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主題三、Stokes 有限振幅波

3.1、攝動展開求解之Stokes波
（Perturbation Approch of Stokes）
3.1.1、無因次化（Non-dimensionization）
3.1.2、攝動展開各階方程式（Perturbed Equations）

3.2、微小振幅波之非線性特性
（Nonlinear Properties derivable from）
3.2.1、質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）
Stokes 有限振幅波


『基本上是2階』2nd –order
微小振幅波基本是滿足了線性化之運動、
動力自由表面邊界條件中，即（ ε =ka）很
小，其應用之有效性，甚至kh/2不很小時
亦能適用。
3.1 攝動展開求解之Stokes波
（Perturbation Approch of Stokes）

Linear（Oringinal）控制方程式：
Governing（Differential）Equation：
   0  laplace 
2
BBC :
w
z
0
on
z  h
  x , z , t    x  L, z , t  ;   x , z , t     x , z , t  T 
PLBC :


non- Linear （BC） 邊界控制方程：
DFSBC
:
KFSBC
:
2
2
1   
    

 gz  C  t 

 
 

2
t
 t  
 x 

P


z


t
u

x
on
z   ( x, t )
on
z   ( x, t )
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）

g
，壓力以 ，速度
a gk
1
長度以1/k，高度以a，時間以
 X  kx, Z  kz ,  

k
, 
a
Q
k
g
Cb (t ),  
gk
k
,T 
a gk

,P 
gk
gkt , Cb  t   gz
kp
g
其中 X , Z ,  , , T , Q,  , P 皆為無因次項
其結果
 
2
 
2
X
2
 
2

Z
2
0
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）
DFSBC：
   2    2



 


2  X 

Z


P   ka  
 (ka )
 Z  Q  t   on Z  ka


2
T




KFSBC：

T
  ka 
 
X X


z
on Z  ka
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）
 微小振幅波推導時, 線性化結果即是將非線性BC以Z  0展開, 並忽略為小量加 


2
2
  


2次平方 
,...,
從無因次分析中可清楚得知即是假設
ka

1
且
ka
項 0





 x 


BBC:-

z
0
on
z   kh
 ( X , Z , T )   ( X  kL, Z , T )
PLBC : 
 ( X , Z , T )   ( X , Z , T  2 )

利用攝動近似法時（Pertarbation Approach），假設
結果or解答（solutions）與假設之微小值ka有關，
且定義；故線性解忽略，第二階解與有關，第三階
解與有關，……，故所有量均可以一系列之級數表
示，但總合均小於1。
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）


1

 2
  1 


2 
Q (t ) 
 Q1 (t )



1
 2 3
2


 ......
 2 3
 ......
 2Q2 (t )
 23

 3Q3 (t )
 ......
 ......
同樣，因此我們無法正確知道自由表面位置,故仍以泰勒
數對展開至項如下：

1 2
 
2


2
2
3 2
3


   2    2 

 


 1 2        
    
 Z   
 Z
 Q t 

   
 
  
 
   
T
Z  2   x   z  
T
2 Z T
 x   z  





on Z  0
  
  
      
  
及 







0



X X 
Z  Z
X X 
2 Z
 Z T
3
2
3
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）
再將攝動展開是代入且保留至項（並按之次項增加趨勢排列）

GE：

BBC： 
1

 1    2  .........  0
2

Z
2

 2
Z
 ......  0 at Z  kh
PLBC：
1  X , Z , T    2  X , Z , T   ......  1  X  L, Z , T    2  X  L, Z , T   ......
1  X , Z , T    2  X , Z , T   ......  1  X , Z , T  Tp    2  X , Z , T  Tp   ......
3.1.1 無因次化
（Non-dimensionization）

DFSBC：
2
2
  1   1   1
 2
 1
2

  1   2   1
 Q  t    Q2  ...on Z  0

 
 
