Transcript Matematyka
Slide 1
„Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej
nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać
innych nauk ścisłych i nie może poznać świata.”
Roger Bacon
Slide 2
Historia matematyki w Polsce
Główne działy matematyki
Przypomnienie o liczbach
Kąty
Pola i obwody figur
płaskich
Liczba pi
Twierdzenie Pitagorasa
Ciekawostki
matematyczne
Trójkąty
Zadania
Warto przypomnieć
Slide 3
HISTORIA MATEMATYKI W POLSCE
W Polsce przedrozbiorowej wybitniejszą postacią był A.A. Kochański, nadworny
matematyk Jana III Sobieskiego, znany z przybliżonego rozwiązania kwadratury koła.
W epoce zaborów najbardziej zasłużonym krzewicielem wiedzy matematycznej był Jan
Śniadecki, od niego to pochodzi polska terminologia matematyczna w ówczesnym
zakresie (n.p. terminy "całka", "różniczka").
Jedynym znanym powszechnie matematykiem polskim sprzed 2 połowy XIX wieku był
J.M. Hoene-Wroński, twórca nowej metody w terii równań różniczkowych; mniej znany
jest W. Żmurko - wynalazca integratora, przyrządu do mechanicznego obliczania pól
figur płaskich.
Pierwsze polskie czasopismo matematyczne "Prace Matematyczno-Fizyczne" założył w
1888 roku D. Dickstein.
Dopiero od zakończenia I wojny światowej można mówić o polskiej szkole
mateamtycznej.
Grupa matematyków warszawskich (W. Sierpiński, S. Mazurkiewicz, K. Kuratowski, B.
Knaster i inni) zasłynęła z badań w zakresie teorii mnogości i topologii, podjętych z
inicjatywy Z. Janiszewskiego.
Założone w 1920 roku polskie czasopismo "Fundamenta Mathematicae" poświęcone
tym dyscyplinom, było pierwszym na świecie wyspecjalizowanym czasopismem
matematycznym
Slide 4
Z prac w dziedzinie analizy funkcjonalnej zasłynął ośrodek lwowski (S. Banach,
S. Mazur, H. Steinhaus i inni); we Lwowiem pracował wybitny badacz równań
różniczkowych J. Schauder, a także H. Steinhaus, który pierwszy zastosował
metody probabilistyczne w analizie.
Kierunek tych badań rozwijany następnie przez N. Wienera w USA stał się
podstawą teorii procesów stochastycznych.
W czasie II wojny światowej zginęła prawie połowa twórczo pracujących
matematyków polskich.
Po II wojnie światowej matematyka polska szybko zaczęła się odradzać.
W Polsce istnieje obecnie 7 matematycznych ośrodków uniwersyteckich
(największe w Warszawie, Krakowie, Wrocławiu), całością badań
matematycznych kieruje Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk.
Organizacją społeczną matematyków w Polsce jest Polskie Towarzystwo
Matematyczne, które zajmuje się zarówno pracą badawczą, jak i popularyzacją i
dydaktyką.
Opracowano na podstawie Encyklopedii Powszechnej PWN Warszawa 1975
Slide 5
Arytmetyka to nauka o liczbach oraz o posługiwaniu się nimi (czyli liczeniu), a
pierwsze teoretyczne problemy w tej dziedzinie podejmowali starożytni Grecy.
W XIX wieku arytmetyka została zaksjomatyzowana, a nowoczesną postacią arytmetyki
jest teoria liczb, która wciąż przyciąga setki badaczy, chcących zaznać przyjemności
poruszania się po gruncie dziedziny, którą Gauss nazwał Królową Matematyki.
Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności,
i którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się
rozwiązywaniem równań. Odkąd symbole literowe pojawiły się w arytmetyce, algebra
przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak właśnie rozumie się obecnie
algebrę.
Słowo algebra natomiast pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego
IX w. i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony
równania na drugą oraz skracania równań stronami
Geometria jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur
geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą
nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych.
Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem
geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki Euklidesowi
geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii
dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą
aksjomatów i definicji wyprowadza się twierdzenia.
Slide 6
Liczby rzeczywiste - liczby, które reprezentują wartości ciągłe
(wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb
rzeczywistych jest oś liczbowa. Pojęcie liczby rzeczywistej określa
wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne,
liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki itd.
Oznaczenia:
R+ - liczby rzeczywiste
dodatnie
R_ - liczby rzeczywiste ujemne
NW – liczby niewymierne
W – liczby wymierne
C – liczby całkowite
N – liczby naturalne
Slide 7
Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3, ..., 127, ...
Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia
przedmiotów.
Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b, natomiast liczby,
które dodajemy nazywamy składnikami.
Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a ■ b, natomiast liczby,
które mnożymy nazywamy czynnikami.
Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b, natomiast liczbę
a nazywamy odjemna. liczbę zaś b — odjemnikiem.
Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b, natomiast liczbę a
nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem.
