Transcript Параллелограмм

МОУ «Верхопенская средняя общеобразовательная школа
имени М. Р. Абросимова»
Проект по геометрии из раздела:
«Четырехугольники»
Параллелограмм
Работу выполнила:
Ученица 8-а класса
Рыскова Екатерина
Учитель – Гончаров О. Н.
Виды четырехугольников
Четырехугольник:
• Произвольный
• Трапеция
параллелограмм
трапеция
• Параллелограмм
прямоугольник
ромб
произвольный
прямоугольник или ромб
квадрат
квадрат
Параллелограмм
• Определение.
Параллелограммом называется четырёхугольник,
у которого противолежащие стороны
параллельны.
Признак параллелограмма
• Теорема.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник –
параллелограмм.
Признак параллелограмма
Доказательство.
Пусть АВСВ – данный четырёхугольник и
О – точка пересечения его диагоналей.
Треугольники АОD и СОВ равны. У них
углы при вершине О равны как
вертикальные, а ОD = ОВ и ОА = ОС по
условию теоремы.
Значит, углы ОВС и ОDА равны, а они являются внутренними накрест лежащими
для прямых АD и ВС и секущей ВD. По признаку параллельности прямых прямые
АD и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СD с
помощью равенства треугольников АОВ и СОD.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по
определению этот четырехугольник - параллелограмм.
Теорема доказана.
Свойства диагоналей параллелограмма
• Теорема.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Свойства диагоналей параллелограмма
Доказательство.
Пусть АВСD – данный параллелограмм.
Проведём его диагональ ВD. Отметим на
ней середину О и на продолжении отрезка
АО Отложим отрезок ОС1 равный АО.
По
теореме
параллельности
четырёхугольника четырехугольник АВС1D
есть
параллелограмм.
Следовательно,
прямая ВС1 параллельна АD. Но через
точку В можно провести только одну
прямую, параллельную АD. Значит, прямая
ВС1 совпадает с прямой ВС.
Аналогично доказывается, что прямая DС1 совпадает с прямой DС. Значит, точка С1
совпадает с точкой С.
Параллелограмм АВСD совпадает с параллелограммом АВС1D. Поэтому его
диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Теорема доказана.
Свойство отрезков прямой, проходящей через точку
пересечения диагоналей параллелограмма
• Теорема.
Отрезок прямой, проходящий через точку пересечения
диагоналей параллелограмма, заключенный между
параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
Свойство отрезков прямой, проходящей через точку
пересечения диагоналей параллелограмма
Доказательство.
Пусть АВСD – данный параллелограмм
и EF – прямая, пересекающая
параллельные стороны АD и ВС.
Треугольники ВОЕ и FОD равны по
второму признаку. У них ВО и ОD
равны, так как О – середина диагонали
АС.
Углы при вершине И равны как
вертикальные, а углы ВОЕ и FОD
равны как внутренние накрест
лежащие при параллельных АD, ВС и
секущей ВD.
Из равенства треугольников следует
равенство сторон ОЕ и ОF. Теореме
доказана.
Свойство противолежащих сторон
и углов параллелограмма
• Теорема. У параллелограмма
противолежащие стороны равны,
противолежащие углы равны.
Свойство противолежащих сторон
и углов параллелограмма
• Доказательство
Пусть АВСD – данный
параллелограмм. Проведём
диагонали параллелограмма. Пусть О
– точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон АВ
и СD следует из равенства
треугольников АОВ и СОD. У них углы
при вершине О равны как
вертикальные, а ОА = ОС и ОВ = ОD
по свойству диагоналей
параллелограмма.
Точно так же из равенства
треугольников АОD и СОВ следует
равенство другой пары
противолежащих сторон - АD и ВС.
Теорема доказана.
Свойство противолежащих сторон
и углов параллелограмма
Теорема. У параллелограмма
противолежащие стороны равны,
противолежащие углы равны.
Свойство противолежащих сторон
и углов параллелограмма
Доказательство
Пусть АВСD – данный
параллелограмм. Проведём
диагонали параллелограмма. Пусть О
– точка их пересечения.
Равенство противолежащих углов АВС
и СDА следует из равенства
треугольников АВС и СDА (по трём
сторонам). У них АВ = СD и ВС = DА
по доказанному, а сторона АС общая.
Точно так же равенство
противолежащих углов ВСD и DАВ.
Теорема доказана.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