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主題二、微小振幅波理論
Small-Amplitude Wave Theory

2.1 定義-名詞 & 座標系統
2.2 邊界值問題-理論推導及解答




2.2.1 前言 Introductions
2.2.2 理論推導 Formulations
2.2.3 理論解答 Solutions
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)

2.1定義-名詞 & 座標系統
L ( or
H
T)
 (x , t )
a
x ( or t )
h
圖中所定義之簡單調諧前進波是在固定水深h中朝x方向移動，其中：
H：波高
Crest：波峰
Trough：波谷
垂直
(x, t)：(瞬時)水面_____位移，相對於平均水位
h：水深(平均水位至底床距離)
MWL：靜水位(或平均水位)
位相
L：波長(wave length)：連續波浪上任意兩相應_____水平間距
運動重複
T：週期(wave period, 固定點處_________出現所需時間
H / L：波浪尖銳度(wave steepness)
2.1定義-名詞 & 座標系統
C
L ( or T )
H
 (x , t )
a
x ( or t )
h
圖中所定義之簡單調諧前進波是在固定水深h中朝x方向移動，其中：
k：週波數(wave number) =2/L
：角頻率(angular frequency)= 2/T、
a：振幅(wave amplitude)
ac：波峰高度(or positive wave amplitude)
at：波谷深度(or negative...)
就線性波浪理論  ac=at=a=H / 2
波峰或 波前線 (Wave Front)：與波浪前進方向垂直之波峰連線
C：波速(phase velocity or wave celerity)C = L / T
Cg：波群速度(group velocity)
E：單位長度波浪能量(=1/8 gH2)
E Cg：波能通量 (mean energy flux = wave power)
Note :前進波或進行波 (progressive waves)其 波形 向前傳遞且隨帶 能量 與 動量
(但不一定有 質量 )
2.1定義-名詞 & 座標系統
•實際水波(water waves)是在不同滲透性的不規則
底床上之黏滯性流體運動。
•大多數情況下主要流體運動為非旋性 ，此乃因黏
滯效果均集中於靠近 水面 及 底床 之薄邊界層中
(thin boundary layer) 。
•水合理的視為不可壓縮性流體，故波浪中存在流
速勢函數及流線函數(針對二維流場)，但為簡
化分析過程尚須做其它之假設。
2.2 邊界值問題-理論推導及解答
【Boundary-Value Problems】
2.2.2 理論推導 Formulations
Boundary Conditions (BC) specified
B.C.
Region of interest
(in general can be
any shape)
Governing
Differential
Equation
B.C. specified
L
z
KFSBC
DFSBC
(x, y)

H
x (or t)
LBC
BBC
2  0

0
z
h
LBC
Boundary value program specification for periodic water waves
2.2.2 理論推導 Formulations
(一)、控制微分方程式(Governing Differential Equations)
假設：非旋轉性及不可壓縮性流體(Irrotatinal & Incompressible)
從(質量)連續方程式：

 u  0 (indivergent )    2  0
得到控制方程式即為 Laplace Equation (符號：  )
另外由於不可壓縮性(incompressible=ondivergent)，故在2-D情況下
2
u    z
,
w   x
可代入下列式得
非旋轉性：
w  u  0
x
z
或旋轉性：
w
x 
u
z  
 2  2
  

0
2
2
x
z
2
 2  2
  


2
2
x
z
2
2.2.2 理論推導 Formulations
評論 (Comments)：
a. for 2-D and 3-D flow fields
b. for 2-D and 3-D
(軸對稱，當流場其中一方向軸為對稱，較適
用於平面運動之波浪)。
c. 2 = 0
線性(因不牽涉任何乘積)，故具有珍貴之
“線性相加”(superposition)特性，例如：
1、2 均滿足 2 = 0，則A 1+B 2 亦滿足
 2 = 0，因此可任意加減各解答值以應用
於各種問題。
2.2.2 理論推導 Formulations
(二)、邊界條件(Boundary Conditions，BC)
●運動邊界條件(或邊界上運動特性) Kinematic BC
任何邊界(不論是 固定 ，e.g. 底床 或 自由 e.g. 水面 )都必
須以 流體速度 滿足其上之特定物理意義，故在邊界上
其水分子運動之條件稱為運動邊界條件。通常在任何界面
或交界面上必然沒有穿越界面之流動，否則交界面不可能
存在。若要用數學表示運動邊界條件，則可從描述邊界之
方程式中推導得；例如：一表面形狀若以F(x, y,z, t) = 0表
示，得知其表面可隨時間變化(如波浪)，但總變化(即其
形狀)不會隨時間變化(假設與表面一起運動)，故：
2.2.2 理論推導 Formulations
(二)、邊界條件(Boundary Conditions，BC)
●運動邊界條件(或邊界上運動特性) Kinematic BC
DF ( x, y, z, t ) F
F
F
F