Wynik dodawania liczb naturalnych, a także wynik mnożenia liczb
naturalnych jest zawsze liczbą naturalną; dlatego mówimy, że działania te
są wykonalne w zbiorze liczb naturalnych
* Liczby parzyste to liczby naturalne, które są podzielne przez 2.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
* Liczby nieparzyste to liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 2 dają
resztę 1.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,
Slide 8
Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich
przeciwne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C, a więc:
C= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie
1 odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest
liczbą całkowitą.
Przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych
nazywamy rozkładem tej liczby na czynniki pierwsze. Oto przykład
rozkładu liczby na czynniki pierwsze:
420 = 2*2*3*5*7 = 22*3*5*7
Posługując się rozkładem liczb na czynniki można wyznaczyć największy
wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb
naturalnych.
Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych m, n (oznaczamy go N
WI)(/»,//)) jest to największy ze wszystkich wspólnych dzielników tych
liczb. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych m, n (oznaczamy ją NWW(m,«)) jest to najmniejsza ze wspólnych wielokrotności
tych liczb.
Slide 9
Liczby wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma
rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są
podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą
wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Podzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik nazywamy
skracaniem ułamka. Skracanie ułamka nie zmienia jego
wartości.
Wygodną i często stosowaną postacią liczby wymiernej jest jej rozwinięcie dziesiętne
Na liczbach wymiernych można wykonywać działania dodawania, odejmowania i
mnożenia. Można również wykonywać dzielenie, jeśli tylko dzielnik jest liczbą różną od
zera
Liczby niewymierne są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu
dwóch liczb całkowitych. Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest
całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na
nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu.
Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczbę niewymierną nie można
przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest
nieskończone i nieokresowe.
Przykłady liczb niewymiernych: π, e,...
Oś liczbowa jest to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i
jednostkę. Każdej liczbie całkowitej można przyporządkować,
sposób jednoznaczny, jeden punkt na osi liczbowej, odkładając odpowiednią liczbę
razy obraną jednostkę.
Slide 10
licznik
3:4 =
3
4
kreska ułamkowa
Mianownik nie może wynosić 0.
mianownik
Zawsze można zamienić znak
dzielenia na kreskę ułamkową i
odwrotnie.
UŁAMKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE
3
4
7
8
Są to ułamki właściwe- maja licznik mniejszy od
mianownika
7
5
9
4
Są to ułamki niewłaściwe- mają licznik większy od
mianownika
Menu
Slide 11
A
a
A
B
Najmniejszą figurą geometryczną jest punkt.
Punkt oznaczamy dużymi literami alfabetu.
Proste oznaczamy małymi literami.
AB- odcinek- składa się z punktów A i B (są to końce
odcinka) oraz wszystkich punktów zawartych między
punktami A i B
a
b
O
Są to równoległe- nie mają punktów wspólnych lub mają
wszystkie punkty wspólne ( pokrywają się)
Proste przecinające się - mają 1 punkt wspólny
d
c
Jeżeli proste przecinają się pod kątem prostym,
są to proste prostopadłe
Slide 12
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości
boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem
egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta
prostego w terenie.
Slide 13
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą
wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich
liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb
(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej
liczby) to:
D6={1,2,3}
D28={1,2,4,7,14}
D496={1,2,4,8,16,31
,62,124,248}
i 1+
i 1+
i 1+
62+
2+ 3 = 6
2+ 4+ 7+ 14 = 28
2+ 4+ 8+ 16+ 31+
124+ 248 = 496
Slide 14
Zabawa z trójkątem :
32 = 9
332 = 1089
3332 = 110889
33332 = 11108889
333332 = 1111088889
A teraz oblicz sam:
3333332 =
Slide 15
Pszczeli sekret
Pszczoły poza tym iż są bardzo pracowite mają też ogromną wiedzę matematyczną. Czy widziałeś
kiedykolwiek jak zbudowany jest plaster?
Otóż składa się on z szeregu komórek woskowych sześcieogranistych, ułożonych w dwu warstwach
stykających się wspólnymi denkami.
Co ciekawe, dna nie są płaskie. Są to naroża uformowane z trzech równych rombów.
Dlaczego pszczoły obrały taką właśnie formę? Należało ciasne wnętrze ula uzyskać w sposób
najbardziej ekonomiczny. A więc wybrać taki wielokąt, który zwielokrotniony pokrywałby płaszczyznę,
bez żadnych szpar i szczelin. Spośród odkrytych, już przez Pitagorasa wielokątów foremnych trójkąta,
kwadratu, mądre pszczoły wybrały właśnie sześciokąt . Innych form pszczoły nie brały pod uwagę,
gdyż musiałyby swe plastry budować z komórek dwu lub nawet więcej typów, co znacznie utrudniałoby
im pracę. Budując sześciokątne komórki również można osiągnąć największą pojemność komórek
przy względnie najmniejszym zużyciu wosku.
Slide 16
Liczby większe od tysiąca zapisujemy zgodnie z zasadą:
pozioma kreska nad liczbą rzymską oznacza liczbę tysiąc razy większą
od początkowej.
