Slide 1

r. akad. 2007/2008

Mechanika
wykład II kwantowa

Fizyka

Mechanika kwantowa
prof. dr hab. Bogdan Walkowiak
dr inż. Marta Kamińska
Zakład Biofizyki
Instytut Inżynierii Materiałowej
Politechnika Łódzka
Zakład Biofizyki

1


Slide 2

Mechanika kwantowa

Równanie de Broglie’a i Einsteina
Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i
elektrony lub inne obiekty mikroświata, w jednych zjawiskach
mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn.
wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne
Poniższe równania wiążą cechy falowe z korpuskularnymi:
 równanie Einsteina – wiąże energię z częstotliwością



E
h

 równanie de Broglie’a – wiąże długość fali z pędem



h
p

Zakład Biofizyki

2


Slide 3

Mechanika kwantowa

Zasada komplementarności
 cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając
pełny opis danego obiektu

 w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych
samych warunkach nie można stosować obu modeli
 dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju
oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie, że jest
zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast
kiedy porusza się – zachowuje się jak fala, która nie jest zlokalizowana,
lecz rozciąga się w przestrzeni

Zakład Biofizyki

3


Slide 4

Mechanika kwantowa

Zasada nieokreśloności
(Zasada nieoznaczoności Heisenberga)

Nie można z dowolnie dużą dokładnością określić obu
wielkości występujących w równaniu tj. pędu i położenia lub
energii i czasu; iloczyn nieokreśloności obu wielkości nie może
być mniejszy od ħ/2 (ħ – h/2π)

xp 



Et 

2
 jest ona wynikiem dwoistości materii
 mało istotna w makroskali

x 


2m

Zakład Biofizyki


2

Ze wzrostem masy nieoznaczoność staje się mniejsza;
dla ciał makroskopowych nieoznaczoność zanika i
zarówno położenie jak i prędkość ciała mogą być
określone dokładnie

4


Slide 5

Mechanika kwantowa

Zasada nieokreśloności
cd.:
 bardzo ważna dla rozważania cząstek elementarnych
Doświadczenie Bohra – wyznaczanie
położenia elektronu
Aby zaobserwować elektron należy go
oświetlić. Fotony oddziałują z cząstką
powodując jej odrzut w wyniku
zjawiska Comptona
Zasada nieoznaczoności odnosi się do
samego procesu pomiaru i wyraża
fakt, że pomiędzy obserwatorem a

obiektem istnieje zawsze pewne oddziaływanie. Nie ma sposobu na
uniknięcie tego oddziaływania lub na uwzględnienie go przed pomiarem.

Zakład Biofizyki

5


Slide 6

Mechanika kwantowa

Paczki fal
Fala materii związana z poruszającym się elektronem składa się z
nieskończonych ciągów falowych. Amplituda takiej fali jest modulowana tak,
że różni się od zera tylko w obszarze przestrzeni w pobliżu cząstki, której ruch
opisuje. Fala materii ma więc postać grupy fal (paczek fal) poruszających się z
tą samą prędkością co rozważana cząstka.

  (1  2 ) / 2
  (2  1 ) / 2

S (t )  K cos(1t )  cos( 2t )
korzystając ze związku
otrzymamy
gdzie
Zakład Biofizyki

cos A  cos B  2 cos( A2 B ) cos( A2 B )

S (t )  2 K cos( t ) cos  t  L(t ) cos  t

L(t )  2 cos( t ) funkcja modulująca (obwiednia)
6


Slide 7

Mechanika kwantowa

Paczki fal
Nakładamy dwie fale harmoniczne o
jednakowej amplitudzie i zbliżonych
ω1 i ω2