2  X   Z   T
T
Z X

KFSBC：
1  2
 1
 1





 1 2  ......  0 on Z  0
Z
Z T T
X X
Z
1
 2
A1   A2  
2
2
A3  ......  B1   B2   B3  ......
2
等號兩邊若是對任何皆相等，則必須任一次項之係數皆相同，即
A1
 B1 ,
A2  B2 , A3  B3 , ......etc
3.1.2 攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
（a）Frist-Order Perturbed Equations：
即  0 項之係數  2 1  0


1
Z
1
T
 1
T
 0 on z  kh
  1  Q  t  on z  0

1
Z
on z  0
1  x, z , t   1  x  2 , z , T  , 1  x, z , t   1  x, z , T  Y 
其解為
  cosh  kh  z  

 sin  X  T 
  cosh kh 
  cos  X  T  ,   tanh kh, Q1 (t )  0
2
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
（b）Frist-Order Perturbed Equations
第二階攝動方程式即項之係數：
 2  0 ; 
2
 2
Z
 0 on Z   kh
2
 1   1 
 



on Z  0( KFSBC )

  1
2
Z
T  Z   T 
Z
 2
2
2
2
2
 
1  1   1 
2 
 Q2 T    
 
  1
T
2  T   Z 
Z T
 2

 2  X , Z , T    2  X  2 , Z , T    2 X , Z , T  T p
on Z  0  DFSBC 

DFSBC 及KFSBC可以結合成Combined free surface boundary condition : by
KFSBC 
  DFSBC 
T
 on Z  0
 
   2 1 1  
1
 






2
2
2
Z   1  X
  2  2 Q2 (T )  1   1   1    1 
 Z








  1 
2
 2
T
Z
T
Z
 X   X   T   Z T 




2
2

 1  
 
 

 Z  
T
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
G ( 2 )  f (1 , 1 ) and 1 , 1 known
 31 
從第一階解帶入1 及1 可得: f (1 , 1 )  
 sin 2( X  T )
sinh
2
kh


同理先以 2 ( X , Z , T )  a2 cosh 2(kh  Z )  sin 2( X  T )為假設解(滿足G,E及BBC)
 2 , 1 ,  2 , 1 皆是以 sin( X  T )之函數, 則CFSBC中之
Q2 (T )
T
必為0, 因其非harmonic functions :
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
代入 2則得 : a2 
 3
  
 8
4
sinh kh
 3 



cosh
2(
kh

Z
)




8

  sin 2( X  T )
故 :  2  X,Z,T   
4
sinh kh






2
2
 1   1  2 1
1   2 
再從DFSBC   2 
 Q2  
 
 
T
2  X 
Z T
 Z  

 2
on z  0
代入 2 ,  2 , 1 可得: ( 有因次表示)
2
H1
 3

3 2
2
H

cosh
2
kh
(
)

 cos 2kh  cos 2( Kx   t ) 
1
 16

16
 =( X, T) = 
  cos 2( Kx   t )  Q2 
4
2 2
g sinh kh
H1  1  cos 2( Kx   t ) 


2
g sinh kh 


8g
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
對於2 ( X , T )有兩種處理選擇( opt i ons) :
^
( 1) 2     2
Q 2  0  no set  down in deep water
and
^
其中  : mean
 2 : fluctuating term
從 2 ( X , T )之結果可立即得知:
 H1 
2
 
2
2
16 g sinh ( kh)
 H1 
2

2
8 sinh 2( kh)
且
^
2
 ka 2   cosh kh 


  2  cos 2( kh)  cos 2( Kx   t )
3
 4   sin kh 
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
收斂性(convergence):
H1 
2
(2)令h : 平均水深, 則   0  故Q2 
Fig11.1 顯示

a
則  (
k
a

1
a

 2
2
2
16 sinh ( kh)
^
, 2 與上列相同.
結果波峰更尖銳( peaked) , 波谷更平坦( f l at t er ) .
a
gk ) 且   1    2
可得    1   2
  H1 g   cosh k ( h  z ) 
 3H12   cosh 2k ( h  z ) 
 


 sin 2( Kx   t )
 sin( Kz   t )  
4
cos( kh)
sin kh

 2  
 32  

Dispersion Eq.
 2  gktanh(kh)
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
若 R
2
1
 3   ka cosh 2( kh) 
  
