Transcript F - ZSG w Szczawinie

Zespół Szkolno-Gimnazjalny w Szczawinie 
...chyba znane
Liczby pierwsze to liczby naturalne, które
posiadają dokładnie dwa dzielniki
(liczbę 1 i samą siebie)
Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2...
a potem 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Tworzymy tabelę liczb od 2 do 100, a następnie
wykreślamy liczbę 2 oraz jej wielokrotności
Odnajdujemy kolejną liczbę pierwszą – 3
i kolorem zielonym wykreślamy z
diagramu wszystkie jej wielokrotności:
Szukamy kolejnej liczby pierwszej 5 i także
jej wielokrotności skreślamy - na fioletowo
W ten sam sposób postępujemy z kolejną,
nie wykreśloną liczbą – 7, odnajdujemy
jej wielokrotności i wykreślamy... tym
razem na niebiesko
W ten sam sposób postępujemy z
kolejnymi liczbami, które napotykamy
w naszym diagramie, jako jeszcze nie
wykreślone. I tak oto w tabeli
pozostają już tylko liczby pierwsze 
Trójka pitagorejska:
w teorii liczb, to takie trzy liczby
2 + b2 =
a
całkowite dodatnie a, b, c,
które spełniają tzw. równanie Pitagorasa:
c2
Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego
boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność.
W poniższej tabeli przedstawiono kilka początkowych trójek
pitagorejskich:
a
b
c
3
4
5
5
12
13
6
8
10
7
24
25
8
15
17
9
12
15
Liczba narcystyczna (Armstronga) to
liczba, która jest sumą swoich cyfr
podniesionych do potęgi równej ilości
cyfr w liczbie.
Przykład:
153
3
1
+
3
5
+
3
3
Cyfry podnoszone są do trzeciej potęgi,
gdyż liczba składa się z trzech cyfr
Liczby bliźniacze są to dwie liczby pierwsze
różniące się o 2.
Przykładami takich liczb są:
(3 i 5), (5 i 7), (11 i 13)…Nie wiadomo czy
istnieje ,nieskończenie wiele par tych liczb .
Najciekawszą liczbą bliźniaczą jest 5,
gdyż jest parą dla 3 i 7
To układ dwóch liczb, w którym druga jest
odwróconym zapisem pierwszej liczby np.:
123 321
68 86
95478 87459
Para liczb lustrzanych zapisana w jednym
ciągu zawsze posiada parzystą liczbę cyfr
i ta nowo powstała liczba dzieli się przez 11
123 321
123321:11=11211
68 86
6886:11=626
Poprzez zsumowanie dwukrotności pewnej
liczby i 1 otrzymamy liczbę gnomiczną.
Liczba ta dodana do kwadratu
początkowej liczby da kwadrat następnej
liczby.
Liczba
podstawowa
(n)
Liczba
gnomiczna
(2n + 1)
Liczba
gnomiczna +
kwadrat
liczby
naturalnej
(2n + 1 + n2)
Kwadrat
następnej
liczby
(n + 1)2
2
5
9
9
3
7
16
16
4
9
25
25
Liczby te związane są z układaniem
piramidek z klocków ...po ułożeniu
podstawy musimy postawić na niej
kolejny poziom złożony z jednego
klocka mniej. Zaczynając od
podstawy z n klocków, w następnej
warstwie musimy ułożyć ich
n - 1. Układamy tak długo, aż na
szczycie będzie tylko jeden klocek.
Piramida skończona i powstaje tylko
pytanie:
Ilu klocków potrzeba było do jej
zbudowania?
n-ta liczba trójkątna jest sumą
n kolejnych liczb naturalnych,
począwszy od 1,
która wyraża się wzorem:
Tn = [n(n+1)]/2
Początkowe liczby
trójkątne:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,
45, 55, 66, 78, 91, 105,
120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300,
325, 351, ...
Podobno wzór wymyślił młody
Gauss, gdy nudził się na lekcji
matematyki.
