Transcript System dwójkowy i dziesiętny

System
dwójkowy
i dziesiętny
SYSTEM DWÓJKOWY
Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy
układ numeracji zwany też systemem binarnym.
Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc
liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a
więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera
i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym
zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby
dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.
Zamiana liczb z systemu
dziesiętnego na dwójkowy
Aby z liczby dziesiętnej uzyskać
odpowiadającą jej liczbę dwójkowa należy
dzielić dana liczbę przez 2, wyniki
kolejnych dzieleń zapisać w słupku reszty
z dzieleń zapisać po prawej stronie za
kreska. Kolejne dzielenia wykonujemy do
momentu a uzyskamy wynik z dzielenia
mniejszy niż 1.Następnie wystarczy
przepisać uzyskane reszty z dzieleń od
dołu do góry i mamy wynik.
Przykłady zmiany z systemu
dziesiętnego na dwójkowy
53 : 2 = 26, reszta 1
26 : 2 = 13, reszta 0
13 : 2 = 6, reszta 1
6 : 2 = 3, reszta 0
3 : 2 = 1, reszta 1
1 : 2 = 0, reszta 1
Uwaga! Wynik odczytujemy od dołu: 110101
53 (10) = 110101 (2)
Liczba 53 została zapisana na 6 bitach (ma 6 cyfr)
Zamienimy liczbę 74(10) na jej
postać dwójkową
74 : 2 = 37 reszta 0, zatem wynik = '0'
37 : 2 = 18 reszta 1, zatem wynik = '10'
18 : 2 = 9 reszta 0, wynik = '010'
9 : 2 = 4 reszta 1, wynik = '1010'
4 : 2 = 2 reszta 0, wynik = '01010'
2 : 2 = 1 reszta 0, wynik = '001010'
1 : 2 = 0 reszta 1, wynik = '1001010'
Zatem 74(10) = 1001010(2)
Zamieniamy liczbę 10 (10) na jej
postać dwójkową
10 : 2 = 5 reszta 0, zatem wynik ‘0’
5 : 2 = 2 reszta 1, zatem wynik ‘1’
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1
Zatem 10 (10) = 1010
Zamieniamy liczbę 30 (10) na jej
postać w systemie dwójkowym
30 : 2 = 15 r = 0
15 : 2 = 7 r =1
7 : 2 =3 r = 1
3 :2 = 1 r = 1
1 :2 = 0 r =1
Zatem liczba 30 (10) w systemie dwójkowym
przyjmuje postać 11110
Zamieniamy liczbę 173 (10) na jej
postać w systemie dwójkowym
173 : 2 = 86 r = 1
86 : 2 = 43 r =0
43 : 2 = 21 r = 1
21 : 2 = 10 r = 1
10 : 2 = 5 r =0
5 :2 = 2 r = 1
2: 2 = 1 r = 0
1: 2 = 0 r = 1
Zatem liczba 173 (10) = 10101101
System dziesiętny
Jest to podstawowy system prezentacji liczb
prawie we wszystkich krajach na świecie.
Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje
się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Podstawą
pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10.
Liczby w systemie dziesiętnym
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym,
liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby
stanowiącej podstawę systemu.
Jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości
cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc
cyfrę stojącą na pierwszej
pozycji mnożymy razy 100 . Cyfrę na 2
pozycji mnożymy razy 101,
cyfrę na 3 pozycji razy 102 itd.
Przykład:
4123 = 3*100 + 2*101 + 1*102 + 4*103 = 3 + 20
+ 100 + 4000 = 4123
Zamiana licz z systemu
dwójkowego na system dziesiętny
Aby przeliczyć liczbę z systemu dwójkowego na
dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:
Zamiana liczby 10101101 na jej postać
w systemie dziesiętnym- krok 1
W powyższym wzorze w miejsca x'ów
wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje
kolejne cyfry z przeliczanej liczby. Wyglądało by to
tak:
Krok 2
Aby uzyskać ostateczny wynik musimy jeszcze to
wszystko wyliczyć. Na pierwszy rzut oka może wydawać
się to odrobinę skomplikowane ale przy odrobinie
wprawy jest to proces bardzo prosty. Wystarczy
zauważyć pewną zależność - każda następna potęga liczby
2 jest od swojego poprzednika dokładnie dwukrotnie
większa. Co nam daje ta wiedza? Otóż nie musimy
pracowicie wyliczać potęg tylko do wzoru wstawić
gotowe liczby: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (oczywiście kolejne
liczby są tworzone tak samo 256, 512, 1024, 2048, itd.).
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:
Krok 3
I już jest trochę prościej, aby jeszcze całą sprawę ułatwić
usuńmy z naszego równania wszystkie elementy które nie
mają wpływu na jego ostateczny wynik tzn. wszystkie
mnożenia przez zero
.
Jak widać zostały nam w równaniu mnożenia... ale
mnożenie przez 1 nic nie zmienia, więc zróbmy kolejne
uproszczenie.
Wystarczy tylko dodać liczby a otrzymany wynik jest
naszą "przeliczoną" z systemu dwójkowego na
dziesiętny liczbą. W tym wypadku jest to liczba 173.
Zamieniamy 11110 (2) na jej
postać w systemie dziesiętnym
11110 = 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + 1 x 2
2+ 1 x 2 1+ 0 x 2 o = 16 + 8 + 4 +
2 =30
Zamieniamy liczbę 11101101 na
jej postać w systemie dziesiętnym
11101101 = 1 · 27 + 1 · 26 + 1 ·
25 + 0 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 ·
21 + 1 · 20 = 128 + 64 + 32 + 0
+ 8 + 4 + 0 + 1 = 237
Zamieniamy liczbę 10111110 na
jej postać w systemie dziesiętnym
10111110 = 1 · 27 + 0 · 26 +
1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 ·
22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 128 + 0
+32+16+8+4+2+0 = 190
Zamieniamy liczbę 101010 na jej
postać w systemie dziesiętnym
101010 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 ·
2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 21 + 0 · 2 0 =
32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42
SYSTEM EGIPSKI
HISTORIA
Informacje o poziomie matematyki w starożytnym Egipcie są
bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu świadczą
głównie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze
matematyczne teksty pisane zachowały się mniej więcej z
początku drugiego tysiąclecia p.n.e. To, że zachowało się tak
niewiele egipskich tekstów matematycznych związane jest
prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty
matematyczne pisane były na kruchym papirusie, czasem na
skórze. Do naszych czasów przetrwały tylko teksty złożone
w piramidach. Babilońskie teksty były pisane na glinianych
tabliczkach. Dzięki temu zachowało się wiele
matematycznych tekstów babilońskich pisanych pismem
klinowym. Matematyka pozwalała na dokonywanie obliczeń
potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatków,
mierzenia pól i objętości tam i zbiorników zboża, zamiany
miar wagi i objętości na inne jednostki.
 Po licznych obserwacjach zauważono , że cyfrom i liczbom
przyporządkowano znaki lub symbole graficzne jak pałeczka
czy zwinięty, liść palmy. Przy zapisywaniu liczb hieroglify
oznaczające jedności , dziesiątki setki itd. pisano tyle razy, ile
było w danej liczbie jedności w odpowiednich rzędach , przy
czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego
(starożytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).

