Transcript открыть/скачать

§3. Параллелограмм.
Средняя линия
треугольника.
Задача 3 из диагностической работы
В выпуклом четырёхугольнике ABCD
отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, пересекаются
под углом 60°, а их длины относятся как 1:3.
Чему равна меньшая диагональ
четырёхугольника ABCD, если большая
равна 39?
Для решения задач этого
раздела нужно знать
• свойства и признаки параллелограмма,
• теорему о средней линии треугольника,
• теорему о медианах треугольника
(медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся ею в отношении
2:1, считая от вершины треугольника),
• Теорема. Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон.
• Теорема. Середины сторон любого
четырёхугольника являются вершинами
параллелограмма.
ПРИМЕР 1.
В выпуклом четырёхугольнике отрезки,
соединяющие середины противоположных
сторон, равны соответственно а и Ь и
пересекаются под углом 60°.
Найдите диагонали четырёхугольника.
Идея решения. По диагоналям параллелограмма
найти его стороны – это половины диагоналей
данного четырехугольника
ПРИМЕР 2.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина
отрезка, соединяющего середины сторон
АВ и CD, равна 1. Прямые ВС и AD
перпендикулярны. Найдите длину отрезка,
соединяющего середины
диагоналей АС и BD.
Стороны МР и MQ
соответственно параллельны
прямым ВС и AD => MP 𝐈 MQ
=> четырёхугольник MPNQ —
прямоугольник.
Диагонали прямоугольника
равны, поэтому PQ=MN=1.
Ответ: 1
Р
Оригинальный способ решения :
найти параллелограмм!!!
ПРИМЕР 3.
Вершины одного параллелограмма
лежат по одной на сторонах другого.
Докажите, что центры
параллелограммов совпадают.
Оригинальный способ решения :
найти параллелограмм!!!
7 подготовительных задач
3.1. Расстояние между серединами взаимно
перпендикулярных хорд АС и ВС некоторой
окружности равно 10. Найдите диаметр
окружности.
3.2. Диагональ параллелограмма делит его
угол на части в 30° и 45°. Найдите отношение
сторон параллелограмма.
3.3. Вершины М и N квадрата KLMN лежат на
гипотенузе АВ прямоугольного треугольника
ABC (N между В и М), а вершины К и L — на
катетах ВС и АС соответственно. Известно, что
AM = а и BN = Ь. Найдите площадь квадрата.
7 подготовительных задач
3.4. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое
больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В
пересекают прямую CD в точках М и N, причём
MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.
3.5. Найдите расстояние от центра ромба
до его стороны, если острый угол ромба
равен 30°, а сторона равна 4.
7 подготовительных задач
3.6. В четырёхугольнике ABCD известны углы:
∠DAB=90°, ∠ DBC= =90°.
Кроме того, DB = a, DC = b.
Найдите расстояние между центрами двух
окружностей, одна из которых
проходит через точки D, А, В,
а другая — через точки B,C,D.
3.7. На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD
взяты точки К и М так, что АКСМ — ромб.
Диагональ АС образует со стороной АВ угол 30°.
Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона
прямоугольника ABCD равна 3.