Doskonalenie rachunku pamięciowego u uczniów SPIS TREŚCI Cechy podzielności liczb całkowitych Mnożenie na palcach Algorytm egipski Algorytm Euklidesa Krzyżowy sposób mnożenia liczb Ciekawe tabelki liczbowe CECHY PODZIELNOŚCI LICZB CAŁKOWITYCH dzielnik cecha ostatnia z jej.
Download ReportTranscript Doskonalenie rachunku pamięciowego u uczniów SPIS TREŚCI Cechy podzielności liczb całkowitych Mnożenie na palcach Algorytm egipski Algorytm Euklidesa Krzyżowy sposób mnożenia liczb Ciekawe tabelki liczbowe CECHY PODZIELNOŚCI LICZB CAŁKOWITYCH dzielnik cecha ostatnia z jej.
Slide 1
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 2
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 3
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 4
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 5
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 6
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 7
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 8
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 9
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 10
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 11
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 12
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 13
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 14
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 15
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 16
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 17
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 18
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 2
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 3
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 4
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 5
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 6
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 7
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 8
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 9
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 10
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 11
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 12
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 13
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 14
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 15
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 16
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 17
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321
Slide 18
Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073 (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091
1
93
2
186
4
372
8
744
16 1488
32 2976
64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21 13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123 321 3 8
1 4 8 3 39 483
9
123 321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321