Dokładamy trzecią falę o amplitudzie
2a i częstotliwości 

Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych
wg powyższej reguły

Zakład Biofizyki

7


Slide 8

Mechanika kwantowa

Paczki fal- prędkość grupowa
Prędkość paczki fal lub funkcji modulującej nazywa się prędkością grupową
Fala będąca sumą dwóch fal o zbliżonych długościach fali:

y( x, t )  K cos(1t  k1 x)  K cos(2t  k2 x)
gdzie

k  2 / 

korzystając ze związku
otrzymamy

średnia liczba falowa

cos A  cos B  2 cos( A2 B ) cos( A2 B )

y( x, t )  2 K cos[(  )t  (k ) x] cos( t  k x)

funkcja modulująca

(Δ  t  Δ k x )  0

L( x, t )  2 K cos[( t  (k ) x]
lub, gdy

g 
Zakład Biofizyki

d

x
t



osiąga maksimum gdy


k

prędkość grupowa

dk
8


Slide 9

Mechanika kwantowa

Paczki fal- prędkość grupowa
Ze związku de Broglie’a wynika, że dla wszystkich cząstek

p

h 2
2 



h
2

k  k

gdzie



h

k

2

2



E  hf   2f  
Podstawiając powyższe równania do
otrzymamy

g  
Zakład Biofizyki

 

(k )
2m

E  p / 2m
2

2

różniczkujemy po k

d
dk



k
m



p



m

Oznacza to, że prędkość grupy fal materii jest
równa prędkości cząstki, której ruch opisuje.
9


Slide 10

Mechanika kwantowa

Funkcja falowa
 własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice
kwantowej opisuje funkcja falowa Ψ. Jest to w ogólnym przypadku
zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu:
Ψ(x,y,z,t)
 prawdopodobieństwo znalezienia cząstki określa kwadrat modułu
funkcji falowej


  

Zakład Biofizyki

2

10


Slide 11

Mechanika kwantowa

Funkcja falowa cd.:
2

 wielkość
  p / V nazywamy gęstością
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie
przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości ΔV
 wielkość



2

dV  p

V

gdzie ΔV jest małą objętością w przestrzeni, jest równa
prawdopodobieństwu znalezienia cząstki w chwili t w objętości ΔV
 prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się „gdziekolwiek”
w przestrzeni wynosi 1.



2

 dV  1



Warunek powyższy nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję Ψ
spełniającą ten warunek nazywamy funkcją unormowaną
Zakład Biofizyki

11


Slide 12

Mechanika kwantowa

Równanie Schrödingera
Funkcję falową Ψ dla danej cząstki
otrzymujemy
rozwiązując
równanie
różniczkowe
nazywane
równaniem
Schrödingera.
Równanie
nazywamy
stacjonarnym, jeśli energia potencjalna
cząstki nie zależy od czasu.

d 
2

dx

2



2m


2

[ E  U ( x)]

Erwin SCHRÖDINGER
(1887 – 1961), fizyk austriacki

Rozwiązaniem tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości
energii En, które nazywamy wartościami własnymi, a odpowiadające
funkcje Ψn nazywamy funkcjami własnymi.
Zakład Biofizyki

12


Slide 13

Mechanika kwantowa

Równanie Schrödingera
Przypadek jednowymiarowy

Przypadek trójwymiarowy

Zakład Biofizyki

13


Slide 14

Mechanika kwantowa

Cząstka w jamie (studni) potencjału
Jeśli energia potencjalna jest równa zeru w obszarze [0,L] a poza nim U0.
(U0 →∞) to taki kształt energii nazywamy jamą (studnią) potencjału.

Równanie Schrödingera ma w tym wypadku postać (U(x)=0)





2

d

2

2m dx
Zakład Biofizyki

2

( x )  E( x )
14


Slide 15

Mechanika kwantowa

Cząstka w jamie (studni) potencjału
Funkcja falowa cząstki jest superpozycją fali rozchodzącej się w prawo
i w lewo.