u
v
w
onF ( x, y, z, t )
Dt
t
x
y
z
F
F

 


 u  F  u  n F
, n
t
F
un 
 F
t and F 
( F (
(  Fx )
2

( ) ( )
F
y
2
F
z
2
意義：垂直表面之 流速分量 與 表面速度 有關。故若
表面速度不隨時間改變(倒固定邊界)
 F /  t =0，則
 
un  0
2.2.2 理論推導 Formulations
Examples：(Oscillating Flow in a U-tube)
Oscillating prcssure
Z
A
B


Figure 3.2 (a) Oscillating flow in a Utube
Z 0
(b )
(b) details of free surface
(a)
因 Z=η(t) 故自由表面方程式為F ( z , t ) = z -  ( t )
= 0，故    F
F
F

d
un 
t and F 
F
d
 
un  w 
dt
z
 1,
t

t

z  ( t )
，或即水分子速度必須與水面移動速度一致
，否則水分子會脫離水面形狀。
dt
2.2.2 理論推導 Formulations
a.底床邊界條件 (Bottom Boundary Conditions BBC)
w = 0 at z = -h(x) for 水平底床 (horizontal bottom)
通解 (for a 2-D case)：z = -h ，若底床不隨時間改變則
因 u  n  F  0 F(x, z) = z + h(x) = 0 [or z = -h(x)]
t
因 n  F 
F
dh
dx


i k
2
( dh
dx )  1
or u  n  u dxdh  w  0  u dh  w  0
2
( dxdh )
dx
1
(底床坡度) on z=-h(x)
如果是水平底床，即 dh / dx =0 故 w = 0 on z=-h For 3-D case,
Z
dh
dh
 
un  0 u
v
w0
dx
dy
on z=-h(x, y)
h(x)
u
Bottom , 是一種流線
w dP2

u
dx

-w
w
dh

u
dx
2.2.2 理論推導 Formulations
b.運動自由表面邊界條件(Kinematic Free Surface BC) KFSBC
同理，水面波形函數 F(x, y, z, t) = z - (x, y, t) = 0
因此
F
  
t but F  0
un 
F
t
on z = (x, y, t)





i

j

k

u

v

F
x
y
x
y w
因n 

 u n 
 2
( F (
 (  ) 2  1
( )
x
 F t
( F (


( )

x
2
y
t
 ( y ) 2  1
0
故 u   v   w   或 w    u   v 
x
y
t
t
x
y
2.2.2 理論推導 Formulations
●動力自由表面邊界條件(Dynamic Free Surface BC)
當不考慮表面張力，固定表面可以承受壓力變化但自由表面卻
不能，尤其是air - water交界面更不能承受跨過交界面之壓力變
化，只能隨壓力作用而反應只為保持 壓力 之均勻性。因此
所有自由邊界或交界面上都必須對壓力分佈做預設。
針對 DFSBC 之必備條件：壓力在波形表面上是均勻的
即 Bernoulli Eq.    1 ( u 2  w 2 )  Pb  gz  c( t )
t
2

通常對相對壓力(gauge pressure)而言， Pz  ( t )
 const  0
2.2.2 理論推導 Formulations
●動力自由表面邊界條件(Dynamic Free Surface BC)
Bernoulli Eq. 在“反應性邊界”(responsive boundary)之應用：
(1)coupled wind & waves, (2)forced waves, (3)free waves(本文)
Wind
Wind and wave
影響表面
壓力分佈

P = atmosphcric everywhere
X
X
(a)


(b)
以表示 DFSBC (若波長很短時必須包含表面張力)

