Transcript Systemy liczenia - potrzeba czy ciekawostka? - SP-M-Gr1
Slide 1
Systemy
liczenia
- potrzeba czy
ciekawostka ?
Slide 2
Zadanie 1
Liczyć
jak to łatwo
powiedzieć
...
Slide 3
Trochę historii...
Potrzeba liczenia pojawiła się wraz
z posiadaniem przedmiotów. Człowiek
pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie
mógł posiadać zbyt wiele. Jednak pewien
prosty system liczenia pojawił się około 30.000
lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on
na żłobieniu w kościach karbów, których ilość
oznaczała określoną liczbę.
Slide 4
Trochę historii...
Początkowo dla wyrażenia jednostek
stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18
zapisywano tak: \\\\\\\\\\\\\\\\\\
Zapis ten był mało czytelny. Łatwo można się
pomylić. Aby zwiększyć czytelność zapisu
liczb, co piątą kreskę stawiano pod innym
kątem od pozostałych. Teraz liczbę 18
zapisywano tak: \\\\/ \\\\/\\\\/\\\
Slide 5
Trochę historii...
Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki
zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w
wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy
jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy
dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po
pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej
występowało dużo piątek, to co drugą piątkę
zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak:
\ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \
Slide 6
Trochę historii...
Kości z karbami z przed 30.000 lat p.n.e.
Slide 7
Trochę historii... system
babiloński
Cywilizacja babilońska rozkwitła
w Mezopotamii. „Piętno” Babilonu
odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata
starożytnego, a nawet w naszej kulturze
współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako
pierwsi system pozycyjny o podstawie 60.
Do zapisu liczb potrzebowali tylko dwóch
symboli - dla jedności i dla dziesiątek.
Slide 8
Trochę historii... system
babiloński
Babilońskie cyfry były zbudowane z tych
dwóch znaków, zapisywanych końcem
ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd
pochodzi charakterystyczny, klinowy
kształt pisma.
Slide 9
Trochę historii... system
babiloński
Cyfry systemu babilońskiego zbudowane ze znaku jednostek i dziesiątek
Slide 10
Zapis cyfr w różnych
systemach liczenia
Slide 11
Co to jest system liczbowy ?
System liczbowy to sposób zapisywania
liczb oraz zbiór reguł umożliwiających
wykonywanie działań na tych liczbach. Dla
dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór
znaków, za pomocą, których tworzy się
liczby.
Slide 12
Rodzaje systemów liczenia:
• Pozycyjne
• Niepozycyjne (addytywne)
Slide 13
Rodzaje systemów liczenia:
• W systemach liczbowych pozycyjnych
liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr.
Wartość jej jest zależna od położenia
(pozycji) cyfry w liczbie.
• Systemy niepozycyjne (addytywne) to
metody zapisywania liczb w taki sposób, że
znaczenie cyfry (wartość) jest niezależne od
zajmowanej pozycji w liczbie.
Slide 14
Przykłady systemów liczenia:
Pozycyjne:
• Dwójkowy
• Ósemkowy
• Dziesiątkowy
• Szesnastkowy
• Sześćdziesiątkowy
Niepozycyjne:
• Egipski
• Rzymski
Slide 15
Zadanie 2
Jak zbudować liczbę w różnych
systemach ?
Slide 16
System dwójkowy
(binarny)
• System liczbowy, w którym podstawą jest
liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko
dwie cyfry: 0 i 1.
• Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr,
z których każda jest mnożnikiem kolejnej
potęgi 2, np. zapis 1001 wynika z : 1*23 +
0*22 + 0*21+ 1*20
Slide 17
System ósemkowy
(oktalny)
• To pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do
zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do
7.
• Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi 8, np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie
liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera
postać 144, gdyż:
1*82 + 4*81 + 4*80 = 64 + 32 + 4 = 100.
Slide 18
System dziesiątkowy
(decymalny)
• Jest to pozycyjny system liczbowy,
w którym podstawą są kolejne potęgi liczby
10. Do zapisu liczb potrzebne jest 10 cyfr
od 0 do 9.
• Liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr,
z których każda jest mnożnikiem kolejnej
potęgi 10, np. zapis „245” wynika z : 2*102
+ 4*101 + 5*100
Slide 19
System szesnastkowy
(heksadecymalny)
• System liczbowy, w którym podstawą jest
liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie
potrzebne jest 16 cyfr, poza cyframi
dziesiętnymi od 0 do 9 używa się liter A, B,
C, D, E, F. Litery odpowiadają
następującym wartościom: A = 10, B = 11,
C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.
