Transcript Profil: kreativ matematik

Profil: kreativ matematik
på Grundskolan Metapontum
Inledning
Att Grundskolan Metapontum hyser stora talanger på musikens område är
välbekant för alla. Genom musikprofilen har flera begåvade elever bland annat
deltagit i extern konsertverksamhet. Genom skolans matematikprofil, som
startade höstterminen 2011, kan på motsvarande sätt elever med särskilt
intresse eller särskild fallenhet för matematik stimuleras och utvecklas inom
området. Vi hoppas att med denna text ge vårdnadshavare och elever en tydlig
bild av vad som pågår inom skolans väggar på matematikens område.
Organisation
Grundskolan Metapontum och Gymnasieskolan Metapontum är inhysta i
samma byggnad. Flera lärare delar sin tid mellan gymnasiet och grundskolan.
Den avancerade matematikundervisning som gymnasiet drivit sedan starten
2006 (med bland annat linjär algebra och tvåvariabelanalys på schemat) har
bidragit till en studiekultur där problemlösning och avancerade matematiska
resonemang är ett naturligt inslag. Detta kommer på olika sätt även
grundskolan till del, bland annat genom att lärarna kan välja ut roliga och
intressanta lektioner av lättfattligare slag för sina högstadieelever efter att ha
testat stoffet på gymnasienivå.
Högstadiets elever har även möjlighet att "nosa på" gymnasiets
programmeringsverksamhet och därmed bekanta sig med verktyg för att
konkretisera matematiska begrepp. Fyrfärgsproblemet, tornen i Hanoi och
primtalsletning är exempel på stoff som presenterats för högstadiet efter att
framgångsrikt ha använts på gymnasiet.
Omfattning
Skolans matematikprofil innebär för närvarande två typer av verksamhet. Dels
förekommer sådana aktiviteter som omfattar alla skolans elever, antingen i den
ordinarie undervisningen eller på speciella matematiktemadagar. Dels bedrivs
utökad och breddad undervisning för de elever som gjort ett aktivt val att
förkovra sig inom matematik (60-80 min/v inom profilval). Metapontums
spetsutbildning i matematik är en del av denna verksamhet och omfattar fem
heltimmar (300 min.) per vecka i lärarledda lektioner.
Spetsutbildning i matematik
Grundskolan Metapontum har, som en av fem skolor i landet, av Skolverket
beviljats att med start läsåret 2012/2013 bedriva försöksverksamhet med en
riksrekryterande spetsutbildning i matematik inom grundskolans högre årskurser.
Eleverna i spetsklassen läser högstadiets matematik i en snabbare takt och
2
arbetar allt mer på gymnasienivå. Kunskapsmål för gymnasiets inledande
matematikkurser har integrerats i utbildningen för att utvidga elevernas program
och kontinuerligt anpassa uppgifternas utformning och svårighetsgrad.
Utbildningen arrangeras i samverkan med naturvetenskapsprogrammet på
Gymnasieskolan Metapontum som under flera år framgångsrikt har utvecklat sina
inriktningar inom matematik och programmering.
Spetsutbildningen ger inte bara breddning och fördjupning inom matematik utan
även berör ämnesområden och perspektiv som sällan förekommer i den vanliga
högstadieundervisningen, med bl.a. symbolisk logik, matematikens kulturhistoriska
förankring och filosofi. Detta för att ge eleverna en god allmänbildning inom ämnet
och ett försprång inför fortsatta studier.
Antagning till år 7 får göras under tre läsår inom försöksverksamheten. Antagning
av elever till spetsutbildningen sker genom speciella antagningsprov, enligt de
villkor som Skolverket uppställt för verksamheten. För mer information hänvisas till
vår presentationstext för spetsutbildningen, tillgänglig på skolans hemsida.
Läs även http://www.skolverket.se/skolformer/grundskoleutbildning/spetsutbildning
Innehåll i korthet
Elever som väljer matematik som profil får en fördjupad kunskap om
matematikens roll och tillämpningar, introduceras för viktiga matematiska
begrepp som traditionellt inte ingår i grundskolans kurs, samt får tillfälle att
tillämpa sina kunskaper i mer utmanande sammanhang.
Lågstadiet
Matematikprofilen på lågstadiet syftar till utveckling av elevens logiska
tänkande, kreativitet, minne samt koncentrationsförmågor genom användning
av laborativt material och utvecklande lekar och spel (däribland schack).
Mellanstadiet
Matematikprofilen på mellanstadiet ägnar sig åt problemlösning, och tar upp
statistik, geometri, och introducerar matematikprogram och datorkunskap. Som
projektarbete skapar eleverna bl.a. en karta för en skattjakt i ”Metapontums
äventyr”. Eleverna deltar i Kängurutävlingen (en nationell matematiktävling).
