Transcript 2. Trunchiul de con

TRUNCHIUL
DE CON
CIRCULAR DREPT
A. Secţiune paralelă cu baza într-un con
B. Trunchiul de con
• Definiţie
• Trunchiul de con – corp de rotaţie!
• Elemente
• Observaţii
• Desfăşurare
A. Secţiune paralelă cu baza
într-un con
B. Trunchiul de con
1. Definiţie
DEFINIŢIE :Corpul
geometric obţinut prin secţionarea unui
con cu un plan paralel cu baza şi îndepărtarea conului mic
rezultat se numeşte trunchi de con.
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
2.1.Se roteşte trapezul isoscel în jurul axei sale de simetrie....
Trapez
isoscel
a
x
ă
d
e
s
i
m
e
t
r
i
e
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
•
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
2.2.Se roteşte trapezul dreptunghic în jurul laturii perpendiculare
pe baze....
latura
perpendiculară
pe baze
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
....
2. Trunchiul de con – corp de rotaţie!
•
Reţineţi!
Trunchiul de con circular drept
este un corp de rotaţie!
axă de rotaţie
Aşadar,
axa de simetrie
a trapezului isoscel,
respectiv latura
perpendiculară pe baze
a trapezului dreptunghic
sunt axe de rotaţie
pentru trunchiul de con.
3. Elemente
3. Elemente
A'
O'
B'
raza
bazei mici
generatoare
înălţime
A
O
B
raza
bazei mari
3. Elemente
Notaţi!
a) Baza mare: D(O,R);
b) Baza mică: D(O',r);
b) Suprafaţă laterală;
c) Generatoare (G);
d) Înălţime (I): distanţa
dintre baze;
e) Axa trunchiului
de con: OO'.
A
A'
O'
O
B'
B
4. Observaţii
A'
O'
B'
O'
A
O
B
O
O1: G2=(R-r)2+I2
B'
B
4. Observaţii
4. Observaţii
O2: Secţiunea axială a unui
trunchi de con circular drept
este un trapez isoscel.
axă de rotaţie
5. Desfăşurare
A'
A
Notaţi!
Prin desfăşurarea trunchiului de con în plan
se obţin:
-o coroană circulară
(desfăşurarea suprafeţei laterale);
- discul D(O,R) (baza mare);
- discul D(O',r) (baza mică).
O'
A'
Obs. l AA =lC (O,R)=2πR; l A'A' =lC(O', r)=2πr; AA'=G.
A'
A
A'
A
O
A
6. Aria laterală(Al ), aria totală (At) şi volumul (V )
Al = πRG'-πrg (1)
V
Avem ΔVO'A'~ΔVOA 
A'
O'
Deci
B'
g
G
r


R
g
Gg

 g(R  r)  Gr  g 
 gR  Gr  gr 
R
Gr
R r
 G 
GR
R r
(3)
Înlocuind relaţiile (3) în relaţia (1) obţinem:
O
A
r
g h r
  (2)
G H R
B
A
l
 πR
GR
R r
 πr
Gr
R r
Al = πG(R+r)
πG(R  r )
2

Rr
2
 πG(R  r)
6. Aria laterală(Al ), aria totală (At) şi volumul (V )
Analogie!
Trunchi de con
circular drept
Trunchi de piramidă
regulată
A'
A
O'
B'
O
At=Al+AB+Ab
At=Al+AB+Ab
At=πG(R+r)+πR2+πr2
B
6. Aria laterală(Al ), aria totală (At) şi volumul (V )
Analogie!
Trunchi de con
circular drept
Trunchi de piramidă
regulată
A'
A
O'
B'
O
B
V  I ( AB  Ab  AB  Ab )
3
V  I ( AB  Ab  AB  Ab )
3
AB  πR2 , Ab  πr 2
V  πI (R 2  r 2  Rr)
3
7. PROBLEME
Problema 1. Aflaţi aria latereală şi volumul unui
trunchi de con circular drept ştiind că are raza
bazei mari de 10 cm, raza bazei mici de 4 cm, iar
aria secţiunii axiale de 112 cm2.
Problema 2. Un trapez dreptunghic cu bazele de
6 cm şi 2 cm, iar înălţimea de 3 cm, se roteşte în
jurul laturii perpendiculare pe baze. Aflaţi aria
totală şi volumul corpului obţinut.
SAM PĂUNEŞTI, VRANCEA
PROF. SEVERIN CRISTINEL