• Zapis „AB3” wynika z:
10*162 + 11*161 + 3*160 .
Slide 20
System sześćdziesiątkowy
• To pozycyjny system liczbowy o podstawie
60. Do zapisu liczb w tym systemie używa
się znaków od 0 do 59.
• Zaletą tego systemu jest podzielność liczby
60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz
60. Ułamki mają wtedy formę liczb
całkowitych.
Slide 21
System rzymski (łaciński)
• System liczbowy, w którego podstawowej
wersji używa się 7 znaków:
I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000.
• Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznacza
liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie
poziomej kreski nad liczbą oznacza mnożenie
przez 1000.
• Przykłady: 2012 = MMXII
1973 = MCMLXXIII
Slide 22
System egipski
Egipcjanie do zapisu słów stosowali
hieroglify, czyli obrazki przedstawiające
różne przedmioty, postacie czy zwierzęta.
Podobnie było z liczbami. System zapisu
liczb opierał się na siedmiu hieroglifach
przedstawiających kolejne potęgi liczby 10.
Aby zapisać w tym systemie określoną
wartość, należało powtórzyć odpowiednią
liczbę razy właściwe liczebniki.
Slide 23
System egipski – cd.
Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol
Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec,
a 100000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu
była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach
Nilu po jego wylewach. Znak dla 1000000
przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest
to najprawdopodobniej obraz Boga
podtrzymującego sklepienie niebieskie jako
symbol "wszystkiego". Liczbę 10 000 000
oznaczano podkreślając koło.
Slide 24
System egipski – cd.
Egipskie liczebniki hieroglifowe
Slide 25
Zadanie 3
Teoria zamienia się w praktykę
... czyli ulubione „zadanka” ;)
Slide 26
Konwersja liczb z jednego
systemu na inny
Zadanie1: Liczbę 458 przedstaw jako liczbę w systemie
szóstkowym (o podstawie sześć).
Liczbę 458 dzielimy przez 6 zapisując wyniki
w następujący sposób:
456 : 6 = 76 r 2
76 : 6 = 12 r 4
12 : 6 = 2 r 0
2:6=0 r2
Zapisując uzyskane reszty „od końca” otrzymujemy:
458 = 2042
(6)
Slide 27
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Działania na liczbach w systemie dwójkowym
są odpowiednikiem działań w systemie
dziesiętnym, i opierają się na elementarnych
działaniach:
•1+ 0 = 1; 1 + 1 = 10; 1* 0 = 0
•1 * 1 = 1; 10 - 1 = 1
Slide 28
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Przykład dodawania w systemie dwójkowym.
111111
1111111
+
10011
10010010
Slide 29
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Przykład mnożenia w systemie dwójkowym.
101
x 111
101
101
+101
100011
Slide 30
Zadanie 4
Matematyka jest wszędzie –
czyli ... gdzie znajdują
zastosowanie inne niż
dziesiątkowy systemy liczenia?
Slide 31
Zastosowania innych
systemów liczbowych
System rzymski - dziś, w Polsce
używany do:
zapisywania numerów liceów, numerów
klas i lat studiów, wieków, tomów dzieł,
numerów pięter, wydziałów w instytucjach.
Systemem rzymskim zapisuje się też daty
urodzenia.
Slide 32
Zastosowania innych
systemów liczbowych – cd.
Pozostałością po systemie
babilońskim jest używany obecnie układ
sześćdziesiątkowy związany z jednostkami
czasu. Godzina dzieli się na 60 minut,
minuta na 60 sekund.
Układ sześćdziesiątkowy stosuje się też przy
podawaniu miar kątowych a zwłaszcza
szerokości i długości geograficznej.
Slide 33
Zastosowania innych
systemów liczbowych - cd
Systemy dwójkowy,
ósemkowy,
szesnastkowy
powszechnie stosowane są
w elektronice
i informatyce. Adresy IP
np. w wersji 6 są podawane
w pozycyjnym systemie
szesnastkowym.
Slide 34
Zastosowania innych
systemów liczbowych - cd
Do dziś w Polsce używa się takich
wywodzących się z systemu
dwunastkowego pojęć jak tuzin (12
sztuk), gros (12 tuzinów- 144 sztuki) oraz
kopa (5 tuzinów- 60 sztuk)
Slide 35
Zastosowania innych
systemów liczbowych – cd.