Högstadiet
I matematikprofilen på högstadiet får eleven möjlighet att delta i olika
matematiska tävlingar, t.ex. Kängurutävlingen och KTH:s matematiska
promenader. Ur det övriga innehållet:
• Fördjupning av matematiska begrepp som t.ex. talmängder, oändlighet,
bevis och primtal
• Nationella prov: träning med användning av äldre prov
• Matematiska modeller & grunderna i datorprogrammering
• Privatekonomi: bankpersonal föreläser om hur man bör hantera sin
privatekonomi
3
Vårdnadshavares synpunkter
Vi som planerar och driver verksamheten inom matematikprofilen välkomnar
vårdnadshavarnas kritik, synpunkter, förslag, idéer och visioner. Vår ambition är
att matematikprofilen kontinuerligt ska utvecklas och förbättras; vi vet av
erfarenhet att vårdnadshavarna ofta har mycket att säga om just
matematikundervisningen, där mätbara resultat kommer tidigt i skolgången.
Pedagogik
De av oss lärare som arbetar med matematik inom både grundskola och
gymnasium, ser hur elever som har utvecklat en god förståelse för
grundläggande matematiska begrepp och metoder har det betydligt lättare på
gymnasiet, än sådana elever som måste ägna mycket tid åt att komma ikapp på
grund av brister i förståelse.
Matematikprofilens två pelare är förståelse och träning. Med förståelse menar vi
bland annat att eleven utvecklar en korrekt bild av de behandlade matematiska
begreppen. Låt oss ta ett exempel från geometrin. I lägre årskurser bekantar sig
eleven med konkreta ytor och kroppar i form av papperstrianglar och klossar. I
senare årskurser erhåller eleven betraktelsesättet att trianglar, fyrkanter och
cirklar kan betraktas som mängder av punkter med vissa rumsliga relationer till
varandra, vilket är en abstrakt definition.
Dock kommer eleven sällan långt i sin förståelse om inte räknefärdigheterna
finns. Det är här som träningen kommer in. Vissa pedagoger hävdar att dagens
elever inte har användning för multiplikationstabellen, eftersom det finns
miniräknare. På denna punkt, och på andra liknande, har vi på Metapontum en
helt annan åsikt. Att eleven behärskar de fyra räknesätten är grundläggande,
om inte i teorin så i praktiken.
Vi tror således att elevens matematiska förmåga utvecklas effektivast genom
en ständig växelverkan mellan räknefärdighet och teoretisk förståelse.
Lektionsexempel
Här beskrivs en lektion som hölls för högstadieelever på hösten 2011. Den är
ett bra exempel på hur vi försöker lägga upp undervisningen; idealt sett
kombinerar en lektion följande för elevens vidkommande:
• träning i matematiskt tänkande
• möjliggörande av matematiska insikter
• en utvidgning av elevens uppfattning om vad matematik är
Lektionen inleddes med en beskrivning av ett berömt matematiskt problem,
nämligen det så kallade fyrfärgsproblemet. Detta problem är, trots att det kräver
4
avancerad matematik för att lösa, tacksamt att använda i undervisningen på
högstadiet eftersom frågeställningen är så lätt att greppa. Problemet
presenterades etappvis för eleverna.
I ett första steg ombads eleverna att rita en karta bestående av minst tre länder,
sådan att det behövs minst tre färger för att färglägga den (två angränsande
länder får inte målas med samma färg). Eftersom problemet är så konkret,
brukar nästan alla elever snabbt lyckas med uppgiften efter inledande
osäkerhet om vad man ska göra och vilka regler som gäller för färgläggningen.
I nästa steg gavs eleverna en svårare uppgift: att rita en karta som kräver fyra
färger för att färglägga. Flera elever ritade nu kartor som de trodde uppfyllde
villkoren, tills läraren, en bänkkamrat eller de själva visade hur tre färger räckte
till. De diskussioner som fördes i klassrummet under uppgiftslösandets gång var
livliga och engagerade, med uttryck som "Å just det", "du ser väl att..." och
liknande. Ett antal elever löste å andra sidan uppgiften nästan omedelbart.