( x )  Be
korzystając z

sin kx 

e

ikx

ikx

 Be

e

 ikx

 B(e

ikx

e

 ikx

)

 ikx

otrzymamy

2i
Funkcja Ψ(x) misi spełniać warunki brzegowe:

( L)  O  kL  n  k n  n

( x )  A sin kx

 ( 0)  0

oraz

A  2 Bi

 ( L)  0


L

W studni potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek fal L  n(

n ( x )  A sin( n / L) x
Zakład Biofizyki

1

)

2
dla n=1,2,3,…
15


Slide 16

Mechanika kwantowa

Cząstka w jamie (studni) potencjału cd.:
pn  k n  n

Odpowiadające tym funkcjom pędy:


L

Tym wartościom pędu odpowiadają następujące energie kinetyczne:
2

En 

pn

2m

En  n

2

 2 2
2mL

Najmniejsza wartość energii wynosi π2ħ2/(2mL2) (dla n=1) nosi nazwę energii zerowej
a odpowiadająca tej energii funkcja falowa jest dokładnie polówką fali sinusoidalnej

Zakład Biofizyki

16


Slide 17

Mechanika kwantowa

Studnia potencjału o skończonej głębokości

Cząstka znajduje się w studni potencjału,
której ściany mają skończoną wysokość U0

Równanie Schrödingera ma postać:

d 
2

dx

2



2m


2

(U 0  E )

Funkcja falowa odpowiadająca poziomowi E1
Zakład Biofizyki

17


Slide 18

Mechanika kwantowa

Studnia potencjału o skończonej głębokości
d 
2

dx

2



2m


2

(U 0  E )

Rozwiązaniami są funkcje falowe
 w obszarze II:

II  Ae

 x

 w obszarze I

I  B cos kx

lub

W punkcie x0
Zakład Biofizyki

I  B sin kx

I ( x0 )  II ( x0 )

2m(U 0  E )



k



2

2mE


2

18


Slide 19

Mechanika kwantowa

Studnia potencjału o skończonej głębokości

Poziomy energetyczne oraz trzy fale stojące najniższego rzędu (odpowiadające energiom E1,
E2, E3) dla elektronu w studni potencjału o szerokości 10-10m. Linia ciągła-poziomy studni
potencjału o głębokości 800eV; linia przerywana-nieskończenie głęboka studnia potencjału

Zakład Biofizyki

19


Slide 20

Mechanika kwantowa

Oscylator harmoniczny
 klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m

wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-kx, gdzie k
jest współczynnikiem sprężystości
 w ujęciu klasycznym energia potencjalna takiej cząstki wynosi U(x) 

2

kx
2



2

mω x
2

 w mechanice kwantowej
zagadnienie
oscylatora
harmonicznego
rozwiązujemy równaniem Schrödingera; jako energię potencjalną wstawiamy
2

U(x) 

mωkl x

2

2

2

d Ψ
dx

Proponowane rozwiązanie

2



2m


2

(E 

Ψ(x)  e

2

d Ψ
dx
Zakład Biofizyki

2

 2ae

 ax

2

1
2

2

2

mωkl x )Ψ

 ax

2

2

2

 4a x e

 ax

2

20

2


Slide 21

Mechanika kwantowa

Oscylator harmoniczny
2

2

( 2a  4a x )e

 ax

2

2m





2

(E 

1
2

2
kl

2

mω x )e

 ax

2

Porównujemy współczynniki przy x2
2

2

4a 

2

m ωkl


2

a

Porównujemy wyrazy stałe
wówczas

1 ( x )  e

mωkl
2

 2a  

 ( m kl / 2  ) x

2mE


E

1
2

 kl

2

2

Fala następnego rzędu ma postać:

2 ( x )  xe
Zakład Biofizyki

 ( m kl / 2  ) x

2

Z energią własną:

E

3
2

 kl
21


Slide 22

Mechanika kwantowa

Oscylator harmoniczny
Różnica pomiędzy dwoma przyległymi poziomami wynosi

E2  E1  
Uogólniając, wzór na wartości własne ma postać:

En  (n 

1
2

) kl

W fizyce klasycznej energia cząstki może mieć każda wartość nie
wyłączając zera. W teorii kwantowej możliwe są tylko dozwolone
wartości energii

Zakład Biofizyki

22