  1
3
 8   cosh( kh) sin ( kh) 
In deep water : kh  
cos 2(kh) 
e
則是收斂級數.
2 kh
, sinh kh 
e
2
( kh : l arg e) 則 R  3kae
2 kh
 3 e
故 max imun volume  kh  
2 kh
2
2 kh
(kh 從    ), ka 

7
R
3
7e
2
 0.0025
In shallow water : kh 

 cosh  1 , sinh( kh)  ka ( kh small )
10
2
LH
 3   ka 
2
R   
 3 / 64 ( 3 )  1
3 
h
 8   ( kh) 


即 ka 
8(kh)
3
3
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
a
是波高在淺水處之一極嚴格限制 (or
8
1
a
as kh=10 , 則 


300 4
 h max
2

)
3
1
a
但  
4
 h h
2
2
3
3
2

2
故於淺水處，stokes 展開式（至少至第二階）並
不十分好
L H
L H
64
(
此外為使 R<<1 ( )<< ，其中 h ) 稱為Uaell
h
3
parameter.
L H
64
(
)
事實上， h 要更小於 3 ，因淺水處，理論 
波形在波谷處有產生不尋常之bump（隆塊）導因於
第二階項之值很大（largenness）。
2

h
<
8(kh)
2
3
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）

檢測方式：
at trough其二次微分須先求得    as kx   t  
OR cos(kx   t )  1
  
 2
 x  as

kx  t 
H
2
k 
2
2
H k
4
3
cosh(kh)
3
(2  cosh(2kh))
sinh ( kh)
if no bump 則
 
2
x
2
3
 0  ka 
sinh (kh)
cosh(kh)   2  cosh(2kh) 
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
in deep water
(ka ) no
bump
1

2
但(ka) max 只有

7

1
故均無bump
2
in showllow water
ka 
(kh)
3
3
2
or
L H
h
3

8
3
(原來是
64
3
2
,8倍小)
3.1.2攝動展開各階方程式
（Perturbed Equations）
運動特性 Kinematics：   1  2

u
w

x

z


H gk cosh(k (h  z ))
2 
2
cos(kx   t ) 
cosh kh
4
16
H gk sinh(k (h  z ))
2 
3 H  k cosh(2k (h  z ))
cos(2( kx   t ))
sinh ( kh)
3 H  k sinh(2k (h  z ))
2
sin(kx   t ) 
cosh kh
4
16
sin(2(kx   t ))
sinh ( kh)
由於 cos(2(kx   t )) or sin(2(kx   t )) 影響，在某些地方比線性解
大，些地方比線性解小（eg. U crest 變大，trough 變小）
ax 

Du
Dt
H
2
gk
cosh(k (h  z ))
cosh(kh)
sin(kx   t ) 
H
4
2
gk
2
sin(2(kx   t ))
sinh(2kh)
3 H  k
2

2
4
8 sinh (kh)
cosh(2k (h  z )) sin(2(kx   t ))
3.2 微小振幅波之非線性特性
（Nonlinear Properties derivable from）

波能與波功率（Wave energy ＆ power）
從前述之工程性質中所得結果其實是非線
性：Non-linear（牽涉 H ）
2
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）


質量傳輸：若將中性懸浮物置於水槽，當
波浪通過後，往往可見其間波浪前進行方
向有一微小之運移,且越靠近水面，此趨
勢越明顯（大），此乃由於波浪水分子運
動之非線性結果,但微小振幅波卻顯示水
分子運動軌跡是封閉橢圓。
例：表面速度
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）
Eulerian Mass Transport (在某固定點檢視)
u ( x, z ) 
1