I steg tre fick eleverna uppgiften att rita en karta som krävde fem färger för att
färglägga. Flera elever uppvisade nu stor kreativitet. Läraren, som visste att
elevernas ansträngningar var dömda att misslyckas (det räcker alltid med fyra
färger), höll masken och granskade noga varje föreslagen karta. Hela klassen
uppmuntrades att delta i granskningen av särdeles krångliga elevkartor, där det
inte var helt trivialt att visa att det räcker med fyra färger. Under dessa
diskussioner introducerades eleverna för angreppssättet att dela upp ett
komplext problem i olika fall, som behandlas separat
I steg fyra formulerades fyrfärgsproblemet: "visa att det alltid räcker med fyra
färger!" Eleverna var nu tillräckligt preparerade för att utan vidare förstå
problemet. En kort historisk bakgrund gavs. Lektionen utmynnade i en skildring
av på vilket sätt problemet löstes 1976 och de filosofiska diskussionerna kring
beviset vid tiden för publiceringen.
Det är värt att framhålla att eleverna under denna lektion aldrig vid något tillfälle
behövde addera, multiplicera, lösa en ekvation eller liknande. Någon elev
uttryckte tanken att "det här är ju inte matte." På så vis uppnåddes ett av
matematikprofilens syften: att få eleverna att komma ifrån uppfattningen att
matematik handlar om ett mekaniskt applicerande av räkneregler med hjälp av
miniräknare och papper och penna. Under lektionens gång uppmuntrades
eleverna i stället att tänka logiskt, dra tvingande slutsatser och dela upp i olika
fall, det vill säga ägna sig åt matematik på riktigt.
5
Pedagogiska hjälpmedel & datorer i undervisningen
Till matematikprofilens förfogande står ett stort antal pedagogiska hjälpmedel i
form av volymmått, areamått, olika mattespel och dylikt. Vi har funnit att det är
värdefullt att även för högre åldrar ha tillgång till dylika hjälpmedel i
undervisningen, exempelvis för att snabbt kunna illustrera ett resonemang för
eleven. Elever som behöver befästa mellanstadiets matematik kan erbjudas
möjlighet att i lugn och ro sysselsätta sig med en lämplig uppsättning
hjälpmedel.
Inom ramen för matematikprofilen erbjudits lektioner i datorprogrammering för
de elever som anmält särskilt intresse. En och en, eller i grupp, har eleverna
genomfört successivt allt mer avancerade programmeringsuppgifter på
nybörjarnivå. Genom programmeringen tränas eleverna i logiskt tänkande vilket
gynnar dem i den ordinarie matematikundervisningen.
Undervisande lärare
Nikolaj Marquez von Hage har en examen i teknisk fysik, med inriktning
diskret matematik och datalogi. Han har därmed en gedigen matematisk
bakgrund. Nikolaj undervisar både på gymnasiet och i spetsmatte. Hans ämnen
är bland annat programmering, linjär algebra och analys. Nikolaj fungerar som
samordnare och formellt ansvarig för matematikprofilens utformning.
Natalia Khaplanova har en examen från Moskvas statliga universitet
(fysiklinjen) och en examen från lärarhögskolan i Stockholm. Natalia är behörig
gymnasielärare i matematik och fysik. Inom matematikprofilen ansvarar hon för
en egen spetsmatteklass och undervisar profilelever i årskurs 9.
Tatyana Magnusson är uppväxt i Samarkand och har, förutom sju års
pianostudier, både en svensk och en utländsk lärarexamen i ämnet. Hon har
undervisat grundskoleelever i matematik sedan 1993. Hon ansvarar för vår
profilundervisning i matematik i de lägre årskurserna men undervisar i åk 1-9.
Kontakt
Nyheter presenteras fortlöpande på SchoolSoft. Om du som vårdnadshavare
eller elev har frågor om eller synpunkter på matematikprofilen, är du mycket
välkommen att e-posta till:
[email protected]
De enskilda matematiklärarna kan förstås nås med hjälp av kontaktuppgifter på
SchoolSoft.
6
Undervisningsstoff
Av nedanstående tabell framgår dels ordinarie stoff för ämnet matematik i
grundskolan, dels (kursiverat) sådant stoff som ingår matematikprofilens
laborativa och teoretiska fördjupning och breddning på Metapontum.
Innehåll
Taluppfattning
och tals
användning
Matematik i åk 1-3
Naturliga tal och deras
egenskaper för att ange
antal och ordning.
Matematik i naturen.
Symboler för tal och
symbolernas utveckling i
några olika kulturer genom
historien.
Matte med knopp och kropp.
Hur en abakus används.
Del av helhet och del av
antal. Enkla bråk som
uttryck och begrepp.
Visualiseringar av mängd
och andel. Tid.
De fyra räknesättens
egenskaper och deras
inbördes samband.
Laborationer: två- och
tredimensionella.
Hastighetsräkning. Olika
räknetekniker.
Memoreringsteknik för
multiplikation och division.