 1  2
 2
P
 [(
) (
) ]  b  gz  c( t )
t 2 x
z

on z = (x, t)
X
(c)
2.2.2 理論推導 Formulations
●側面邊界條件(Lateral Boundary Conditions)
Outgoing waves only
X
X
S  ( z, t )
u  f ( z, t )
(a)
(b)
F(x, z, t) = x - S(z, t) 則  
un 
 
就不透水固定邊界 u
n  0

而n

uw
 F t

F

1i 
S ( z , t )
t
S
z

k
2
( S
1
z )
S S

z t
on x  S ( z , t )
1  (S z )2
2.2.2 理論推導 Formulations
●側面邊界條件(Lateral Boundary Conditions)
若右側為
a.Fixed beach：F(x, z)=z+h(x)=0 on z=-h(x)
b.Radiation condition： 無限遠處 邊界只有向外之波浪
或 入射 進水槽之波浪，但此條件在物理上是無意義的。
對 、 週期性之波浪(periodic in space and time)
時 空
故LBC：
 (x,t) =  (x+L,t) 且  (x,t) =  (x,t+T)
2.2.2 理論推導 Formulations
●2-D週期性波浪邊界值問題
BBC：w = 0 on z=-h
KFSBC： w  
DFSBC： 
   


on z=(x,t)
z
t
x x
 1  2  2 Pb
 [( )  ( ) ]   g  c(t ) on z=(x,t)
t 2 x
z

PLBC： (x, t) =  (x+L, t) 且  (x, t) =  (x, t+T)
L
z
KFSBC
DFSBC
(x, y)

H
x (or t)
LBC
BBC
 2  0

0
z
h
LBC
Boundary value program specification for periodic water waves
2.2.3 理論解答 Solutions
G.E.
w=0
(BBC)on z = -h
 0
   
w


z
t
x x
(KFSBC) on
z=(x,t)
 1  2  2 Pb
  [( )  ( ) ]   g  c( t )
t 2 x
z

(DFSBC) on
z=(x,t)
2
2
 2  2
 2 0
2
x
z
   
 2  0 (x,t)= (x+L,t) 且 (x,t)= (x,t+T)
2
x
z
2
2
(PLBC) 0<x<L;
-h<z<
2.2.3 理論解答 Solutions
G.E.    0 or
2
B.C.
 2
 2

0
x 2
z 2
 
  z  w  0 on z   h

    w     
on z   ( x,t )
 z

t

x

x

 
1   2
 2 


(
)

(
)   g  C (t ) on z   ( x,t )



t
2

x

z



 ( x,z,t )   ( x  L, z , t ) , ( x, z , t )   ( x, z , t  T )

Linear Partial Diff. Eq.：之解可採用 分離變數法 。
•Separation of Variables
 (x, z, t )  X (x )Z (z )T (t )
•Taylor's series(泰勒級數)：
x f ( x) x 2  2 f ( x)
f (x  x )  f (x ) 

 .....
2
1! x
2! x
2.2.3 理論解答 Solutions
如果極小，則(Δx)2,(Δx)3將會很小，以致可忽略，因此：
f ( x  x)  f ( x) 
f
x  O( x 2 )
x
，誤差在 (x)2 以上。（泰勒級數近似，for很小）
由於KFSBC與DFSBC皆是在 z  (x, t ) 處之B.C.，而事實上，z  (x, t )
又是起始未知（priori unknown），一簡單方法表示此條件，即是將
邊界條件在未知的處，以泰勒級數展開至已知之高程 z  0 處
 KFSBC 
 KFSBC 
  KFSBC 
2







 
 O( )


z  DFSBC  Z  0
 DFSBC  Z   DFSBC  Z  0
對微小波浪而言，  小，因此 P 及 u 也均假設為小，因此他們之
乘積更小，若我們忽略這些乘積項，即為線性結果，故：
2.2.3 理論解答 Solutions
KFSBC

 

w


u


t
x Z 


w
t
Z 0

 