Przykłady:
I-
1
VXLCDM-
5
10
50
100
500
1000
IV = 4
VII = 7
XL = 40
CM = 900
MXXV = 1025
MCMXCV = 1995
MM = 2000
MCMLVI = 1956
M
- 1 000 000
X
- 10 000
L
- 50 000
Menu
Slide 17
Kwadraty i sześciany liczb :
102 = 100
13 = 1
112 = 121
23 = 8
122 = 144
33 = 27
132 = 169
43 = 64
142 = 196
53 = 125
152 = 225
63 = 216
162 = 256
73 = 343
172 = 289
83 = 512
182 = 324
93 = 729
192 = 361
103 = 1000
202 = 400
203 = 8000
252 = 625
253= 15625
Slide 18
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
- kwadrat sumy
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
- kwadrat różnicy
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- sześcian sumy
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
- sześcian różnicy
a2-b2= (a-b) . (a+b)
- różnica kwadratów
a3 + b3 = (a+b) . (a2 - ab + b2)
- suma sześcianów
a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2)
- różnica sześcianów
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
- kwadrat sumy trzech składników
Menu
Slide 19
Kąt wkl
Kąt wypukły
Kąt (lub kąt płaski) - każda z
dwóch części płaszczyzny
zawarta między dwiema
półprostymi o wspólnym początku
(zwanym wierzchołkiem kąta)
wraz z tymi półprostymi (zwanymi
ramionami kąta).
Wierzchołek kąta
Dwusieczna kąta- jest to półprosta, która dzieli kąt na pół.
Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równooddalonych od ramion tego kąta.
Slide 20
Kąt pełny
Kąt półpełny
Kąt zerowy
Slide 21
Kąt prosty
Kąt ostry
Kąt rozwarty
Slide 22
W wyniku przecięcia się dwóch prostych powstają dwie pary kątów. Dwa kąty,
które sąsiadują ze sobą nazywamy kątami przyległymi, natomiast kąty, które
nie sąsiadują ze sobą nazywamy kątami wierzchołkowymi.
Kąty przyległe
Kąty przyległe, to kąty wypukłe,
które mają jedno ramię wspólne, a
pozostałe dopełniają się do prostej
Suma kątów przyległych równa jest
kątowi półpełnemu: α + β = 180°
Kąty wierzchołkowe
Kąty wierzchołkowe, to dwa kąty
o wspólnym wierzchołku, takie,
że przedłużenia ramion jednego
kąta są ramionami drugiego.
Kąty wierzchołkowe są równej
miary: α = β, γ = δ.
Menu
Slide 23
Podział trójkątów ze względu na kąty:
Ostrokątny ma 3
kąty ostre
Prostokątny ma 1 kąt
prosty
przyprostokątna
Nazwy boków w trójkącie prostokątnym:
przyprostokątna
Rozwartokątny ma 1
kąt rozwarty
Slide 24
Podział trójkątów ze względu na boki:
RÓWNOBOCZNY
RÓWNORAMIENNY
RÓŻNOBOCZNY
Wszystkie boki są
równe. Każdy kąt
wynosi 600
Kąty przy podstawie
są równe. Ramiona
mają tę samą
długość
Każdy bok ma inną
długość
SUMA MIAR KĄTÓW WEWNĘTRZNYCH KAŻDEGO TRÓJKĄTA WYNOSI 1800
Slide 25
I cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są
odpowiednio równe trzem bokom
drugiego trójkąta, to te trójkąty są
przystające.
Slide 26
II cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty
jednego trójkąta są odpowiednio równe
dwóm bokom i kątowi między nimi
zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty
są przystające.
Slide 27
III cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe
jednego trójkąta są odpowiednio równe
bokowi i dwóm kątom do niego przyległym
drugiego trójkąta, to trójkąty są
przystające.
Menu
Slide 28
Jednostki pola:
1 cm = 10 mm
1dm = 10cm
(1 cm)2 = (10 mm)2
(1dm)2=(10cm)2
1 cm . 1 cm = 10 mm . 10 mm
1 dm . 1 dm= 10 cm . 10 cm
1 cm2 = 1000 mm2
1dm2 = 100 cm 2
1 m = 100 cm
1 a = 100 m2
(1m)2 = (100 cm)2
1 m . 1m = 100 cm . 100 cm
1
m2
= 1000
cm2
1 ha = 1000 m2
1 ha = 100a
Slide 29
Pole prostokąta :
długość x szerokość
b
P= a ∙ b
Obw. = 2a + 2b
a
Pole kwadratu :
długość x szerokość
P= a ∙ a = a2
lub
P = ½ ∙ I przekątna C1 ∙ II przekątna C2
Obw.= 4 ∙ a
c2
Slide 30
Pole trójkąta:
½ x bok x wysokość do niego poprowadzona
P=½a∙h
∙
Wzór na pole trójkąta równobocznego
h
P=
a
a2
3
4
Obwód trójkąta :
równoramiennego : ( a + 2b)
równobocznego: ( 3 ∙ a)
różnobocznego: (a + b + c )
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego :
h=
a
3
2
Slide 31
Pole równoległoboku :
bok x wysokość do niego poprowadzona
h
.
