Slide 1

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 2

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 3

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 4

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 5

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 6

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 7

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 8

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va


Slide 9

Matematyka i system
dwójkowy

Informacje
• Najprostszym układem pozycyjnym jest
dwójkowy układ numeracji zwany też systemem
binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2,
wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko
cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa
zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie
jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych
potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi
liczby dwa.

Dodawanie i mnożenie liczb
biarnych
•

Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:
ai-1ai-2 ... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

•

Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie.
Liczba dwójkowa:

Podstawa:

•
•
•

•

•
•
•

•

Dodawanie liczb binarnych
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W
systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o
tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej
kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie
jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1
w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania
cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera.
1 1 110100 + 10101 1001001
Mnożenie liczb binarnych
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie.

System binarny
• Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy
dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu
dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi
liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie
wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby.
• Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1.
Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w
systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie
dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć,
stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w
naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

Zmiany systemu
•

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy
potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy.
Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
–

•
•
•

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu
oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi
dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać
według wyżej opisanej zasady, czyli:
–

•

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
–

•
•
•
•
•
•
•

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Przykłady 1.
• Obliczyć wartość liczby dwójkowej
11100101(2).
•
• 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 +
0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
11100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 +
0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1
11100101(2) = 229(10)

Przykłady 2.

Zakres liczby dwójkowej
•
•
•
•
•
•

•
•
•

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr
binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą
uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:
dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 =
7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...
Otrzymujemy kolejne liczby:
dla 1b mamy
dla 2b mamy
dla 3b mamy
dla 4b mamy
...1
3
7
15
Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:
dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...

Dziękuję za uwagę! 

Michał Filipek kl. Va