 

  w   u     w   u   O( 2 )  0
t
x Z 0
z 
t
x  Z 0


0w
t
DFSBC ( Bernoulli Eq.)
 1 2 2 

gz

 (u  w ) 

t 2

Z 

 g
t
Z 0
For  small
z0
 1

 1



  gz   ( u 2  w2 )     gz   ( u 2  w2 )   O( 2 )  0
t 2
t 2

Z 0 z 
 Z 0
1 
Z 0  C (t )   
g t
C (t )
Z 0 
g
（∵）
 (time mean)  0
for
 small
2.2.3 理論解答 Solutions
解答，Solution：
從PLBC知，  一定是週期性的，在方向與時間t，特別是時間t。故
可以任何簡諧函數（harmonic function）來表示，如：
cost , sin t , orA cost  B sin t
2
以 sin t 為例，如果  
，則
T
。
sin t  sin  (t  T )  sin t cosT  sin T cost
（不必是I.C.）（ T  2 or 0(不合理））
故  (x, z, t )  X ( x)Z ( z ) sin t …….（＊），將（＊）代入：
（一）從Laplace Eq.    0 (
2
 ( x j )
dZ ( z )
dX ( x)


0
dx
dz
xi
)
2
2
1
d
X
1
d
Z
d X ( x)
d Z ( z)


 0 f ( x)  f ( z )  0
 Z ( z )  sin t  X ( x) 
sin t  0
2
2
2
2
X dx
Z dz
dx
dz
2
2
2.2.3 理論解答 Solutions
f ( x)  f ( z )  0 唯一條件 是兩者皆為constant，但正負號相反。
故  1 d2X
 k

 X dx 2

2
 1 d Z  k2

 Z dz 2
2
where k 2  0, k 2  0, k 2  0（two O.D.E.s）
2.2.3 理論解答 Solutions
Table 3.1可能之解
特徵值
實數
k
2
>0
O.D.E.s
解solution
d2X
 k2X  0
2
dx
d 2Z
 k 2Z  0
2
dz
X  Acos kx  B sin kx
Z  C  ekz  D  e kz
X  Ax  B
=0
d 2 X d 2Z
 2 0
2
dx
dz
虛數
k2 < 0
d2X
2

k
X 0
2
dx
X  A e
k ik
d 2Z
2

k
Z 0
2
dz
Z  C cos k z  D sin k z
k
2
(magnitude)
Z  Cz  D
k x
 Be
k x
2.2.3 理論解答 Solutions
(二)從P.L.B.C
a).PLBC中不只對  periodic，也對 X （spatial），只有
k 2  0 時合理，即：
 (x, z, t )  X (x)Z (z )sin t  ( A cos kx  B sin kx)  (C  ekz  D  ekz ) sin t
 (x  L, z, t )  Acos k ( x  L)  B sin k ( x  L)
 A(cos kxcos kL  sin kxsin kL)  B(sin kxcos kL  cos kxsin kL)
能滿足此條件者： cos kL  1 且 sin kL  0
2
(或 kL  0(不合理） or 2 )
k
L
此外， 滿足  2  0，是線性的故適用superposition，因此取
Acos kx即可。
2.2.3 理論解答 Solutions
b).從 BBC
1  A cos kx  (C  ekz  D  e kz )sin  t

kz
w
z
  A cos kx(kC  e  kD  e  kz ) sin  t  0
2 kh
C  e kh  D  e kh  0  C  D  e
  A cos kx  D(e2 khe kz  e kz ) sin t


 A  D  cos kx  ekh ek ( h  z )  e k ( h  z ) sin t
 G  cos kx  cosh( h  z )  sin t
(亦能滿足
2  0
)
z  h
2.2.3 理論解答 Solutions
（三）代入 DFSBC
1
1 
 G  cos kx  cosh( h  z )   cos t
1 
Z  0  1 
g t
Z 0
g
G

 cosh( kh)  cos kx  cos t
g
 a  cos kx  cost
由於微小波理論（物理現象）：
H
H
a
 1 
cos kx  cos t
2
2
gH
G
H
G
 cosh( kh) 
g
2
2 cosh( kh)
gH
1 
cosh( kh  kz)  cos kx  sin t
2 cosh( kh)
2.2.3 理論解答 Solutions
（四）從 KFSBC
w
 

z
t

Z 0
gH
H
 k sinh(kh  kz )  cos kx  sin  t   cos kx   sin  t
2 cosh(kh)
2
得離散公式：  2  gk sinh( kh)  gk tanh( kh)
cosh( kh)
以
2
 tanh( kh)，分別為 f1 
gk
2
gk
Z 0
dispersion equation
， f 2  tanh( kh) ，可得
only one solution，即  , h 已知，則存在有一值。
2
L
2
將 
及 k
代入且 c  ( L  f (T )  c  f (T ) )
T
則
L
T
or 2
g
2 h
L2
g
2
L