P= a ∙ h
Obw.= 2a + 2b
a
Pole rombu:
bok x wysokość do niego poprowadzona
b
P= a ∙ h
lub
P =½
h
c
∙ I przekątna b ∙ II przekątna c
Obw.= 4a
a
Slide 32
Pole trapezu:
b
½ x dodane podstawy x wysokość
h
P=½∙(a+b)∙h
a
Pole deltoidu :
Wzór na obwód trapezu:
•różnobocznego : (a + b + c +d)
•równoramiennego: (a + b + 2c)
P= ½ d1∙ d2
Obw.= 2a + 2b
d2
d1
Menu
Slide 33
Liczba Л (pi) jest równa stosunkowi długości okręgu do
długości jego średnicy
długość okręgu
średnica okręgu
Л
=
Л
l
d
=
Л
= 3,1415926535897932384 …..
Liczba
Л
Л ~~ 3,14
jest liczbą niewymierną, bo ma rozwinięcie dziesiętne
nieskończone, nieokresowe.
Inna nazwa liczby pi to ludolfina - nazwa ludolfina pochodzi od
imienia hol. matematyka Ludolfa van Ceulena, który w 1610r.
wyznaczył przybliżenie liczby z dokładnością do 35 miejsc
rozwinięcia dziesiętnego,
Slide 34
l =Л d
Wzór na długość okręgu
l = 2Лr
d = 2r
l - długość okręgu
d - średnica okręgu
r - promień okręgu
r
Slide 35
Wzór na długość łuku okręgu
α
ł = 360
0
.2Л r
Łuk okręgu jest to część okręgu ograniczona
dwoma promieniami
Slide 36
Wzór na pole wycinka koła
r
a
Pwyc.= 360
0
.
2Лr
Wycinek koła jest to część koła ograniczona dwoma promieniami
Slide 37
r
r
Podc. = Pwyc. – P
Odcinek koła jest to część koła ograniczona cięciwą
Menu
Slide 38
Pitagoras( ok. 570 – 497 p.n.e.)
Był greckim filozofem, matematykiem i założycielem słynnego związku
religijno – politycznego, nazwanego później szkoła pitagorejską.
Pitagorasowi i jego uczniom przypisuje się między innymi:
• zapoczątkowanie teorii liczb,
• uzasadnienie twierdzenia zwanego twierdzeniem Pitagorasa,
• sformułowanie twierdzenia o sumie kątów w trójkącie czworokącie i
wielokątach foremnych,
• zajmowanie się wielościanami foremnymi i kulą.
Pitagorejczycy odkryli, że tylko pewne wielokąty foremne pokrywają
płaszczyznę, mianowicie: trójkąty równoboczne, kwadraty, sześciokąty
foremne. Badając własności liczb naturalnych, pitagorejczycy tworzyli
ciągi liczb wielokątnych,
a więc liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne.
Slide 39
TREŚĆ TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów
przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej
Slide 40
TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli suma kwadratów długości 2
krótszych boków trójkąta jest równa
kwadratowi długości boku najdłuższego,
to ten trójkąt jest prostokątny
Slide 41
P2=aa2
b
P1=b2
2
a +
2
b
=
2
c
P1 + P2 = P3
Slide 42
Poniżej przedstawiona animacja, ilustruje jeden z dowodów twierdzenia
Pitagorasa. Zielony czworokąt jest jednym z czterech przystających
czworokątów, na jakie został podzielony dolny kwadrat, dwiema prostymi
przechodzącymi przez jego środek, przy czym jedna z tych prostych jest
równoległa do przeciwprostokątnej trójkąta, a druga jest prostopadła. Najpierw
wypełniane są dwa mniejsze kwadraty, a potem takimi samymi częściami
wypełniany jest największy kwadrat.
Menu
Slide 43
1. Jeden z kątów przyległych jest dwa razy większy od drugiego. Ile stopni
ma każdy z nich ?
2a
a
2. Podaj, jakie pole ma koło o promieniu : 3 ; 1
3. Podaj długość okręgu o promieniu: 1; 3,14 ; 4,2
4. Podaj wynik : 122 ; 172 ; 93
Slide 44
5. Oblicz pole zacieniowanego pierścienia ?
6
4
6. Oblicz średnice pni drzew o obwodach : 50 cm ; 1m :
Slide 45
Który z trójkątów jest trójkątem
prostokątnym ?
Trójkąty prostokątne to: a, d, g
Slide 46
Czy podany wzór jest poprawny
?
d
k
c
s
h
w
s2 + d2 = h2
k2 = c2 + w2
Slide 47
a=3
Oblicz pola kwadratów
zbudowanych na bokach
trójkąta
b=4
Pa = 32 = 9
Pb = 42 = 16
Pc = 52 = 25
a2 a
b
b2
Menu
„Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej
nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać
innych nauk ścisłych i nie może poznać świata.”