Rimlighetsbedömning vid
enkla beräkningar och
uppskattningar.
Huvudräkning.
Överslagsräkning.
Algebra
Matematiska likheter och
likhetstecken.
Granntal och väntal.
Introdukion av negativa tal.
Talföljder och enkla
mönster.
Mönster i naturen;
upprepning/avvikelse.
Kreativa mönster.
Visualisering av obekanta
tal.
Geometri
Matematik i åk 4-6
Rationella tal och deras
egenskaper.
Behov av rationella tal i
vardagliga situationer,
samhällsliv och i matematik.
Positionssystemet för tal i
decimalform.
Det binära talsystemet och
andra talsystem som
använts genom historien.
Tal i bråk- och decimalform.
Tal i procentform.
Potensform.
Tillämpningar av bråkdecimal- och potensform.
Metoder för beräkningar
med naturliga tal och enkla
tal i decimalform vid
överslagsräkning,
huvudräkning samt vid
beräkningar av skriftliga
metoder och miniräknare.
Metodernas användning i
olika situationer.
Memoreringsteknik och
alternativa räknemetoder.
Rimlighetsbedömning vid
enkla beräkningar och
uppskattningar i vardagliga
situationer.
Visualiseringar och
elevernas egna metoder för
dito.
Övningar i negativa tal.
Laborationer med noll som
utgångspunkt.
Hur mönster och talföljder
kan konstrueras och
beskrivas.
Kodning (kryptografi) och
Morsealfabetet i grafisk form
(som ljud/röksignal och
kroppslig signalering).
Obekanta tal som symboler.
Metoder för enkel
ekvationslösning.
Ekvationer med negativa tal.
Punkt, linje och sträcka.
Triangel, fyrhörning och
cirkel.
Kon, rätblock, klot och
cylinder.
Oändlighet.
Geometriska objekt och
deras inbördes relationer.
Polygoner och pyramider.
Grekiska räkneord som
prefix i beskrivning av
figurer.
Symbolanvändning inom
geometri: lite kulturhistoria.
Skala.
Laborationer: två- och
Skalans användning i
vardagliga situationer.
Matematik i åk 7-9
Reella tal och deras
egenskaper samt deras
användning i vardagliga och
matematiska situationer.
Primtal och delbarhet.
Talsystemets utveckling från
naturliga tal till reella tal.
Metoder för beräkningar
som använts i olika
historiska och kulturella
sammanhang.
Potensform för att uttrycka
små och stora tal samt
användning av prefix.
Rotform.
Från pico och nano till giga
och tera.
Metoder för beräkningar
med tal i bråk- och
decimalform vid
överslagsräkning,
huvudräkning samt vid
beräkningar med skriftliga
metoder och digital teknik.
Metodernas användning i
olika situationer.
Memoreringsteknik för
avancerade tillämpningar.
Rimlighetsbedömning vid
uppskattningar och
beräkningar i vardagliga och
matematiska situationer.
PRAO på banken.
Säkerhet i den digitala
världen (den mänskliga
faktorn).
Generalisering av
aritmetikens räknelagar till
att hantera algebraiska
uttryck.
Innebörden av
variabelbegreppet och dess
användning i algebraiska
uttryck, formler och
ekvationer.
Kryptografi – egna koder.
Enigma. Begreppet algoritm.
Metoder för
ekvationslösning.
Linjära ekvationer och
olikheter samt
potensekvationer.
Geometriska objekt och
deras inbördes relationer.
Geometriska egenskaper
hos dessa objekt.
”Klumpar” – går de att
beskriva matematiskt?
Omvandling av
tredimensionella former till
plana figurer.
Avbildning och konstruktion
av geometriska objekt. Skala
7
tredimensionella.
Relativ objektbeskrivning i
matematik.
Skala i litteraturen (t.ex. i
Gullivers resor). Proportion.
Lägesord. Föremål/objekt i
rummet.
Symmetri som begrepp.
Kristaller.
Symmetri och hur den kan
konstrueras.
Skönhet som begrepp.
Symmetri i kroppen, konsten
och arkitekturen.
Jämförelse och mätning av
längd, area, volym, massa,
vinkel och metoder för
dessa.
Måttenheter då och nu.
Introduktion till navigation.
Yta och area.
Sfär.
Visualiseringar av begreppet
modul.
Laborationer med
tredimensionella objekt i
tvådimensionell form.
Längd, massa och volym.
Matematik i naturen.
Laborationer med
matematiska storheter och
deras samband.
Naturvetenskapliga
experiment (fysik).
Sannolikhet
och statistik
Samband och
förändring
Slumpmässiga händelser.
