Transcript Nie dziesiątkowe systemy liczenia

Niedziesiątkowe systemy liczenia
Monika Nowicka
Systemy niższe od dziesiątkowego
Systemy wyższe od dziesiątkowego
Układ dwójkowy
Układ czwórkowy
Układ piątkowy
Układ ósemkowy
Układ piątkowy.
Układ piątkowy należy do tych układów, które rzeczywiście istniały lub nawet
istnieją w pewnych zakamarkach naszej kuli ziemskiej. Ojczyzną jego jest Ameryka,
i to zarówno Północna, gdzie odnaleźć go można wśród plemion eskimoskich, jak
również Środkowa i Południowa, gdzie niegdyś był w powszechnym użyciu.
Stosowały go również liczne plemiona Syberii i niektóre afrykańskie szczepy
murzyńskie.
Pewien ślad układu piątkowego można znaleźć w liczbach rzymskich, gdzie V
stanowi jakby przełom nie mniej ważny niż X.
Przykład: (123)10 = (443)5
123 {dziel przez 5}
24 3
4
4
0
4
sprawdzenie
3*50 + 4*5 1+ 4*5 2 = 123.
Układ czwórkowy.
1.
Zapiszmy liczbę 267 w układzie czwórkowym:
267 : 4 = 66 66 : 4 = 16
16 : 4 = 4
4:4=1
24
4
16
4
27
26
0r
0r
24
24
3r
2r
Cyfry podane tłustym drukiem wypisujemy w odwrotnym przypadku, od prawej do lewej.
Zatem: 26710 = 100234.
II sposób:
267 {dziel przez 4}
66 3
16 2
4 0
1 0
0 1
Sprawdzenie: 3 + 2 *4 + 1 * 44 = 267.
UKŁAD ÓSEMKOWY
(123.4)8 =3 *80 + 2*81 + 1* 82 + 4 * 8 –1 = (83.5)10
Zamiana z dziesiątkowego na ósemkowy czyli odwrotnie:
1
(321.59375)10 = (501.46)8
321
dziel przez 8
40
1
5
0
zapis
0
5
w górę
mnóż przez 8
0.59375
0.75
4
zapis
6
w dół
0
reszty
całości
Układ dwójkowy.
Najprostszy układ numeracji, to układ dwójkowy. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby pisać można tylko przy użyciu cyfr: 0 i 1 Pomimo swojej
prostoty układ dwójkowy jest jednym z najciekawszych układów. Teoretycznie
opracowali go tacy matematycy , jak Leibniz, Legendre, Lucas. Posiada on bardzo duże
zastosowanie w informatyce. Dla komputera naturalnym sposobem liczenia jest
korzystanie z zapisu dwójkowego. Łatwo bowiem uzyskać prostą interpretację fizyczną
takiego stanu rzeczy. W urządzeniach komputerowych kodowanie danych polega na
pojawianiu się w kolejnych odstępach czasu impulsów elektrycznych (1) lub ich braku
(0). Mogą one reprezentować liczbę, znak, rozkaz lub adres komórki pamięci.
(101000011.011)2 = 20 + 21 +26 + 28 + 2-2 + 2-3 = (323,375)10
Przykład w drugą stronę:
(29.75)10 = (11101.11)2
29 dziel przez 2
0.75
1
14 1
0.5
1
7 0
0
3 1
1 1
0 1
Układ tuzinowy
Układ piętnastkowy
Układ sześćdziesiątkowy
Układ szesnastkowy
System tuzinowy – dwunastkowy.
Zapisanie liczby jest dosyć trudne, ponieważ w resztach dzielenia i w
ostatnim ilorazie otrzymaliśmy liczby dwucyfrowe: 10 i 11.
Układ tuzinowy wydaje się nam obecnie dziwaczny, a przede wszystkim
niezupełnie praktyczny. Jednak kilkakrotnie w naszych już dziejach
zjawiały się zupełnie poważne propozycje, by układ dziesiątkowy
zamienić na tuzinowy. Zwolennikiem układu dwunastkowego był słynny
matematyk
i mechanik Szymon Stevin z Bruges (1548-1620).
Opierał się na tym, że wszystkie narody przyjęły podział roku na
dwanaście miesięcy, podział dnia i nocy na dwanaście godzin, obliczanie
wielu przedmiotów na tuziny.
Za układem dwunastkowym był również król szwedzki Karol XII (16971718), ponieważ podobało mu się to, że liczba 12 jest wielokrotnością 2,
3, 4, 6, gdy tymczasem 10 dzieli się tylko przez 2 i 5 oraz że łatwiej jest
wyrazić w tym układzie jedną trzecią, dwie trzecie, jedną czwartą niż
w układzie dziesiątkowym.
System mendlowy – piętnastkowy.
W systemie piętnastkowym poruszamy się podobnie jak w
dwunastkowym.
Można w nim również stosować litery alfabetu na oznaczenie
brakujących cyfr powyżej 9, mianowicie: X (dziesięć), A
(jedenaście), B (dwanaście), C (trzynaście), D (czternaście).
Zapiszmy liczbę 1871 w systemie mendlowym:
(1871)10 = (84A)15
Sprawdzamy: 11 + 4 *15 + 8 *152 = 1871.
System kopowy – sześćdziesiątkowy.
Napiszmy liczbę 67254 w układzie kopowym.: „(18) (40) (54)”.
Sprawdźmy: 54 + 40 * 60 + 18 * 602 = 67254.
W tym systemie zamiany na litery nie stosujemy, gdyż nie starczy alfabetu.
Układ kopowy miał w dawnych czasach szerokie zastosowanie praktyczne. Stosowali go
Babilończycy , głównie do oznaczania miar i wag.
Na dwóch babilońskich płytkach glinianych, z których jedna pochodzi z okresu 2300 – 1600 r.
p.n.e. znaleziono ciąg liczbowy:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Widzimy, że są to pełne kwadraty:
12, 22, 32, 42, 52, 62, 72.
Dalej szedł układ taki:
I. 4, I. 21, I. 40, II. 1 itd.
Napisy stają się zrozumiałe, jeżeli przyjmiemy, że cyfry przed kropką oznaczają 60; mamy wtedy
I. 4 = 60+4 = 64,
I. 21 = 60 + 21 = 81,
I. 40 = 60 + 40 = 100,
II. 1 = 120 + 1 = 121, ...,spostrzegamy wówczas, że są to kwadraty dalszych
liczb:
82, 82, 102, 112, ...
Wiele okoliczności wskazuje na to, że system kopowy nie był
systemem popularnym. Był raczej systemem tajemnym, znany
nielicznej grupie uczonych, kapłanów, magów.
Skąd pochodzić mogła myśl wzięcia liczby 60 za podstawę
układu numeracji, którego ślady pozostały do dzisiaj w
podziale koła na 360 stopni, godziny na 60 minut, minuty na
60 sekund? Hipotezy są różne. Najbardziej prawdopodobne
wydają się te, które przyjmują, iż astronomowie ówcześni
liczyli rok równy 360 dniom, albo też geometrowie tych
odległych wieków doszli już do zasady podziału okręgu koła
na 6 części za pomocą promienia.
Układ szesnastkowy
(189.671875)10= (BD.AC)16
189 Dziel przez 16
0.671875
A (10)
C (12)
11
D (13)
(10) 0.75
0
B (11)
0
Odwrotnie:
(BD.AC)16 = D*160 + B*161 + A*16-1 + C*16-2 =(189.671875)10