Roger Bacon
Slide 2
Historia matematyki w Polsce
Główne działy matematyki
Przypomnienie o liczbach
Kąty
Pola i obwody figur
płaskich
Liczba pi
Twierdzenie Pitagorasa
Ciekawostki
matematyczne
Trójkąty
Zadania
Warto przypomnieć
Slide 3
HISTORIA MATEMATYKI W POLSCE
W Polsce przedrozbiorowej wybitniejszą postacią był A.A. Kochański, nadworny
matematyk Jana III Sobieskiego, znany z przybliżonego rozwiązania kwadratury koła.
W epoce zaborów najbardziej zasłużonym krzewicielem wiedzy matematycznej był Jan
Śniadecki, od niego to pochodzi polska terminologia matematyczna w ówczesnym
zakresie (n.p. terminy "całka", "różniczka").
Jedynym znanym powszechnie matematykiem polskim sprzed 2 połowy XIX wieku był
J.M. Hoene-Wroński, twórca nowej metody w terii równań różniczkowych; mniej znany
jest W. Żmurko - wynalazca integratora, przyrządu do mechanicznego obliczania pól
figur płaskich.
Pierwsze polskie czasopismo matematyczne "Prace Matematyczno-Fizyczne" założył w
1888 roku D. Dickstein.
Dopiero od zakończenia I wojny światowej można mówić o polskiej szkole
mateamtycznej.
Grupa matematyków warszawskich (W. Sierpiński, S. Mazurkiewicz, K. Kuratowski, B.
Knaster i inni) zasłynęła z badań w zakresie teorii mnogości i topologii, podjętych z
inicjatywy Z. Janiszewskiego.
Założone w 1920 roku polskie czasopismo "Fundamenta Mathematicae" poświęcone
tym dyscyplinom, było pierwszym na świecie wyspecjalizowanym czasopismem
matematycznym
Slide 4
Z prac w dziedzinie analizy funkcjonalnej zasłynął ośrodek lwowski (S. Banach,
S. Mazur, H. Steinhaus i inni); we Lwowiem pracował wybitny badacz równań
różniczkowych J. Schauder, a także H. Steinhaus, który pierwszy zastosował
metody probabilistyczne w analizie.
Kierunek tych badań rozwijany następnie przez N. Wienera w USA stał się
podstawą teorii procesów stochastycznych.
W czasie II wojny światowej zginęła prawie połowa twórczo pracujących
matematyków polskich.
Po II wojnie światowej matematyka polska szybko zaczęła się odradzać.
W Polsce istnieje obecnie 7 matematycznych ośrodków uniwersyteckich
(największe w Warszawie, Krakowie, Wrocławiu), całością badań
matematycznych kieruje Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk.
Organizacją społeczną matematyków w Polsce jest Polskie Towarzystwo
Matematyczne, które zajmuje się zarówno pracą badawczą, jak i popularyzacją i
dydaktyką.
Opracowano na podstawie Encyklopedii Powszechnej PWN Warszawa 1975
Slide 5
Arytmetyka to nauka o liczbach oraz o posługiwaniu się nimi (czyli liczeniu), a
pierwsze teoretyczne problemy w tej dziedzinie podejmowali starożytni Grecy.
W XIX wieku arytmetyka została zaksjomatyzowana, a nowoczesną postacią arytmetyki
jest teoria liczb, która wciąż przyciąga setki badaczy, chcących zaznać przyjemności
poruszania się po gruncie dziedziny, którą Gauss nazwał Królową Matematyki.
Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności,
i którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się
rozwiązywaniem równań. Odkąd symbole literowe pojawiły się w arytmetyce, algebra
przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak właśnie rozumie się obecnie
algebrę.
Słowo algebra natomiast pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego
IX w. i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony
równania na drugą oraz skracania równań stronami
Geometria jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur
geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą
nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych.
Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem
geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki Euklidesowi
geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii
dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą
aksjomatów i definicji wyprowadza się twierdzenia.
Slide 6
Liczby rzeczywiste - liczby, które reprezentują wartości ciągłe
(wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb
rzeczywistych jest oś liczbowa. Pojęcie liczby rzeczywistej określa
wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne,
liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki itd.
Oznaczenia:
R+ - liczby rzeczywiste
dodatnie
R_ - liczby rzeczywiste ujemne
NW – liczby niewymierne
W – liczby wymierne
C – liczby całkowite
N – liczby naturalne
Slide 7
Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3, ..., 127, ...
Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia
przedmiotów.
Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b, natomiast liczby,
które dodajemy nazywamy składnikami.
Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a ■ b, natomiast liczby,
które mnożymy nazywamy czynnikami.
Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b, natomiast liczbę
a nazywamy odjemna. liczbę zaś b — odjemnikiem.
Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b, natomiast liczbę a
nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem.