T
con
h(
)
c  2  tanh( kh)
2
L
T
k
2
2.2.3 理論解答 Solutions
deep water kh >> 1
c
L  dX
 
T k
dt
tanh(kh)  1
c
2
 2  gk
g
gL


k
2
L 越大，c 越大
解釋：海洋中，特別是 深海 中，波浪前進時，由於
波浪是由許多不同 頻率 （ f ）之成分波組成，因此其
波長及波速也不同，故根據dispersion equation，當這
群波浪往前傳時，這些成分波會由於其速度不同逐漸
彼此分離，並且深海中波長 L 越長者，C 速度越大，
可傳遞越快。
【 T ：是波浪傳遞過程中唯一不變之性質。】
2.2.3 理論解答 Solutions
（五）前進波Progressive Wave
以上所得之波浪解，實乃是 standing wave (駐波或重複波)型態：
 3
nodes ：kx  , ,............ no motion of free surface
2 2
anti-nodes ：kx  0,  ,2 ,.............. maximum of free surface
Hg cosh k ( h  z )
H
sin kx cos t   2  
sin kx sin t
2 cosh kh
2
Hg cosh k ( h  z )
3  
cos kx cos t
anti-node
2 cosh kh
node
Hg cosh k ( h  z )
4  
cos kx sin t
2 cosh kh
2 
同理，考慮其他駐波
L/2
皆能滿足
 2  0
L/4
3L / 4
2.2.3 理論解答 Solutions
利用線性相加(Linear Superposition) (可以Aψ1+Bψ2 A,B任意const.)
Hg cosh k (h  z )
(cos kx sin t  sin kx cos t )
2 cosh kh
Hg cosh k (h  z )
................... 
sin( kx  t )
2 cosh kh
1 
H
H
同理, 利用  1   2 ......or...... 
皆得


cos(
kx


t
).........
a

z 0
g t
2
2
(another : see..Ippen, P19)
  1  2 
D&D結果 前進波之Velocity Potential
2.2.3 理論解答 Solutions
Standing waves:coskx sinσt VS.Progressive wave:sin(kx-σt)差別?
因前進波時，η(x1,t)= η(x2,t)即暗示相位一致
η(x1,t1) η(x2,t2)
Progressive waves
X1
X2
X
Standing waves
X
EX ........  4  3 
1 
 
g t
z 0
Hg cosh k ( h  z )
cos( kx  t )
2 cosh kh
H

sin( kx  t )
2
2.2.3 理論解答 Solutions
線性偏微分方程式(Linear Partial Differential Eq.P.D.E.)
之解可應用分離變數法(Separation of Variables)
分離變數法：  ( x , z , t )  X ( x )Z ( z )T ( t )
Taylor's Series：(Ippen,p2)
η(x1,t1) η(x2,t2)
Progressive waves
Standing waves
X1
X2
X
X
dx  L

   C......C g 
dt k T
k
x x
x x  L
0  2 1  kx2   t2  kx1   t1  2 1    C  0 ( kxi ,  , t )  cinst.
t2  t1
t2  t1 k T
or
2.2.3 理論解答 Solutions
即波浪向右運動（＋x方向）（x2 > x1 ,t 2 > t1 ）以速度C前進；
若是kx +σt → kx2 +σt2 = kx1 +σt1
x1  x2