Na czym polega ?

Egipski system zapisywania liczb opierał
się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz
nie był to system pozycyjny. Do
oznaczania kolejnych potęg liczby 10
istniały specjalne znaki - hieroglify.
Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do
mierzenia, zapisywano zaś go jako
pionową kreskę.
Symbolika
Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10
przypominał podkowę.
Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię
do mierzenia albo jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską.
Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu.
Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba.
Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim,
jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach.
Znak dla 1000000 przedstawia postać z podniesionymi
rękoma.
Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego
sklepienie niebieskie
jako symbol "wszystkiego". Liczbę 10 000 000 oznaczano
podkreślając koło.
Zapisywanie

4200
Liczby zapisywano w Egipcie tak jak i u nas, to jest od lewej
do prawej,
umieszczając obok siebie jednostki danego rzędu, aż do
jego wyczerpania.
Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dosyć proste.
Zliczamy
poszczególne symbole, gdy zliczymy pełną dziesiątkę
jednakowych symboli, to
zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika. W ten
sposób wykonywali swoje
rachunki starożytni pisarze przy zliczaniu danin,
podatków, stad bydła, płodów
rolnych, itp. Taki system zapisu liczb stosowany był
powszechnie w Egipcie
już 3000 lat p.n.e.
UŁAMKI EGIPSKIE
A zaczęło się od bochenka
chleba…
Nie zapominajmy jednak, że sztuka matematyczna
starożytnych Egipcjan rozwinęła się głównie w
kierunku praktycznym, zaś głównym powodem
takiej reprezentacji ułamków egipskich był
optymalny sposób podzielenia bochenków chleba .
Zgodnie z zapiskami w papirusie Ahmesa była
to metoda zalecana do dzielenia bochenków chleba
między kilka osób . Na przykład jak rozdzielić 5
bochenków między 6 osób.5/6 możemy przedstawić
jako 1/2 +1/3. Innymi słowy, 5 = 6(1/2 + 1/3) =
6(1/2) + 6(1/3).
W myśl metody opisanej w Papirusie Ahmesa ,
musimy każdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na
dwie równe części i każdy z 6(1/3) = 2 bochenków
na trzy równe części . W rezultacie mamy 6
połówek i 6 trzecich bochenka. Każda z sześciu
osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka.
Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy
jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie – kiedy
 odkryto ułamki. Dorysowanie owalu nad hieroglifem, było
chyba jednak początkiem ułamków . Z całą pewnością
wiadomo , że najwcześniej poznanymi spośród wszystkich
ułamków są połowa i ćwierć. Egipcjanie do zapisywania tych
ułamków stosowali znaki indywidualne


Sposób zapisywania pozostałych ułamków egipskich był
bardzo prosty. Jedynkę w liczniku zapisywano za pomocą
owalu, a liczbę w mianowniku przedstawiano sposobem
podobnym do rzymskiego systemu zapisu liczb. Analizując
poniższe przykłady bardzo łatwo zauważyć zasady ich
tworzenia.