Wynik dodawania liczb naturalnych, a także wynik mnożenia liczb
naturalnych jest zawsze liczbą naturalną; dlatego mówimy, że działania te
są wykonalne w zbiorze liczb naturalnych
* Liczby parzyste to liczby naturalne, które są podzielne przez 2.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
* Liczby nieparzyste to liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 2 dają
resztę 1.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,
Slide 8
Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich
przeciwne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C, a więc:
C= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie
1 odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest
liczbą całkowitą.
Przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych
nazywamy rozkładem tej liczby na czynniki pierwsze. Oto przykład
rozkładu liczby na czynniki pierwsze:
420 = 2*2*3*5*7 = 22*3*5*7
Posługując się rozkładem liczb na czynniki można wyznaczyć największy
wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb
naturalnych.
Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych m, n (oznaczamy go N
WI)(/»,//)) jest to największy ze wszystkich wspólnych dzielników tych
liczb. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych m, n (oznaczamy ją NWW(m,«)) jest to najmniejsza ze wspólnych wielokrotności
tych liczb.
Slide 9
Liczby wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma
rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są
podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą
wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Podzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik nazywamy
skracaniem ułamka. Skracanie ułamka nie zmienia jego
wartości.
Wygodną i często stosowaną postacią liczby wymiernej jest jej rozwinięcie dziesiętne
Na liczbach wymiernych można wykonywać działania dodawania, odejmowania i
mnożenia. Można również wykonywać dzielenie, jeśli tylko dzielnik jest liczbą różną od
zera
Liczby niewymierne są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu
dwóch liczb całkowitych. Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest
całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na
nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu.
Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczbę niewymierną nie można
przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest
nieskończone i nieokresowe.
Przykłady liczb niewymiernych: π, e,...
Oś liczbowa jest to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i
jednostkę. Każdej liczbie całkowitej można przyporządkować,
sposób jednoznaczny, jeden punkt na osi liczbowej, odkładając odpowiednią liczbę
razy obraną jednostkę.
Slide 10
licznik
3:4 =
3
4
kreska ułamkowa
Mianownik nie może wynosić 0.
mianownik
Zawsze można zamienić znak
dzielenia na kreskę ułamkową i
odwrotnie.
UŁAMKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE
3
4
7
8
Są to ułamki właściwe- maja licznik mniejszy od
mianownika
7
5
9
4
Są to ułamki niewłaściwe- mają licznik większy od
mianownika
Menu
Slide 11
A
a
A
B
Najmniejszą figurą geometryczną jest punkt.
Punkt oznaczamy dużymi literami alfabetu.
Proste oznaczamy małymi literami.
AB- odcinek- składa się z punktów A i B (są to końce
odcinka) oraz wszystkich punktów zawartych między
punktami A i B
a
b
O
Są to równoległe- nie mają punktów wspólnych lub mają
wszystkie punkty wspólne ( pokrywają się)
Proste przecinające się - mają 1 punkt wspólny
d
c
Jeżeli proste przecinają się pod kątem prostym,
są to proste prostopadłe
Slide 12
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości
boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem
egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta
prostego w terenie.
Slide 13
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą
wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich
liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb
(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej
liczby) to:
D6={1,2,3}
D28={1,2,4,7,14}
D496={1,2,4,8,16,31
,62,124,248}
i 1+
i 1+
i 1+
62+
2+ 3 = 6
2+ 4+ 7+ 14 = 28
2+ 4+ 8+ 16+ 31+
124+ 248 = 496
Slide 14
Zabawa z trójkątem :
32 = 9
332 = 1089
3332 = 110889
33332 = 11108889
333332 = 1111088889
A teraz oblicz sam:
3333332 =
Slide 15
Pszczeli sekret
Pszczoły poza tym iż są bardzo pracowite mają też ogromną wiedzę matematyczną. Czy widziałeś
kiedykolwiek jak zbudowany jest plaster?
Otóż składa się on z szeregu komórek woskowych sześcieogranistych, ułożonych w dwu warstwach
stykających się wspólnymi denkami.
Co ciekawe, dna nie są płaskie. Są to naroża uformowane z trzech równych rombów.
Dlaczego pszczoły obrały taką właśnie formę? Należało ciasne wnętrze ula uzyskać w sposób
najbardziej ekonomiczny. A więc wybrać taki wielokąt, który zwielokrotniony pokrywałby płaszczyznę,
bez żadnych szpar i szczelin. Spośród odkrytych, już przez Pitagorasa wielokątów foremnych trójkąta,
kwadratu, mądre pszczoły wybrały właśnie sześciokąt . Innych form pszczoły nie brały pod uwagę,
gdyż musiałyby swe plastry budować z komórek dwu lub nawet więcej typów, co znacznie utrudniałoby
im pracę. Budując sześciokątne komórki również można osiągnąć największą pojemność komórek
przy względnie najmniejszym zużyciu wosku.
Slide 16
Liczby większe od tysiąca zapisujemy zgodnie z zasadą:
pozioma kreska nad liczbą rzymską oznacza liczbę tysiąc razy większą
od początkowej.
