，而壓力減
小，香水被往上吸，與空氣
混合後噴出。
• 飛機上升的浮力：機翼一般
做成如右圖的形狀，使得流
經上方的氣體流速比下方的
流速大，而上方氣壓大於下
方氣壓，產生向上的浮力。
• 變化球或香蕉球：如右圖，
棒球向右方投出時如使其逆
時針方向旋轉，將造成球上
方的氣流速率大於下方氣流
的速率。而使得下方氣壓大
於上方的氣壓，球將受到向
上的淨力而向上偏。
v
例題：下列各圖表示一棒球擲出的方向及球的旋轉方向，何
者會使球路自其擲出方向向上彎曲？
答案：DE
例題：一水槽內裝水，距水面深度為
h 處挖一小洞，已知水的密度為ρ，若
水深為 H 且水柱水平方向噴出，求其
水平射程。
答案： 2 h(H  h)
1
h
H
2
THE END