Tak na przykład w papirusie Rhinda Ahmes zapisał sposobem egipskim egipską
wartość liczby π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173 .W dokumencie znalazły się także
następujące rozkłady :

4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10

1/3 = 1/6 + 1/6

1/2 = 1/6 + 1/6 + 1/6

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

2/3 = 1/2 + 1/6

Oprócz ułamków z jedynką w liczniku , Egipcjanie używali ułamka 2/3
,który stanowił wyjątek a przedstawiany był następująco :
Dwunastkowy system liczbowy – pozycyjny system
liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi
liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr.
Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się
pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B.
Zapis liczbowy w systemie dwunastkowym
Liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest
mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę
systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie
liczbowym jako 1000, w dwunastkowym przybiera
postać 6B4, gdyż:
6×12² + 11×121 + 4×120 = 864 + 132 + 4 = 1000.

TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE
DWUNASTKOWYM
*
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
2
4
6
8
A
10
12
14
16
18
1A
20
3
6
9
10
13
16
19
20
23
26
29
30
4
8
10
14
18
20
24
28
30
34
38
40
5
A
13
18
32
26
2B
34
39
42
47
50
6
10
16
20
26
30
36
40
46
50
56
60
7
12
19
24
2B
36
41
48
53
5A
65
70
8
14
20
28
34
40
48
54
60
68
74
80
9
16
23
30
39
46
53
60
69
76
83
90
A
18
26
34
42
50
5A
68
76
84
92
A0
B
1A
29
38
47
56
65
74
83
92
A1
B0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
A0
B0
100
PRZYKŁADY
6×12² + 11×121 + 4×120 = 864 + 132 + 4 =
1000
120-2×120=10
120=1
(12)12=144
25=2×121+120
123=1728
1=120
100= 6×12² + 4×120
Zastosowanie systemu dwunastkowego w historii i obecnie
System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie w Babilonii używano go równolegle z
systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy (o zapisie pozycyjnym) stosowano przy
skomplikowanych obliczeniach (np. w zakresie astronomii), zaś systemu dziesiętnego używały
szerokie masy ludności w życiu codziennym (aramejski system liczbowy).
W niewielkim zakresie systemu dwunastkowego używano także w starożytnym Rzymie, gdzie
starożytna jednostka monetarna As (jednostka monetarna lub wagowa) składała się z 12 uncji.
Również średniowieczny system monetarny w Europie opierał się częściowo na systemie
dwunastkowym: pieniądze liczono m.in. w solidach, które zawierały po 12 denarów.
(pozostałość tego systemu monetarnego przetrwała do 2. połowy XX w. w krajach powiązanych
kulturowo z Wielką Brytanią, a w samej Wielkiej Brytanii aż do roku 1971, gdzie aż do tej
daty szyling dzielił się na 12 pensów).
Od średniowiecza aż do XIX w. (a w krajach anglosaskich, zwłaszcza USA - do chwili obecnej)
mierzono długość w stopach, calach, liniach i punktach, gdzie stopa = 12 cali, cal = 12 linii,
linia = 12 punktów.
Do dziś w Polsce używa się takich wywodzących się z systemu dwunastkowego pojęć jak tuzin (12
sztuk) i gros (12 tuzinów - 144 sztuki) oraz kopa (5 tuzinów - 60 sztuk).
W niektórych językach istnieje także pojęcie "wielki gros" określające liczbę 1728 stanowiącą 12
grosów (tuzin do potęgi trzeciej).
System dwunastkowy w innych dziedzinach nauki
Również używane w niektórych dziedzinach nauki (m.in. w geografii, kartografii, nawigacji i
astronomii) pojęcia stopień, minuta, sekunda i tercja opierają się na systemie dwunastkowym.
Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system
liczbowy o podstawie 7. System siódemkowy jest
czasem nazywany septymalnym. Do zapisu liczb
używa się w nim siedmiu cyfr, od 0 do 6.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby
zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest
mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą
systemu.
W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych
oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w
systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę
systemu, np. 10007 = 34310.
Ułamki wyrażone w systemie siódemkowym będą
ułamkami okresowymi, chyba, że mianownik jest
potęgą siedmiu
Konwersacja
Aby zamienić zwykłą liczbę na system siódemkowy wystarczy
dzielić przez 7.
Pierwsze dzielenie :
234:7=33
21
=24
21
=3
Z tego dzielenia wyszła reszta 3 więc ta liczba w systemie
siódemkowy na ostatniej pozycji będzie mieć
cyfrę 3 .
 Drugie dzielenie :
33:7=4
28
=5
Z tego dzielenia wyszła reszta 5 więc ta liczba w systemie
siódemkowym na przedostatniej pozycji będzie mieć
cyfrę 5 i analogicznie ostatnią uzyskaną cyfrą będzie cyfra 4
ponieważ :
4: 7 = 0 reszty 4 czyli : 234=(453)7
PRZYKŁADY
34=(46)7
49=7²