Transcript pps
Площади Геометрия 8 класс (к учебнику «Геометрия 7-9», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие) Остроухова Елена Геннадьевна, учитель математики ВКК, МОУ СОШ №54 с углубленным изучением предметов социально-гуманитарного цикла города Новосибирска Понятие площади многоугольника Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Единицы измерения площади За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков. S = 1 кв. ед. 1 1 1 дм2= 100 см2; 1м2 = 10 000 см2 1 см2 = 100 мм2; 1 м2 = 100 дм2 Измерение площади палеткой Площадь многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает сколько раз единица измерения площади и её части укладываются в данном многоугольнике. Палетка Многоугольник Единица измерения площади S фигуры = Число целых квадратов S фигуры = 10 1 + 2 1 + 2 число частей квадратов 16 ≈ 18 (кв. ед.) Свойства площадей = 1. Равные многоугольники имеют равные площади. Палетка a S1 S2 b b a Свойства площадей 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. S1 = S 2 S = S1+ S2 + S3 Палетка S1 S S2 S3 Свойства площадей 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Палетка S=9 a=3 S=a2 S1 = S 2 S = S1+ S2 + S3 Примеры решения задач (1) №1. На продолжении стороны DC параллелограмма ABCD за точку C отмечена точка M так, что DC=CM. Доказать, что SABCD=SAMD M B A Решение: K C D Дано: ABCD – параллелограмм MC = CD Доказать: SABCD = SAMD Обозначим точку пересечения отрезков AM и BC точкой K. Параллелограмм ABCD состоит из двух фигур: треугольника ABK и трапеции AKCD. Треугольник AMD состоит из двух фигур: треугольника KMC и трапеции AKCD. Значит, по свойству площадей SABCD=SABK+SAKCD SAMD=SKMC+SAKCD Рассмотрим ABK и KMC MC=CD (по условию) AB=CD (как противоположные стороны параллелограмма) Значит, MC=AB AB║DC, следовательно, ABK = KMC как накрест лежащие при секущей BC. BK=KC (по теореме Фалеса) Следовательно, ABK = MCK, следовательно, SABK=SMCK, следовательно, SABCD=SAMD Примеры решения задач (2) №2. Составить формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на чертеже d t a f b с f №3. На продолжении стороны квадрата AD квадрата ABCD за вершину A взята точка M, MC=20 дм, CMD=300. Найти площадь квадрата. Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. b a a a S b Дано: S b a, b – стороны прямоугольника Доказать: S = ab Доказательство: Sкв = (a + b)2 Sкв = S1 + 2S + S2 b a S1 = b2, S2 = a2 (a + b)2 = b2 + 2S + a2 a2 + 2ab + b2 = b2 + 2S + a2 S = ab Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. C B M A K D S = CD·BM AD·BK Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. C B S1 h A K S S43 a D S2 M S – площадь параллелограмма ABCD S1 – площадь треугольника ABK S2 – площадь треугольника DCM S3 – площадь прямоугольника KBCM S4 – площадь трапеции ABCM S = a·h Доказать: S = AD·BK Доказательство: BK = CM (почему?) ABCM - трапеция (почему?) S4 = S1 + S3 или по свойству площадей S4 = S + S2 S1 + S3 = S + S2 Докажите, что S1 = S2 S3 = S S3 = BC·BK Значит, и S = BC·BK Но BC = AD Поэтому S = AD·BK Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, к ней проведенную. 1 S b ac h 2 Доказательство: B c A h bH D a C 1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC. 2. Докажите, что ΔABC = ΔBDC 3. Что можно сказать о площадях этих треугольников? 4. Чему равна площадь параллелограмма ABDC? 5. Сравните площади параллелограмма ABDC и треугольника ABC. 6. S 1 1 SABDC AC BH 2 2 S 1 a h, где AD a, BH h 2 Частные случаи площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника B a A b C BC - высота ΔABC SABC 1 AС BС 2 AC и BC – катеты прямоугольного треугольника ΔABC, AC = b, BC = a значит, SABC 1 a b 2 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Частные случаи площади треугольника Площади треугольников с одинаковой высотой 1 h a 2 3 h 4 h b c h d Треугольники, изображенные выше имеют одинаковую высоту h и разные основания. Площади каждого треугольника равны: 1 1 1 1 S4 S3 с h d h S1 a h S2 b h 2 2 2 2 Найдите отношение площадей: 1 a h S1 a S1 a S2 b S1 a2 S3 c S4 d S3 c S2 b1 b h 2 Сделайте вывод: Отношение площадей треугольников, имеющих равную высоту равно … отношению их оснований. Частные случаи площади треугольника Если треугольники имеют равные углы, то их площади относятся, как произведения сторон, содержащих эти углы. B1 B K A S M C A1 1. Наложим треугольники, совместив равные углы. 2. Проведем отрезок BC1. Получили вспомогательный треугольник ABC1. S AB AC S1 A1B1 A1C1 S3. 1 У треугольников ABC . и A B C одна высота C K. 1 1 1 1 1 Следовательно, S AB ABC1 C1 SA1B1C1 A1B1 4. У треугольников ABC1. и ABC одна высота BM. Следовательно, S AC AC ABC SABC1 AC1 A1C1 5. Найдем произведение этих отношений площадей: SABC1 SABC AB AC SA1B1C1 SABC1 A1B1 A1C1 SABC AB AC SA1B1C1 A1B1 A1C1 Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. B b C M h A H AD BC S BH 2 a b S h 2 Доказательство: a D 1. Проведем диагональ трапеции BD. 2. По свойству площадей площадь трапеции равна … S = SΔABD + SΔBCD 3. Проведем ещё одну высоту DM к основанию BC. Равны ли BH и DM? Почему? 1 1 S S AD BH BC DM 4. ABD BCD 2 2 1 1 1 1 S AD BH BC DM AD BH BC BH 2 2 2 2 1 AD BC BH S AD BC BH 2 2