Przykłady:
I-
1
VXLCDM-
5
10
50
100
500
1000
IV = 4
VII = 7
XL = 40
CM = 900
MXXV = 1025
MCMXCV = 1995
MM = 2000
MCMLVI = 1956
M
- 1 000 000
X
- 10 000
L
- 50 000
Menu
Slide 17
Kwadraty i sześciany liczb :
102 = 100
13 = 1
112 = 121
23 = 8
122 = 144
33 = 27
132 = 169
43 = 64
142 = 196
53 = 125
152 = 225
63 = 216
162 = 256
73 = 343
172 = 289
83 = 512
182 = 324
93 = 729
192 = 361
103 = 1000
202 = 400
203 = 8000
252 = 625
253= 15625
Slide 18
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
- kwadrat sumy
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
- kwadrat różnicy
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- sześcian sumy
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
- sześcian różnicy
a2-b2= (a-b) . (a+b)
- różnica kwadratów
a3 + b3 = (a+b) . (a2 - ab + b2)
- suma sześcianów
a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2)
- różnica sześcianów
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
- kwadrat sumy trzech składników
Menu
Slide 19
Kąt wkl
Kąt wypukły
Kąt (lub kąt płaski) - każda z
dwóch części płaszczyzny
zawarta między dwiema
półprostymi o wspólnym początku
(zwanym wierzchołkiem kąta)
wraz z tymi półprostymi (zwanymi
ramionami kąta).
Wierzchołek kąta
Dwusieczna kąta- jest to półprosta, która dzieli kąt na pół.
Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równooddalonych od ramion tego kąta.
Slide 20
Kąt pełny
Kąt półpełny
Kąt zerowy
Slide 21
Kąt prosty
Kąt ostry
Kąt rozwarty
Slide 22
W wyniku przecięcia się dwóch prostych powstają dwie pary kątów. Dwa kąty,
które sąsiadują ze sobą nazywamy kątami przyległymi, natomiast kąty, które
nie sąsiadują ze sobą nazywamy kątami wierzchołkowymi.
Kąty przyległe
Kąty przyległe, to kąty wypukłe,
które mają jedno ramię wspólne, a
pozostałe dopełniają się do prostej
Suma kątów przyległych równa jest
kątowi półpełnemu: α + β = 180°
Kąty wierzchołkowe
Kąty wierzchołkowe, to dwa kąty
o wspólnym wierzchołku, takie,
że przedłużenia ramion jednego
kąta są ramionami drugiego.
Kąty wierzchołkowe są równej
miary: α = β, γ = δ.
Menu
Slide 23
Podział trójkątów ze względu na kąty:
Ostrokątny ma 3
kąty ostre
Prostokątny ma 1 kąt
prosty
przyprostokątna
Nazwy boków w trójkącie prostokątnym:
przyprostokątna
Rozwartokątny ma 1
kąt rozwarty
Slide 24
Podział trójkątów ze względu na boki:
RÓWNOBOCZNY
RÓWNORAMIENNY
RÓŻNOBOCZNY
Wszystkie boki są
równe. Każdy kąt
wynosi 600
Kąty przy podstawie
są równe. Ramiona
mają tę samą
długość
Każdy bok ma inną
długość
SUMA MIAR KĄTÓW WEWNĘTRZNYCH KAŻDEGO TRÓJKĄTA WYNOSI 1800
Slide 25
I cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są
odpowiednio równe trzem bokom
drugiego trójkąta, to te trójkąty są
przystające.
Slide 26
II cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty
jednego trójkąta są odpowiednio równe
dwóm bokom i kątowi między nimi
zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty
są przystające.
Slide 27
III cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe
jednego trójkąta są odpowiednio równe
bokowi i dwóm kątom do niego przyległym
drugiego trójkąta, to trójkąty są
przystające.
Menu
Slide 28
Jednostki pola:
1 cm = 10 mm
1dm = 10cm
(1 cm)2 = (10 mm)2
(1dm)2=(10cm)2
1 cm . 1 cm = 10 mm . 10 mm
1 dm . 1 dm= 10 cm . 10 cm
1 cm2 = 1000 mm2
1dm2 = 100 cm 2
1 m = 100 cm
1 a = 100 m2
(1m)2 = (100 cm)2
1 m . 1m = 100 cm . 100 cm
1
m2
= 1000
cm2
1 ha = 1000 m2
1 ha = 100a
Slide 29
Pole prostokąta :
długość x szerokość
b
P= a ∙ b
Obw. = 2a + 2b
a
Pole kwadratu :
długość x szerokość
P= a ∙ a = a2
lub
P = ½ ∙ I przekątna C1 ∙ II przekątna C2
Obw.= 4 ∙ a
c2
Slide 30
Pole trójkąta:
½ x bok x wysokość do niego poprowadzona
P=½a∙h
∙
Wzór na pole trójkąta równobocznego
h
P=
a
a2
3
4
Obwód trójkąta :
równoramiennego : ( a + 2b)
równobocznego: ( 3 ∙ a)
różnobocznego: (a + b + c )
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego :
h=
a
3
2
Slide 31
Pole równoległoboku :
bok x wysokość do niego poprowadzona
h
.
