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利用代數方法
解聯立方程


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除了圖解法外，我們還可以
利用甚麼方法來解
一為一次及一為二次的
聯立方程呢?

我們可以利用代數方法，
而其中最常用的代數方
法就是代入法。


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考慮以下的聯立方程 :
y = x2  2x  3
……(1)
x + y  1 = 0
……(2)
從 (2) 可得 :
y=x+1
……(3)
把 (3) 代入 (1)，可得 :
x + 1 = x2  2x  3
x2  3x  4 = 0
 x = 4 或 x = 1
(x  4)(x + 1) = 0
把 x = 4 代入 (3)，可得 :
把 x = 1 代入 (3)，可得 :

y=4+1=5
y = 1 + 1 = 0

 該聯立方程的解是 (4, 5) 和 (1, 0)。


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課堂研習
解以下的聯立方程。
y = x2 + 2x  7
……(1)
x+y=3
……(2)
從 (2) 可得 :
y=3x
……(3)
把 (3) 代入 (1)，可得 :
3  x = x2 + 2x  7
x2 + 3x  10 = 0
 x = 2 或 x = 5
(x  2)(x + 5) = 0
把 x = 2 代入 (3)，可得 : y = 3  2 = 1
把 x = 5 代入 (3)，可得 : y = 3  (5) = 8
 該聯立方程的解是 (2, 1) 和 (5, 8)。


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判別式 

二次方程的根的數目

對於一為一次及一為二次的
聯立方程，我們可用同樣的
方法，找出其解的數目。
求以下聯立方程的解的數目:
y = x2  x  3
……(1)
y=x2
……(2)
把 (2) 代入 (1)，可得 :
x2  2x  1 = 0
x  2 = x2  x  3
考慮 x2  2x  1 = 0 的判別式。
 = (2)2  4(1)(1) = 8 > 0
 x2  2x  1 = 0 有兩個相異實根。
 該聯立方程有兩個相異的實數解。


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總括來說，考慮以下的聯立方程 :
y = ax2 + bx + c
……(1)
y = mx + n
……(2)
把 (2) 代入 (1)，可得 :
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b  m)x + (c  n) = 0
ax2 + (b  m)x +
(c  n) = 0
的判別式
y = ax2 + bx + c
y = mx + n
的解的數目

>0

2 個相異
的實數解

=0

<0

1 個實數解 沒有實數解


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課堂研習
求以下聯立方程的解的數目。
y = x2  5x + 1
y=x3

……(1)
……(2)

把 (2) 代入 (1)，可得 :
x  3 = x2  5x + 1
x2  6x + 4 = 0
考慮 x2  6x + 4 = 0 的判別式。
 = (6)2  4(1)(4) = 20 > 0
 x2  6x + 4 = 0 有兩個相異實根。
 該聯立方程有兩個相異的實數解。