Liczby wielokątne
są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na
kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać
przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją
także liczby, które mogą zostać ułożone w więcej niż 1
wielokąt foremny,
np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową.
Czy takie są?
Liczbę nazywamy doskonałą, jeśli jest
sumą swych (mniejszych od niej samej,
rzecz jasna) podzielników (czyli liczb,
przez które dzieli się bez reszty).
Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, bo
6=1×2×3=1+2+3
Kolejna to 28
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Dziś znamy 44 liczby doskonałe.
Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku)
jest 2288 × (2289 − 1)... ma 173 cyfry w zapisie
dziesiętnym
Największą znaną dziś liczbą doskonałą jest
5734644
5734645
2
·(2
-1)
ma ona aż 52 523 234 cyfr!
To liczby naturalne, które są iloczynem
trzech liczb pierwszych.
Oto pięć pierwszych liczb sfenicznych:
30, 42, 66, 70, 78
2 x 3 x 5 = 30
2 x 3 x 7 = 42
2 x 3 x 11 = 66
Największą liczbą sfeniczną jest:
(243112609-1) x (242643801-1) x (237156667-1).
Wszystkie liczby sfeniczne mają 8
dzielników.
... widnieje w tytule nieśmiertelnych bajek
"Z tysiąca i jednej nocy"
LICZBA SZEHEREZADY – liczba 1001, która
z matematycznego punktu widzenia ma
ciekawe właściwości:
jest najmniejszą czterocyfrową liczbą
naturalną, którą można przedstawić
w postaci sumy sześcianów dwóch liczb
naturalnych 1001 = 103 + 13
Jest iloczynem trzech kolejnych liczb
pierwszych 7 x 11 x 13
Liczba 1001 składa się więc z:
 z 77 feralnych trzynastek lub
 z 91 jedenastek albo
 z 143 siódemek , a siódemka była
uważana za liczbę magiczną
A jeżeli przyjmiemy 52 tygodnie za 1 rok,
to z 1001 nocy otrzymamy
1 + 1 + 1/2 + 1/4 roku
... nikt nie wie ?
...ale my wiemy
Liczba repunit to taka liczba, której
każda cyfra jest jedynką.
Przykłady liczb repunit:
1, 11, 111, 1111, 11111, 111111,
1111111, 11111111, 111111111,
1111111111...
?????????????
Liczba wampir (vampire) – liczbę n
nazywamy liczbą wampirem, jeśli
istnieje rozkład liczby n przy użyciu cyfr
tej liczby.
Przykłady: 126, 153, 688, 1206, 1255,
1260, 1395, 1435, 1503, 1530.
np. liczba1260 jest liczbą wapirem, gdyż
1260=21*60
... wszystko zaczęło się od zadania
o rozmnażaniu królików…
Ile par królików może spłodzić jedna para
w ciągu roku, jeśli:
 każda para rodzi nową parę w ciągu
miesiąca,
 para staje się płodną po miesiącu,
 króliki nie zdychają?
Rozwiązanie zagadki zawdzięczamy
właśnie Fibonacciemu
Jan Poleszczuk, obrazek pochodzi ze strony http://mst.mimuw.edu.pl
Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych, w którym
zakładając, że pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1,
każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.
Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizzy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele
„Liber abaci” jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu
się królików. Nazwę "ciąg Fibonacciego" spopularyzował w XIX
w. Édouard Lucas.
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17
0 1
55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
1
2
3
5
8
13 21 34
F18
F19
Motyw ciągu Fibonacciego wykorzystany
został także w utworach literackich.
W książce ”Kod Leonarda da Vinci” Dana
Browna stanowi on element jednego
z kodów, który muszą złamać główni
bohaterowie.
W powieści ”Gniazdo światów” Marka
Huberatha ciąg Fibonacciego jest podstawą
struktury wszechświata, na której oparte są
kolejne jego poziomy.
Bartosz Rus IIa
 Krzysztof Piotrowski
 Mateusz Wojtczak
 Norbert Wiewiórski
 Beniamin Bekrycht
 Kamil Skalski IIb

IIa
IIa
IIb
IIa