W 1863 roku
zaproponowano nowe
cyfry oraz standard
zapisu i pomiaru czasu
(zegar) oraz lokalizacji
(kompas) w systemie
pozycyjnym
szesnastkowym.
Slide 36
Czy nie można pozostawić
jednego systemu liczenia,
a całkowicie wyeliminować
inne?
Slide 37
Naszym zdaniem …
• Każdy z systemów jest inny, potrzebny
i znajduje swoje zastosowania.
• Likwidacja systemu sześćdziesiątkowego
i zastąpienie go systemem dziesiątkowym
byłoby niepraktyczne, np.: 7.20, w układzie
dziesiątkowym zamiast tego wyglądałyby
tak: 7,333333333... itd. I jak tu np. ułożyć
rozkład jazdy?
Slide 38
Naszym zdaniem …
System binarny jest potrzebny
w informatyce, natomiast jego stosowanie
w życiu codziennym nie jest wygodne.
Liczby mają bardzo długi zapis, co jednak
zupełnie nie przeszkadza komputerom.
Slide 39
Korzystaliśmy z
następujących zasobów:
• W. Krysicki „Jak liczono dawniej, a jak liczymy dziś”.
• Komitet Organizacyjny Konkursu „Kangur Matematyczny”
PTM o Toruń - „Miniatury matematyczne”.
• http://pl.wikipedia.org/
• http://matematyka.wroc.pl
• http://serwis-matematyczny.pl
• http://www.math.edu.pl/
• http://edu.I-lo.tarnow.pl
Slide 40
W tajniki systemów liczenia
zagłębiali się: (w kolejności alfabetycznej)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Góralczyk Miłosz
Kardyś Mikołaj
Kot Aleksandra
Ligęza Jadwiga
Mendala Piotr
Nowak Maciej
Oczkowicz Szymon
Pawlik Małgorzata
Stelmaszak Weronika – lider, autor prezentacji
Tekielski Rafał
Opiekun – p. Zofia Kondratowicz
Slide 41
Dziękujemy za uwagę
POWUZ nr IV KRAKÓW
SP – M-I
Systemy
liczenia
- potrzeba czy
ciekawostka ?
Slide 2
Zadanie 1
Liczyć
jak to łatwo
powiedzieć
...
Slide 3
Trochę historii...
Potrzeba liczenia pojawiła się wraz
z posiadaniem przedmiotów. Człowiek
pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie
mógł posiadać zbyt wiele. Jednak pewien
prosty system liczenia pojawił się około 30.000
lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on
na żłobieniu w kościach karbów, których ilość
oznaczała określoną liczbę.
Slide 4
Trochę historii...
Początkowo dla wyrażenia jednostek
stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18
zapisywano tak: \\\\\\\\\\\\\\\\\\
Zapis ten był mało czytelny. Łatwo można się
pomylić. Aby zwiększyć czytelność zapisu
liczb, co piątą kreskę stawiano pod innym
kątem od pozostałych. Teraz liczbę 18
zapisywano tak: \\\\/ \\\\/\\\\/\\\
Slide 5
Trochę historii...
Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki
zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w
wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy
jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy
dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po
pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej
występowało dużo piątek, to co drugą piątkę
zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak:
\ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \
Slide 6
Trochę historii...
Kości z karbami z przed 30.000 lat p.n.e.
Slide 7
Trochę historii... system
babiloński
Cywilizacja babilońska rozkwitła
w Mezopotamii. „Piętno” Babilonu
odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata
starożytnego, a nawet w naszej kulturze
współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako
pierwsi system pozycyjny o podstawie 60.
Do zapisu liczb potrzebowali tylko dwóch
symboli - dla jedności i dla dziesiątek.
Slide 8
Trochę historii... system
babiloński
Babilońskie cyfry były zbudowane z tych
dwóch znaków, zapisywanych końcem
ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd
pochodzi charakterystyczny, klinowy
kształt pisma.
Slide 9
Trochę historii... system
babiloński
Cyfry systemu babilońskiego zbudowane ze znaku jednostek i dziesiątek
Slide 10
Zapis cyfr w różnych
systemach liczenia
Slide 11
Co to jest system liczbowy ?
