Slide 1

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 2

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 3

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 4

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 5

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 6

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 7

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 8

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 9

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 10

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 11

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 12

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 13

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 14

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 15

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 16

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 17

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt


Slide 18

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego
definiowania, zapisywania i nazywania liczb.
Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego
zbioru znaków - zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi),
które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby (w różnej
kolejności) otrzymując odpowiednią liczbę kombinacji.
Pozycyjne systemy liczbowe:
 jedynkowy system liczbowy
 dwójkowy system liczbowy
 siódemkowy system liczbowy
 ósemkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
 dwunastkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 sześćdziesiątkowy system liczbowy

Złożone systemy liczbowe można już podzielić na:
◙ addytywne - posiadają osobne symbole dla pierwszych kilku liczb, a
następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach
tych liczby tworzy się przez "dodawanie" kolejnych symboli i stąd ich
nazwa (np. liczby rzymskie "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16).
Najstarszym tego rodzaju systemem liczbowym był stosowany w
Mezopotamii
sześćdziesiątkowy
system liczbowy,
w którym
podstawowymi wielokrotnościami były 12 i 60.
◙ pozycyjne - które posiadają pojedyncze symbole tylko dla kilku
pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych
pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi podstawy systemu (najwyższej
liczby reprezentowanej pojedynczą cyfrą plus jeden na cyfrę zero).
np. liczba 6003 w dziesiętnym systemie liczbowym, w którym podstawą
pozycji jest właśnie 10 odczytuje się jako:
6×103+0×102+0×101+3×100 = 6×1000+0×100+0×10+3×1 = 6003

W praktyce najczęściej stosuje się różne systemy liczbowe w Informatyce.
Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej
naturalnym systemem jest dwójkowy system liczbowy.
W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system
ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.
Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero
wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem
było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.
Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą
się przez 8 i 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza
się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy
parametrów itp. Dla przykładu:
216 = 6553610 = 1000016
232 = 429496729610 = 10000000016
1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.
System szesnastkowy spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie w ten
sposób oznacza się kolory poszczególnych elementów strony.

Binarny (dwójkowy) system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym
podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc
tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym
pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu np.
liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym
zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego
systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać
obok niej indeks, np.
101012 = 2110
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste.
Dla przykładu ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:
0,1510 = 0,00(1001)2
0,2810 = 0,(01000111101011100001)2

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym

111102 =

43210
4
3
2
1
0
11110 = 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 0x2 =

= 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne
wartości w zależności od swojej pozycji:
na końcu oznacza 1,
na drugiej pozycji od końca 2,
na trzeciej 4,
na czwartej 8, itd.
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n aby obliczyć wartość
liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Obliczanie wartości binarnej liczby
zapisanej w systemie dziesiętnym
Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszta 0
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca
reszty, które nam wyszły.
3010 = 111102

127 ÷ 2 = 63 reszta 1
63 ÷ 2 = 31 reszta 1
31 ÷ 2 = 15 reszta 1
15 ÷ 2 = 7 reszta 1
7 ÷ 2 = 3 reszta 1
3 ÷ 2 = 1 reszta 1
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

12710 = (1111111)2

19 ÷ 2 = 9 reszta 1
9 ÷ 2 = 4 reszta 1
4 ÷ 2 = 2 reszta 0
2 ÷ 2 = 1 reszta 0
1 ÷ 2 = 0 reszta 1

1910 = (10011)2

Dodawanie w systemie dwójkowym jest prostą operacją.

Odejmowanie w systemie dwójkowym.

Mnożenie w systemie dwójkowym.

Bit to za mało, aby efektywnie kodować informację.
Łączymy bity w grupy. Grupę taką traktujemy jak jeden
symbol złożony. Poniższa tabelka przedstawia wszystkie
symbole 1, 2, 3 i 4 bitowe:
Jeśli słowo binarne złożone jest z jednego bitu, to można z
niego zbudować tylko dwa symbole 0 i 1 (różowy).
Dwa bity dają nam już cztery różne symbole (zielony):
00, 01, 10 i 11.
Dalej trzy bity pozwalają utworzyć 8 różnych symboli
(niebieski), a 4 bity 16 symboli.
Zauważ, iż zwiększenie długości słowa bitowego o jeden bit
podwaja liczbę możliwych do utworzenia symboli.

Dla dowolnej skończonej ilości informacji
zawsze można dobrać słówka binarne o takiej
ilości bitów, aby utworzyć z nich pożądaną
liczbę symboli.
W ten sposób powstaje kod binarny. Teraz
wystarczy otrzymanym symbolom binarnym
nadać znaczenia i już możemy ich używać w ten
sam sposób jak języka.
n bitów => 2n różnych symboli binarnych.
Pytanie:
Ile trzeba bitów aby uzyskać X różnych
symboli binarnych ?

Dobrze 
co najmniej [log2(n - 1) + 1] bitów

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

w

a

g

o

n

10110

00000

00110

01110

01101

1011000000001100111001101

Binarny kod znakowy
Znak
Kod
Znak
Kod

Znak

Kod

Znak

Kod

a

00000

h

00111

o

01110

v

10101

b

00001

i

01000

p

01111

w

10110

c

00010

j

01001

q

10000

x

10111

d

00011

k

01010

r

10001

y

11000

e

00100

l

01011

s

10010

z

11001

f

00101

m

01100

t

10011

g

00110

n

01101

u

10100

A teraz w drugą stronę, co to będzie ?

1001101110010101100001110
10011

01110

01010

11000

01110

t

o

k

y

o

Wartość liczby stałoprzecinkowej jest określana tak jak w
pozycyjnym systemie liczbowym. Wagi bitów części całkowitej
mają wartości (kolejno, od najbardziej znaczącego bitu): 2k−1 ...20,
natomiast wagi bitów części ułamkowej mają wartości: 2−1 ...2− n.
Dokładność reprezentacji wynosi 2−n, czyli jest równa wadze
najmniej znaczącego bitu części ułamkowej.
Na przykład jeśli na część całkowitą zostaną przeznaczone 4 bity
(k=4), natomiast na część ułamkową 2 bity (n=2), wówczas:
•wartość maksymalna:
1111,112 = 23 + 22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 = 15,7510
•wartość minimalna:
0000,012 = 2-2 = 0,2510
•przykładowa liczba:
1011,102 = 23 + 21 + 20 + 2-1 = 11,510

= dziesiętny zakodowany
dwójkowo – stosowany w elektronice i informatyce sposób zapisu liczb;
polegający na zakodowaniu kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
dwójkowo przy użyciu czterech bitów. Taki zapis pozwala na łatwą
konwersję liczby do i z systemu dziesiętnego, jest jednak nadmiarowy
(wykorzystuje tylko 10 czterobitowych układów z 16 możliwych).
Kod BCD jest obecnie stosowany głównie w urządzeniach
elektronicznych z wyświetlaczem cyfrowym (np. w kalkulatorach,
miernikach cyfrowych) i w zastosowaniach finansowych informatyki
(ujednoznacznia zapis części ułamkowych kwot i ułatwia dziesiętne
zaokrąglanie).
Czasami poszczególne cyfry są kodowane w nieco inny sposób, stąd
kilka wariantów BCD (dla uściślenia wersja podstawowa zwana jest też
BCD 8421 lub NBCD):

BCD Binary-Coded Decimal

127 w podstawowym wariancie BCD:

0001 0010 0111

www.kf.imif.ap.siedlce.pl/Pliki/PTC_w
02.ppt