 C
t 2  t1
k
即波浪向-x方向運動，（x2 < x1 ,t 2 > t1 ）以速度C前進。
2.2.3 理論解答 Solutions
(六)深海與淺海特性：
Hyperbolic Function 之近似解（Asymptotic Form）
kh >> 1
kh << 1
cosh kh
sinh kh
tanh kh
Dispersive
e kh
e
2
kh
2
1
k  f ( )
1
kh
kh
2.2.3 理論解答 Solutions
深海：kh>>1 σ2 =gk tanh kh →σ2～gk
→ Lo =(g/2π)T=5.12T2 (in ft) =1.56T2 (in m)
淺海：kh<<1 σ2 =gk tanh kh →  2～gk*kh→T=σ/k=√(gh)
σ≠f(σ): non-dispersive
2.2.3 理論解答 Solutions
◎試誤法(Try & Error)
解  2 =gk tanh kh →(  2 h)/g=kh tanh kh
1st try:令 kh=a1 左式=const.
代入 右式= kh tanh kh → if 右式>左式
則kh= a2 > a1 右式<左式 則kh= a2 < a1
2nd ,3 rd try……令kh=a2 ,…….
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
前所導得之重複波與前進波波浪理論是解決許多工程問題之基礎
Ex.水分子運動特性(particle kinematics) 及壓力場(pressure field)
與作用物體上之波力有關。
（一）前進波之水分子運動
(Water particle Kinematics for Progressive Waves)
◎前進波水面位移(surface displacement)
H
  cos( kx  t ),  2  gk tanh kh
2
◎流速勢函數(Velocity Potential)
H g cosh k ( h  z )
sin( kx  t )
2 
cosh kh

g sinh kh

C
k
 cosh kh
H g
1
H
1


C
2  cosh kh
2
sinh kh
 
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
◎水平方向：速度

 H cosh k (h  z )
u  
cos( kx  t )...................U  
x 2
sinh kh
u
H 2 cosh k ( h  z )
ax 


sin( kx  t )
t
2
sinh kh
◎垂直方向： 速度

H
sinh k ( h  z )
w


sin( kx  t )
z
2
sinh kh
w
H
2 sinh k ( h  z )
az 


cos( kx  t )
t
2
sinh kh
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
u & w 90°位相差(out of phase)
(az)max u=(u)max when kx-σt=nπ,n=0,1,2,…波峰(crest)
(ax)max w=(w)max when kx-σt=n+1/2π,n=0,1,2,…波谷(trough)
垂直分佈：均是與雙曲線函數(hyperbolic function)cosh or sinkh有關係是：
at bottom z = -h則k(h+z)=0 →u~1 ,w~0 即在底床最小，向水面處
（向上）遞增。
Direction of progressive wave propagation
z
x=L
x=L/2
x
u
w
◎問：何者是波浪u , p特性？
w
u
or
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
(二)前進波水分子位移：（Particle Displacement）（非水面位移）
假設受波壓作用產生之水分子位移，其中心點是(x1,z1),任一刻位移
是（x1 +ζ,z1 +ξ）即位移量為△x=ζ,△z=ξ，分別可表示如下：
位移=速度*時間ζ（x1 ,z1 ,t）= u（x1 +ζ,z1 +ξ）dt
ξ（x1 ,z1 ,t）= w（x1 +ζ,z1 +ξ）dt
Z
A
( 1 ,  )
B
( x1, z1 )
X
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
按微小振幅波=>ζ,ξ微小量，因而
u
u
 2  2u
 2  2u
u(x 1   , z1   )  u(x 1 , z1 )  

........
x  x1  
z  z1 
2 x  x1
2 z  z1
x
z
2! x
2! z
w
w
 2 2w
 2 2w
w(x 1   , z1   )  w(x 1 , z1 )  

........
x  x1  
z  z1 
2 x  x1
2 z  z1
x
z
2! x
2! z
H gk cosh k ( h  z1 )
sin( kx1  t )
2
2 
cosh kh
H gk sinh k ( h  z1 )
   w(x 1 , z1 ) dt 
cos( kx1  t )
2
2 
cosh kh
 
 u(x 1 , z1 )dt  
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
Using σ2 = gktanhkh =>
H cosh k ( h  z1 )
sin( kx1  t )   A sin( kx  t )
2
cosh kh
H sinh k ( h  z1 )
 
cos( kx1  t )  B cos( kx  t )
2
sinh kh
 
因而(ζ/A)2+(ξ/B)2=1 for any time =>
橢圓方程式Equation of Ellipse 長軸是A、短軸是B
事實上，從ζ,ξ公式中得知 Z=0,|ζ|及|ξ|=H/2 ,故沒有水
分子在其上。
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
淺水波：In Shallow Water h /L <1/20 kh →0(cosh kh →1 sinh kh →kh)
H cosh k (h  z1 ) H 1 HL HT
g
A



