Slide 1

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 2

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 3

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 4

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 5

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 6

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 7

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.


Slide 8

CIEKAWE LICZBY
Rzeczy posiadają byt na tyle, na ile jest w nich liczba.
Ludzie, którzy pracują nad formami materialnymi, wkładają
liczbę w sztukę i w każde swe dzieło. Co porusza rękę
artysty?

LICZBA
• Św. Augustyn

LICZBY DOSKONAŁE
1. Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ
dzielniki właściwe liczby 6, to {1,2,3 } zatem 1+2+3=6
dzielniki właściwe liczby 28, to {1,2,4,7,14} zatem 1+2+4+7+14=28
dzielniki właściwe liczby 496, to {1,2,4,8,16,31,62,124,248} zatem
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.
Do tej pory znaleziono tylko 39 liczb doskonałych.
Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 i 28 szczególne znaczenie (w 6 dni
został stworzony świat, Księżyc obiega Ziemię w ciągu 28 nocy).
Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor „Arytmetyki” ,uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy spodziewać się,
że liczb doskonałych będzie dużo. Następnie Euklides podał dwie liczby: 496
i 8128, kolejną piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku i była to
liczba 33550336. Szczęśliwym dla liczb doskonały był rok 1952, kiedy do
poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znaleziono 12 takich liczb,
ostatnia została odkryta w 2001roku.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
2. Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” - odpowiedział: „Przyjaciel
to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby, to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220, to: {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
zatem 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284, to: {1,2,4,71,142 } zatem 1+2+4+71+142=220
Inną parą licz zaprzyjaźnionych jest 1184 i 1210. Znanych jest około 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety
z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście
w miłości.
 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

LICZBY PALINDROMICZNE
3. Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych:
22, 55,
414,
494, 5115,
30703,
174050471,…

LICZBY PIERWSZE
4.Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą
pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Największa znana dziś
liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona
i George’a Woltmana. Ma ona 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Takie „ogromne”
liczby pierwsze służą do:
 testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich nie można
byłoby skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych.
 są także bardzo pomocne w konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy
kosmiczne)
 w czytnikach CD wysokiej jakości. Niektóre z liczb pierwszych, to
palindromy np.: 11, 757.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE
5. Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie
pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych:
 6 i 13;
 20 i 53;
 28 i 51;

LICZBY BLIŹNIACZE
6. Dwie liczby pierwsze różniące się o 2, to liczby bliźniacze. Przykładami par
liczb bliźniaczych są:
 3 i 5;
 5 i 7;
 11 i 13;
 17 I 19;
Nie wiadomo do tej pory, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para:
260497545 · 26625 + 1 i 260497545 · 26625 - 1

LICZBY FIBONACCIEGO
8. Liczby Fibonacciego, to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności,
że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich. Nazwa pochodzi od Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Ciąg
Fibonacciego, to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np.:

liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (drzewa);

róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral;

podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.