Transcript Метод-площадей

 Теория
 Задачи
Метод площадей. Теория.
Теорема 1.
h
S1
m
Если треугольники имеют общую
вершину и их основания лежат
на одной прямой, то площади
треугольников
пропорциональны длинам их
оснований :
S2
S1
n

m
S2
n
Доказательство:
S1
S2

0 ,5  m  h
0 ,5  n  h

m
n
Метод площадей. Теория.
Теорема 2.
S1
S 5  mx
S2
S 6  nx
S 3  my
S 4  ny
n
m
Доказательство:
S1
S2

S5  S3
S6  S4

mx  my
nx  ny
Если треугольники имеют
общую сторону, то их площади
пропорциональны длинам
отрезков, высекаемых
продолжением их общей
стороны на прямой,
соединяющей их вершины:
S1
m

S2
n

m (x  y)
n (x  y)

m
n
Метод площадей. Теория.
B
D
S1
A
H
S2
C
K
Доказательство:
S ABC  S ADC  BH  DK 
Прямая BD параллельна прямой АС.
Теорема 3.
Если основания
треугольников
совпадают, а вершины
лежат на прямой,
параллельной основанию,
то площади треугольников
– одинаковы.
(Обратная) Если площади
треугольников АВС и АВD
равны, то прямые АС и ВD
параллельны.
Метод площадей. Теория.
B
m
a
N
Теорема 4.
Если два треугольника
имеют общий угол, то их
площади относятся как
произведения сторон,
содержащих этот угол.
n
b
M
S ABC
C

S BMN
AB  BC
BN  BM
Доказательство:
A
S ABC
S BMN

0 ,5 ab sin B
0 ,5 mn sin B

ab
mn
Метод площадей. Теория.
a
Теорема 5.
Площади подобных
треугольников
относятся как квадрат
коэффициента
подобия.
b
S1
ka
S2
kb
Доказательство:
Углы треугольников равны, поэтому по
предыдущей теореме получаем
S1
S2

a b
ka  kb

1
k
2
B
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
x
В треугольнике АВС
проведены
медианы, М – точка их
пересечения. Найти
площадь треугольника
АВМ, если площадь
исходного треугольника
равна 9.
A1
M
2x M
A
B1
C
Решение:
1) S ABA 1 : S ACA 1  1 : 1  S ABA 1  0 ,5  9  4 ,5
2 ) S ABM : S BMA 1  2 x : x  2 : 1  S ABM 
2
3
 4 ,5  3
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
10
SS1 110
n
S4  ?
 15
15
SS 22 
m
S 3  24
Диагонали разделили
четырехугольник на
треугольники, площади
трех из которых равны 10,
15 и 24.
Найти площадь четвертого
треугольника.
Решение:
1 ) S 1 : S 2  10 : 15  2 : 3  n : m
2)S4 : S3  n : m  2 : 3  S4 
2
3
 24  16
В?
5
P
А
12
M
24
3x
2x
10
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
К
y
2y
6x
N 18
?
В треугольнике АВС проведены
чевианы, которые пересекаются
в одной точке и высекают на
стороне АВ отрезки 5 и 10, а на
стороне АС отрезки 12 и 18.
Найти длины отрезков,
высекаемых на стороне ВС, если
ее длина 24.
С
Решение:
1) S ABK : S BKC  AN : NC  12 : 18  2 : 3
2 ) S ACK : S BKC  AP : PB  10 : 5  2 : 1
3) y  3 x  2 y  6 x
4 ) BM : MC  S ABK : S AKC  2 x : 6 x  1 : 3
Ответ: ВМ=6, МС=18.
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
B
2x
4?y
O
z O
?
6y
В трапеции проведены обе
диагонали. Ее основания
относятся как 2:3. Площадь всей
трапеции равна 75. Найти площади ее
кусочков.
C
?6z y
Решение:
1) ΔАОD подобен ΔСОВ
с коэффициентом 2:3. Следовательно,
S BOSC : S AOD  4 : 9
9? y
9y
A
D
3x
3) Используем отношение площадей:
S ABO
S BOC
Тогда
z 
4 y  9 y  6 y.
2) Площади треугольников ABD и
ACD одинаковы, треугольник AOD –
их общая часть, поэтому площади
треугольников АОВ и СOD равны.

AO
OC

S AOD

S DOC
z

4y
Таким образом, 4 y  6 y  6 y  9 y  25 y  75
y  3  S ABO  S COD  6  3  18 ,
S ADO  9  3  27 , S CO В  4  3  12 .
9y
z
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
B
A
C
S  2
2a N
N
Р
P
S  2
2a
S ?
a
M
S  2
M
QQ
2a
2a
S  2
D
K
Площадь параллелограмма ABCD
равна 10. Найти площадь
четырехугольника MNPQ.
Решение:
1) Найдем площадь треугольника ВКС:
S BKC  0 ,5  S BDC  10 : 4  2 ,5 .
2) Найдем площадь треугольника BPL:
S BPC
S BKC

BР
BK

4
5
 S BPC  0 ,8  2 ,5  2 .
3) Аналогично, площади треугольников ABN, ADM и CQD равны 2.
4) Тогда
S MNPQ  10  4  2  2