*
2
sinh kh
2 kh 4h 4
h
(因 L＝cT and c=√(gh) for shallow water wave）
H sinh k (h  z1 ) H k (h  z1 ) H
z1
B

 (1  )
2 sinh kh
2
kh
2
h
A≠f(z1) ＆ B=f(z1)，if z→-h 、B→0
k (h  z1 )  kh  0
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
深水波(In deep water) h/L > 1/2 ， kh>>1
H e kh e kz1 H kz1
A

e
kh
2 e
2
H e kh e kz1 H kz1
B

e
kh
2 e
2
kh : lage
sinh kh  e kh
cosh k (h  z1 )  e k ( h  z1 )  e  k ( h  z1 )  e k ( h  z1 )
e  k ( h  z1 )  e  kh * e  kz1  0
圖4.3(D&D,P.83) shows the results for differant kh
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
(三)前進波波壓場(Pressure Field under a Progressive Wave)
從Bernoulli Eq.
p

 gz 
1 2

(u  w2 ) 
 C (t )
2
t
微小振幅波理論：(線性化)→ u 2 , w2 →0

p

  gz 
0
  gz 

t

t
p
for any z≦0
故前面所得之ψ代入
  gz  gK p (z )
  gz  gK p (z )
hydrostatic
dynamic
z 0

or P   gz  
t
for z≦0
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
靜水壓(沒有波壓作用時)
H
  cos( kx  t )
2
cosh k (h  z )
K p ( z) 
 f (kh)  f ( )
cosh kh
波壓反應係數＝f(z) z=0 ~ -h
1
 K p ( z)  1
cosh kh
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
（深海）應用波壓計量測η=>利用動水壓力 PD=ρg Kp(z=-h)η
PD
1

且K p (h) 
gK p ( z  h)
cosh kh
If T known
σ2=gk tanh kh
由於 Kp(-h)~1/cosh kh 短週期波（T小）→ k大→1/cosh(kh)小
長週期波（T大）→ k小→1/cosh(kh)大
or kh>>1 (deep water) Kp(-h)~1/ekh
kh<<1 (shallow water) Kp(-h)~1
從1/cosh kh的變化是否可推論，h影響及P→η之適用性，故應用底
床波壓計量測η，在水深較大時可能量測不到任何值。
其次，非線性效應，由於隨著水深加大，非線性成份decay 較快，
故底床波壓不能實際反應表面非線性波浪成份。
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
(四)前進波之波能與波能傳遞
(Energy & Energy Propagation in Progressive Waves)
(A)波能=位能（由於自由表面位移）＋動能（水體中水分子運動）
(PE) free surface displacement
(KE) water particles movement
PE= potential energy
KE= kinetic energy
波能與波能傳遞→向岸傳遞時之變化；產生波浪所需之 功
(power)；波能發電所可汲取之能量
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
位能(PE)：一定質量(mass)抵抗重力重作離開平衡點之結果
a.當水面平息時，波浪位能是最小。
b.當水分子位移時，必須有外來能量供應造成，且位能亦增加
 ( x, t )
dm
A'
X
z ：從底床至dm之質量中心(C.G.)高度
dz
h
z
dx
center
of
gravity
方法（一）：
d ( PE )  dmg z
h 
z 
, dm   (h   )dx
2
z
：從底床至dm之質量中心(C.G.)高度
dx寬之column 質量/單位寬度
(微小水柱)
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
一週期位能
1 x L
1 x  L (h   ) 2
g x  L  1 2
2 
( PE )T   d ( PE )   g
dx    (h  2h   )dx
L x
L x
2
L x 2

x L
g  1 2
1 x L 2 
 h  const.  ( PE )T   h L  h  dx    dx 
x
L 2
2 x

H
  cos( kx  t )
2
g  1 2
1 H 2 1
h2
H2
( PE )T 
 g
 h L
  g
L 2
2 4 2
 ( PE ) waves  ( PE )T  ( PE )  PE 
2
16
gH 2
ga 2
16