T
T
u ( x, z ) dt
for z  0 在水面下然, region 即 trough 至 crest
0
區域之 u , 則需要以泰勒級數求得.
if
u ( z , ) 
1

T
T
u ( x, )dt 
M 

h
 udz 

2
0

ak

0
h
 udz   u 
暗示 u ( x, )  C , not a
( k a )C
, 故
2
E
C
function of
z
而深度( dept h- aver age) 及時間之velocity (time  mean) U 
M
h
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）

Lagrangian Mass Transport（隨流體運動而機動展現）
某一水分子在以圓點 ( x1 , z1 ) （or 平均位置）之瞬時速度位 u ( x1   , z1   ) 近似法：
u L ( x1   , z1   )  u ( x1 , z1 ) 
u
x

u
z

代入前述之 ,   D & D, eq (4.9)即( 4. 10)  得:
uL ( x1   , z1   ) 
gak cosh k ( h  z )

cos( kx   t ) 
cosh kh
a k
2
 cosh 2 k ( h  z ) sin 2 ( kx   t )  sinh 2 k ( h  z ) cos 2 ( kx   t ) 

sinh kh 
2
mean value of
uL 
1
T

T
0
u L dt
a  k cosh 2k ( h  z )
2
u L ( x1   , x1   ) 
2
2 sinh kh
g ak cosh 2k ( h  z )
2

 sinh 2kh
 f ( z)
暗示, u L 在任何位置均與波向一致, 且在u L ( z  surface)  uC ( z  h
0
 g ak
h
2
M    u L dz 

E
C

   udz  M eulerian
h
bottom)
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）
平均水位（Mean water Level）
自由表面處伯努利方程式：

2
2
1   

   


 gz  C (t )





2

x

z

t


 


on
z 
對 z  0泰勒展開式中保留 一階解，則得時間平均值為：
  
  

 

 x 
 t 
2
2
2
 
2
 g  
t z
 C (t )
代入前述之  與 
2
 
a k
2 sin 2kh

C (t )
g
  f ( x) 
C (t )
g
or
h  g ( x)
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）
，

C (t )  0


C (t )  f ( x1 )
 均  0，故為水力波降（setdown）
  0 （在靜水位） h  g ( x) (in deep water )
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）

平均壓力（Mean Pressure）
從
p( z )  

u w
2

t
2
u w
2
  gz  c(t ) 或 p ( z )   
2
2
  gz  c(t )
2
shoaling (進行波) :
u w
2
p ( z ) 永遠較 hygr ost at i c
force   gh減少  
2
2
代入u , w
p( z )  
 ga 2 k cosh 2k ( h  z )
  gz
2 sinh kh

For Standing Wave：
p( z )  
 ga 2 k
4 sin 2kh
p (  h) 
 ga 2 k
4 sin 2kh
 cos 2k ( h  z )  cos 2kx    gz
(cos 2kx  1)   gh
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）
動量流通率（Momentturm Flux）
波谷上方不只有mass transport，亦有momenturm flux
至第二階
of ka  (  u )udz  MC


g
h
動量流通率
I x  MC g  

h
代入 p  I x  MCg 
p ( z )dz
1
2
 gh 2  S xx 
S xx : radiation



h
p ( z ) dz 
1

 E  2n  
2

1
 g (h   ) 2
2
stress
1
2
 g ( h   ) 2  MC g
3.2.1 質量傳輸與動量流通率
（Mass tranaport ＆Momentum Flux）


h
(  v)vdz  0

1
h
2
 I   (  v)vdz 
 S yy  

h
p ( z )vdz 
1
 gh 2  S xx 
1
 g (h   ) 2
2
 g (h   ) 2
2
   gh
1

 En 
2

to O (ka )
2
如果入射波浪是與 x （向-離岸）軸成  ，則：
1

2
S xx  E  n(cos   1)  
2

1

2
S yy  E  n(sin   1)  
2

n
Cg
C