System liczbowy to sposób zapisywania
liczb oraz zbiór reguł umożliwiających
wykonywanie działań na tych liczbach. Dla
dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór
znaków, za pomocą, których tworzy się
liczby.
Slide 12
Rodzaje systemów liczenia:
• Pozycyjne
• Niepozycyjne (addytywne)
Slide 13
Rodzaje systemów liczenia:
• W systemach liczbowych pozycyjnych
liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr.
Wartość jej jest zależna od położenia
(pozycji) cyfry w liczbie.
• Systemy niepozycyjne (addytywne) to
metody zapisywania liczb w taki sposób, że
znaczenie cyfry (wartość) jest niezależne od
zajmowanej pozycji w liczbie.
Slide 14
Przykłady systemów liczenia:
Pozycyjne:
• Dwójkowy
• Ósemkowy
• Dziesiątkowy
• Szesnastkowy
• Sześćdziesiątkowy
Niepozycyjne:
• Egipski
• Rzymski
Slide 15
Zadanie 2
Jak zbudować liczbę w różnych
systemach ?
Slide 16
System dwójkowy
(binarny)
• System liczbowy, w którym podstawą jest
liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko
dwie cyfry: 0 i 1.
• Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr,
z których każda jest mnożnikiem kolejnej
potęgi 2, np. zapis 1001 wynika z : 1*23 +
0*22 + 0*21+ 1*20
Slide 17
System ósemkowy
(oktalny)
• To pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do
zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do
7.
• Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi 8, np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie
liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera
postać 144, gdyż:
1*82 + 4*81 + 4*80 = 64 + 32 + 4 = 100.
Slide 18
System dziesiątkowy
(decymalny)
• Jest to pozycyjny system liczbowy,
w którym podstawą są kolejne potęgi liczby
10. Do zapisu liczb potrzebne jest 10 cyfr
od 0 do 9.
• Liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr,
z których każda jest mnożnikiem kolejnej
potęgi 10, np. zapis „245” wynika z : 2*102
+ 4*101 + 5*100
Slide 19
System szesnastkowy
(heksadecymalny)
• System liczbowy, w którym podstawą jest
liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie
potrzebne jest 16 cyfr, poza cyframi
dziesiętnymi od 0 do 9 używa się liter A, B,
C, D, E, F. Litery odpowiadają
następującym wartościom: A = 10, B = 11,
C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.
• Zapis „AB3” wynika z:
10*162 + 11*161 + 3*160 .
Slide 20
System sześćdziesiątkowy
• To pozycyjny system liczbowy o podstawie
60. Do zapisu liczb w tym systemie używa
się znaków od 0 do 59.
• Zaletą tego systemu jest podzielność liczby
60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz
60. Ułamki mają wtedy formę liczb
całkowitych.
Slide 21
System rzymski (łaciński)
• System liczbowy, w którego podstawowej
wersji używa się 7 znaków:
I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000.
• Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznacza
liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie
poziomej kreski nad liczbą oznacza mnożenie
przez 1000.
• Przykłady: 2012 = MMXII
1973 = MCMLXXIII
Slide 22
System egipski
Egipcjanie do zapisu słów stosowali
hieroglify, czyli obrazki przedstawiające
różne przedmioty, postacie czy zwierzęta.
Podobnie było z liczbami. System zapisu
liczb opierał się na siedmiu hieroglifach
przedstawiających kolejne potęgi liczby 10.
Aby zapisać w tym systemie określoną
wartość, należało powtórzyć odpowiednią
liczbę razy właściwe liczebniki.
Slide 23
System egipski – cd.
Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol
Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec,
a 100000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu
była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach
Nilu po jego wylewach. Znak dla 1000000
przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest
to najprawdopodobniej obraz Boga
podtrzymującego sklepienie niebieskie jako
symbol "wszystkiego". Liczbę 10 000 000
oznaczano podkreślając koło.
Slide 24
System egipski – cd.
Egipskie liczebniki hieroglifowe
Slide 25
Zadanie 3
Teoria zamienia się w praktykę
... czyli ulubione „zadanka” ;)
Slide 26
Konwersja liczb z jednego
systemu na inny
Zadanie1: Liczbę 458 przedstaw jako liczbę w systemie
szóstkowym (o podstawie sześć).