4
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
●按線性相加理論：
Hn
若 n 
cos ( kn x   n t )
n 1~ N
2
N
g N
2
且  r   n  PE 
H
(能量可線性相加)

n
16 n 1
n 1
方法（二）：自行證明：簡協波（sinusoid）位能 = 波谷時抬升至波峰之能量
抬升高度：
T：total volume 斜線面積：
2 zcq : zcq 
*
位能：
H
HL
2
16
*2 * zcq   g
HL
 H g 2
2*

H
2
16
16
mass
C.G
zcq
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
x
證明： (1) 
x
L
2
 dx  ?
2
2

x L
L
x
2
 2 dx  ?
1
,
( 2 ) 0 cos  d 
2
cos 2   sin 2   1
(3) standing wave
2

2
0
sin 2 
H
cos kx sin  t
2
1
PE 
 gH 2
16

動能（KE）
u 2  w2
u 2  w2
d ( KE )  dm
 dxdz
2
2
1  u 2  w2
KE   
dzdx
L h
2
w
d 
1
2
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
 gHk 1 2 x  L
KE  (
)
2 L 2 cosh kh x
 cosh

2
h
k (h  z ) cos 2 (kx  t )KE   ( gHk
x L
1
)2 
x
2 L 2 cosh kh

 cosh
h
2
k (h  z ) cos 2 (kx  t )
1


2


cosh
k
(
h

z
)

cosh
2
k
(
h

z
)

1


2


1
sin 2 kx  (1  cos 2kx)



2


1
2
sinh k (h  z )  cosh 2k (h  z )  1 
2


 2

1
cos kx  (1  cos 2kx)

2


x L
 gHk
1
2
KE 
(
) 
2 L 2 cosh kh x
 0

h
1
cosh 2k (h  z )  cos 2(kx  t )dzdx
2
1
gH 2  PE
16
1
1
2
E  PE  KE  gH  EL  E * L  gH 2 L
8
8
 KE 
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
能量通率：Energy Flux【F】
微小振幅波浪傳遞時，並不傳遞質量（因軌跡封閉），但卻傳送能量，可從波浪
行成－＞近岸碎波，看出能量從源頭傳致碎波處。
Flux：rate of transferring ＝＞ energy flux transferring
Energy Flux 【F】：垂直段一側之流體對另一側流體作功之率
F 


h
PD  u
dz
 
1 t T 
P

u
dz
dt
 h D
T 
1 t T  
cosh k ( z  h)   gHk cos k ( z  h)



g
cos( kx   t ) 





h
T
cosh kh
cosh kh

  2

F 
PD 
 gz
 P 
F  time
dz dt
 g K P ( z )
mi an
cos 2 hk ( z  h)

 h  g cosh kh sin kh dzdt
2

g  H  ( 2 kh  sinh 2 kh )



4k
sinh 2 kh
 2 
  1 1 
2 kh
 1

 
 gH 2 




sinh 2 kh  
 8
 k 2 

1
F 
T
t T
 0
2
2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
 ECn  ECg  En C...........................Cg  nc
 Flux  總能量 ( E) V .S 群波速度傳遞 ( C g )
n
1
2kh 
1



2  sinh 2kh 
deep water : kh  1
1
2
n  1(Cg  C )
R
shallow water : kh  1
深海時Cg  C , 淺海時C g  C
◎波群速度的源由：當兩波浪（方向一樣，但週期頻率相對極微），相加時，
H
H
cos( k1 x   1t ) 
cos ( k2 x   2t )
2
2


k
k
令 1   
, 2   
, k1  k 
, k2  k 
2
2
2
2
1

1

  H cos  ( k1  k2 ) x  ( 1   2 ) t  cos  ( k1  k2 ) x  ( 1   2 ) t 
2

2

 =1   2 
1


 H cos ( kx   t ) cos  k  x 
k

2

t 

2.2.4 波浪工程性質(Engineering Wave Properties)
Cg
C

 Cg
k
EaH 2 , 故 at node, where H  0 故 E  0
d
if k  0 即 dk , C g 
dk
Evaluation :  2  gk tan kh
Modulation wave之速度為
 2
(
d
 g tanh kh  gkh sec 2 kh
dk
)
g tan kh  gkh sec 2 kh  c 
d
2kh 
即 Cg 

 1 
 , 與前面一致.
dk
2 gk tan kh
2  sinh 2kh 