Observationer med
slumpmässiga händelser i
experiment och spel.
Sannolikhet, chans och risk
grundad på observationer,
experiment eller
observationer. Enkel
kombinatorik.
Övningar i att upptäcka och
kvantifiera slumpmässiga
händelser.
Begreppet kombinatorik.
Enklare metoder för
sortering av data.
Kreativa diagram för att
beskriva och tolka egna
statistiska resultat.
Tabeller och diagram för
beskrivning av data i
undersökning.
Medelvärde, typvärde och
median som statistiska
begrepp.
Tillämpning av dessa inom
biologi och klimatforskning.
Dubbelt och hälften.
Proportionella samband
utifrån enkla
vardagssituationer.
Begreppen mer och mindre
utifrån vardagliga
fördelningsprinciper.
Proportionalitet och procent
och deras samband.
Fördjupning av
procentbegreppet: promille,
ppm.
Samband mellan tid och
sträcka.
Grafisk framställning av
förlopp på tidsaxel.
Koordinatsystem och
strategier för gradering av
koordinataxlar.
Grafer som uttrycker dessa
samband.
Tillämpning av dessa inom
biologi och klimatforskning.
Tillämpning av samband och
förändring inom livskunskap
utifrån elevernas egna
observationer.
Samband och förändring i
situationer som berör en
elev.
Problem-
Metoder för hur omkrets och
area hos olika
tvådimensionella
geometriska figurer kan
bestämmas och uppskattas.
Beräkningar av omkrets och
area för andra geometriska
figurer.
Strategier för matematisk
Strategier för matematisk
vid förminskning och
förstoring av två- och
tredimensionella objekt.
Kartografi. Industridesign.
Likformighet och symmetri i
planet.
Fraktaler.
Andra symmetriska mönster
(två- och tredimensionella).
Metoder för beräkning av
area, omkrets och volym hos
geometriska objekt, samt
enhetsbyten i samband med
detta.
Kongruens och vinklar.
Sjönavigering och GPS.
Geometriska satser och
formler och behovet av
argumentation för deras
giltighet.
Illustration av begreppen
definition, sats och bevis, till
exempel med Pythagoras
sats och triangelns
vinkelsumma.
Matematisk argumentation
inom naturvetenskapliga
ämnen.
Likformig sannolikhet och
metoder för att beräkna
sannolikheten i vardagliga
situationer.
Hur kombinatoriska
principer kan användas i
vardagliga och matematiska
problem.
Sannolikhetsrum. Inklusion
och exklusion.
Tabeller, diagram och grafer
samt hur de kan tolkas och
användas för att beskriva
resultat av egna och andras
undersökningar, till exempel
med hjälp av digitala
verktyg. Bedömningar av
risker och chanser i
statistiskt material.
Procent för att uttrycka
förändring och
förändringsfaktor samt
beräkningar med procent i
vardagliga situationer och i
situationer inom olika
ämnesområden.
Begreppen
förändringsfaktor och index
samt metoder för beräkning
av räntor och amorteringar
för olika typer av lån.
Funktioner och räta linjens
ekvation. Hur funktioner kan
användas för att undersöka
förändring, förändringstakt
och andra samband.
Egenskaper hos
andragradsfunktioner.
Representationer av
funktioner i form av ord,
funktionsuttryck, tabeller
och grafer.
Skillnader mellan
begreppen ekvation, olikhet,
algebraiskt uttryck och
funktion.
Strategier för
8
lösning
problemlösning i enkla
situationer.
Övningar i att definiera
problem i en frågeställning.
Tillämpningar av
matematiska lösningar i
vardagliga situationer.
Utforskning av omvärlden på
jakt efter matematiska
frågeställningar (med inslag
av rollspel).
Introduktion till schackspel.
problemlösning inklusive
användning av digitala
medier och verktyg.
Matematiska problem med
anknytning till matematikens
kulturhistoria.
Matematikens relevans för
beskrivning av omvärlden.
Matematiska paradoxer och
behov av matematisk
argumentation – i
gruppövningar och rollspel.
Schack på schemat.
Medverkan i schackfyran.
Projektarbete: Metapontums
äventyr
Medverkan i
Kängurutävlingen
problemlösning i vardagliga
situationer och inom olika
ämnesområden samt
värdering av valda
strategier och metoder.
Matematisk formulering av
frågeställningar utifrån
vardagliga situationer och
olika ämnesområden.
Övningar i bevisföring med
hjälp av enklare satslogik
inklusive begreppen
negation, konjunktion,
disjunktion, implikation och
ekvivalens.
Grunderna i
datorprogrammering
Privatekonomi
9