Liczbę 458 dzielimy przez 6 zapisując wyniki
w następujący sposób:
456 : 6 = 76 r 2
76 : 6 = 12 r 4
12 : 6 = 2 r 0
2:6=0 r2
Zapisując uzyskane reszty „od końca” otrzymujemy:
458 = 2042
(6)
Slide 27
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Działania na liczbach w systemie dwójkowym
są odpowiednikiem działań w systemie
dziesiętnym, i opierają się na elementarnych
działaniach:
•1+ 0 = 1; 1 + 1 = 10; 1* 0 = 0
•1 * 1 = 1; 10 - 1 = 1
Slide 28
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Przykład dodawania w systemie dwójkowym.
111111
1111111
+
10011
10010010
Slide 29
Przykłady działań
w systemie dwójkowym:
Przykład mnożenia w systemie dwójkowym.
101
x 111
101
101
+101
100011
Slide 30
Zadanie 4
Matematyka jest wszędzie –
czyli ... gdzie znajdują
zastosowanie inne niż
dziesiątkowy systemy liczenia?
Slide 31
Zastosowania innych
systemów liczbowych
System rzymski - dziś, w Polsce
używany do:
zapisywania numerów liceów, numerów
klas i lat studiów, wieków, tomów dzieł,
numerów pięter, wydziałów w instytucjach.
Systemem rzymskim zapisuje się też daty
urodzenia.
Slide 32
Zastosowania innych
systemów liczbowych – cd.
Pozostałością po systemie
babilońskim jest używany obecnie układ
sześćdziesiątkowy związany z jednostkami
czasu. Godzina dzieli się na 60 minut,
minuta na 60 sekund.
Układ sześćdziesiątkowy stosuje się też przy
podawaniu miar kątowych a zwłaszcza
szerokości i długości geograficznej.
Slide 33
Zastosowania innych
systemów liczbowych - cd
Systemy dwójkowy,
ósemkowy,
szesnastkowy
powszechnie stosowane są
w elektronice
i informatyce. Adresy IP
np. w wersji 6 są podawane
w pozycyjnym systemie
szesnastkowym.
Slide 34
Zastosowania innych
systemów liczbowych - cd
Do dziś w Polsce używa się takich
wywodzących się z systemu
dwunastkowego pojęć jak tuzin (12
sztuk), gros (12 tuzinów- 144 sztuki) oraz
kopa (5 tuzinów- 60 sztuk)
Slide 35
Zastosowania innych
systemów liczbowych – cd.
W 1863 roku
zaproponowano nowe
cyfry oraz standard
zapisu i pomiaru czasu
(zegar) oraz lokalizacji
(kompas) w systemie
pozycyjnym
szesnastkowym.
Slide 36
Czy nie można pozostawić
jednego systemu liczenia,
a całkowicie wyeliminować
inne?
Slide 37
Naszym zdaniem …
• Każdy z systemów jest inny, potrzebny
i znajduje swoje zastosowania.
• Likwidacja systemu sześćdziesiątkowego
i zastąpienie go systemem dziesiątkowym
byłoby niepraktyczne, np.: 7.20, w układzie
dziesiątkowym zamiast tego wyglądałyby
tak: 7,333333333... itd. I jak tu np. ułożyć
rozkład jazdy?
Slide 38
Naszym zdaniem …
System binarny jest potrzebny
w informatyce, natomiast jego stosowanie
w życiu codziennym nie jest wygodne.
Liczby mają bardzo długi zapis, co jednak
zupełnie nie przeszkadza komputerom.
Slide 39
Korzystaliśmy z
następujących zasobów:
• W. Krysicki „Jak liczono dawniej, a jak liczymy dziś”.
• Komitet Organizacyjny Konkursu „Kangur Matematyczny”
PTM o Toruń - „Miniatury matematyczne”.
• http://pl.wikipedia.org/
• http://matematyka.wroc.pl
• http://serwis-matematyczny.pl
• http://www.math.edu.pl/
• http://edu.I-lo.tarnow.pl
Slide 40
W tajniki systemów liczenia
zagłębiali się: (w kolejności alfabetycznej)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Góralczyk Miłosz
Kardyś Mikołaj
Kot Aleksandra
Ligęza Jadwiga
Mendala Piotr
Nowak Maciej
Oczkowicz Szymon
Pawlik Małgorzata
Stelmaszak Weronika – lider, autor prezentacji
Tekielski Rafał
Opiekun – p. Zofia Kondratowicz
Slide 41
Dziękujemy za uwagę
POWUZ nr IV KRAKÓW
SP – M-I