P= a ∙ h
Obw.= 2a + 2b
a
Pole rombu:
bok x wysokość do niego poprowadzona
b
P= a ∙ h
lub
P =½
h
c
∙ I przekątna b ∙ II przekątna c
Obw.= 4a
a
Slide 32
Pole trapezu:
b
½ x dodane podstawy x wysokość
h
P=½∙(a+b)∙h
a
Pole deltoidu :
Wzór na obwód trapezu:
•różnobocznego : (a + b + c +d)
•równoramiennego: (a + b + 2c)
P= ½ d1∙ d2
Obw.= 2a + 2b
d2
d1
Menu
Slide 33
Liczba Л (pi) jest równa stosunkowi długości okręgu do
długości jego średnicy
długość okręgu
średnica okręgu
Л
=
Л
l
d
=
Л
= 3,1415926535897932384 …..
Liczba
Л
Л ~~ 3,14
jest liczbą niewymierną, bo ma rozwinięcie dziesiętne
nieskończone, nieokresowe.
Inna nazwa liczby pi to ludolfina - nazwa ludolfina pochodzi od
imienia hol. matematyka Ludolfa van Ceulena, który w 1610r.
wyznaczył przybliżenie liczby z dokładnością do 35 miejsc
rozwinięcia dziesiętnego,
Slide 34
l =Л d
Wzór na długość okręgu
l = 2Лr
d = 2r
l - długość okręgu
d - średnica okręgu
r - promień okręgu
r
Slide 35
Wzór na długość łuku okręgu
α
ł = 360
0
.2Л r
Łuk okręgu jest to część okręgu ograniczona
dwoma promieniami
Slide 36
Wzór na pole wycinka koła
r
a
Pwyc.= 360
0
.
2Лr
Wycinek koła jest to część koła ograniczona dwoma promieniami
Slide 37
r
r
Podc. = Pwyc. – P
Odcinek koła jest to część koła ograniczona cięciwą
Menu
Slide 38
Pitagoras( ok. 570 – 497 p.n.e.)
Był greckim filozofem, matematykiem i założycielem słynnego związku
religijno – politycznego, nazwanego później szkoła pitagorejską.
Pitagorasowi i jego uczniom przypisuje się między innymi:
• zapoczątkowanie teorii liczb,
• uzasadnienie twierdzenia zwanego twierdzeniem Pitagorasa,
• sformułowanie twierdzenia o sumie kątów w trójkącie czworokącie i
wielokątach foremnych,
• zajmowanie się wielościanami foremnymi i kulą.
Pitagorejczycy odkryli, że tylko pewne wielokąty foremne pokrywają
płaszczyznę, mianowicie: trójkąty równoboczne, kwadraty, sześciokąty
foremne. Badając własności liczb naturalnych, pitagorejczycy tworzyli
ciągi liczb wielokątnych,
a więc liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne.
Slide 39
TREŚĆ TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów
przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej
Slide 40
TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli suma kwadratów długości 2
krótszych boków trójkąta jest równa
kwadratowi długości boku najdłuższego,
to ten trójkąt jest prostokątny
Slide 41
P2=aa2
b
P1=b2
2
a +
2
b
=
2
c
P1 + P2 = P3
Slide 42
Poniżej przedstawiona animacja, ilustruje jeden z dowodów twierdzenia
Pitagorasa. Zielony czworokąt jest jednym z czterech przystających
czworokątów, na jakie został podzielony dolny kwadrat, dwiema prostymi
przechodzącymi przez jego środek, przy czym jedna z tych prostych jest
równoległa do przeciwprostokątnej trójkąta, a druga jest prostopadła. Najpierw
wypełniane są dwa mniejsze kwadraty, a potem takimi samymi częściami
wypełniany jest największy kwadrat.
Menu
Slide 43
1. Jeden z kątów przyległych jest dwa razy większy od drugiego. Ile stopni
ma każdy z nich ?
2a
a
2. Podaj, jakie pole ma koło o promieniu : 3 ; 1
3. Podaj długość okręgu o promieniu: 1; 3,14 ; 4,2
4. Podaj wynik : 122 ; 172 ; 93
Slide 44
5. Oblicz pole zacieniowanego pierścienia ?
6
4
6. Oblicz średnice pni drzew o obwodach : 50 cm ; 1m :
Slide 45
Który z trójkątów jest trójkątem
prostokątnym ?
Trójkąty prostokątne to: a, d, g
Slide 46
Czy podany wzór jest poprawny
?
d
k
c
s
h
w
s2 + d2 = h2
k2 = c2 + w2
Slide 47
a=3
Oblicz pola kwadratów
zbudowanych na bokach
trójkąta
b=4
Pa = 32 = 9
Pb = 42 = 16
Pc = 52 = 25
a2 a
b
b2
Menu