Transcript 公共経済学（前期）

＜公共経済学（前期）の各章のフローチャート＞
＜市場メカニズムの機能＞
1章
2章
＜公共財と政治プロセス＞
3章
4章
5章
6章
7章
＜費用便益分析＞
8章
9章
10章
11章
12章
1
8．消費者余剰と等価変分・補償変分
状態変化の個人的評価
7章 無差別曲線
序数的
以前 効用関数
状態変化の社会的評価
パレート基準
全員一致
8章
以降
2
8．消費者余剰と等価変分・補償変分
状態変化の個人的評価
7章 無差別曲線
序数的
以前 効用関数
補償変分
基数的
等価変分
8章 消費者余剰の増分
以降
状態変化の社会的評価
パレート基準
全員一致
3
8．消費者余剰と等価変分・補償変分
状態変化の個人的評価
7章 無差別曲線
序数的
以前 効用関数
補償変分
基数的
等価変分
8章 消費者余剰の増分
以降
所得の増分
状態変化の社会的評価
パレート基準
全員一致
潜在的パレート改善
（仮説的）補償原理
集計的消費者余剰の増分
4
8．消費者余剰と等価変分・補償変分
状態変化の個人的評価
7章 無差別曲線
序数的
以前 効用関数
補償変分
基数的
等価変分
8章 消費者余剰の増分
以降
所得の増分
生産者余剰の増分
状態変化の社会的評価
パレート基準
全員一致
潜在的パレート改善
（仮説的）補償原理
集計的消費者余剰の増分
集計的生産者余剰の増分
5
8.1 支出最小化問題と補償需要関数
8.2 補償変分と等価変分
8.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
8.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
8.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
6
8.1 支出最小化問題と補償需要関数
p ＝財 x の価格
財 y の価格＝１
E ＝支出額（expenditure）
E  px  y ：支出額
(8-1)
I ：無差別曲線
7
＜支出最小化問題＞
無差別曲線 I 上の消費量の組 ( x , y ) のなかで支出額 E  px  y を
*
*
最小にする消費量の組 ( x , y ) を求める問題である。
*
x ＝財 x の補償需要量
*
y ＝財 y の補償需要量
Compensated Demand Function
x  x d ( p , I ) ：財 x の補償需要関数
(8-2）
y  y d ( p , I ) ：財 y の補償需要関数
(8-3）
*
*
C
C
E ( p , I ) ＝支出最小化問題で求められる支出額
E ( p , I )  p  x d ( p , I )  y d ( p , I ) ：補償所得
C
C
Compensating Income
(8-4)
8
（問題 8-1）
下の図に等支出線を描き加えることで、
*
*
I と p が与えられてもとでの x , y と
E ( p , I ) を図示しなさい。
9
y
E ( p , I )  px  y
*
 p  xd ( p, I )  yd ( p, I )
C
E ( p, I )
y
*
C
*
C
y d ( p, I )
I
p
*
x  x dC ( p , I )
x
10
8.2 補償変分と等価変分
所得を m とすれば予算制約式は
(8-5)
px  y  m
である。
状態1と状態2における所得は
簡単化のため同一であるとする。
価格 p が p 1 （状態１）から p 2 （状態 2）に低下したとする。
( x , y ) ＝状態 j における個人の最適消費量の組
j
j
j
j
j
I ＝「 ( x , y ) を通る無差別曲線」
11
CV ＝補償変分（compensating valuation）
EV ＝等価変分（equivalent valuation）
効用の増加を所得の変化分としてとらえる概念
「変化後の効用」を「変化後の価格」
＝
のもとで補償するために必要な所得
CV  E ( p , I )  E ( p , I )  m  E ( p , I )
2
2
2
1
2
1
m
(8-6)
「変化前の効用」を「変化後の価格」
のもとで補償するために必要な所得
EV  E ( p , I )  E ( p , I )  E ( p , I )  m
1
2
1
1
1
2
(8-7)
「変化後の効用」を「変化前の価格」
のもとで補償するために必要な所得
12
（問題 8-2）
①
2
1
1
2
E ( p , I ) と E ( p , I ) を図示しなさい。
② 価格が p 1 から p 2 に低下したときの CV と EV が
どの線分の長さとして捉えられるかを図示しなさ
い。
13
y
1
2
E( p , I )
1
1
＝
E( p , I )
E ( p , I ) m
2
2
2
1
E( p , I )
1
y
y
I
2
p
x
1
1
1
p
1
p
x
2
2
I
2
x
14
（問題 2-2）
①
2
1
1
2
E ( p , I ) と E ( p , I ) を図示しなさい。
② 価格が p 1 から p 2 に低下したときの CV と EV が
どの線分の長さとして捉えられるかを図示しなさ
い。
15
CV  m  E ( p , I )
2
y
1
EV  E ( p , I )  m
1
1
2
EV
2
E( p , I )
CV
m
2
1
E( p , I )
1
y
y
I
2
p
x
1
1
1
p
x
2
2
I
2
x
16
2.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
無差別曲線が部分的に直線になっている特殊ケースを想定
⇒ CV と EV が補償需要曲線を用いて捉えることができる。
MRS
k
＝ x k  1 から x k の範囲の限界代替率
（ k  1, 2 , 3 かつ xˆ 0  0 ）
17
y
部分的に直線の無差別曲線
Marginal Rate of Substitution
MRS
1
MRS
I
2
MRS
xˆ 0
xˆ 1
xˆ 2
3
xˆ 3
x
18
y
MRS
1
M R S2
I
p
1
p
2
MRS
3
x
p
補償需要曲線
MRS
p
MRS
p
MRS
1
1
2
Ⅰ
Ⅱ
2
3
Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
xˆ 1
xˆ 2
x
19
（問題 8-3）
① 下段の図のⅠ＋Ⅱが上段の図のどの線分の
長さと等しいかを示しなさい。
② Ⅰ＋Ⅱが CV となるのは、無差別曲線 I が
1
2
I のときであろうか I のときであろうか。
③ Ⅰ＋Ⅱが EV となるのは、無差別曲線 I が
1
2
I のときであろうか I のときであろうか。
20
y
（Ⅰ＋Ⅲ）+（Ⅱ ＋ Ⅳ）－（Ⅲ ＋ Ⅳ）＝Ⅰ＋Ⅱ
Ⅰ＋Ⅲ ＝ p xˆ1
1
MRS
1
2
p xˆ 2 ＝ Ⅲ＋Ⅳ
MRS 2 ( xˆ 2  xˆ1 )
＝
Ⅱ＋Ⅳ
MRS
p
xˆ 1
I
2
1
p
xˆ 2
2
MRS
3
x
21
（問題 8-3）
① 下段の図のⅠ＋Ⅱが上段の図のどの線分の
長さと等しいかを示しなさい。
② Ⅰ＋Ⅱが CV となるのは、無差別曲線 I が
1
2
I のときであろうか I のときであろうか。
③ Ⅰ＋Ⅱが EV となるのは、無差別曲線 I が
1
2
I のときであろうか I のときであろうか。
22
y
EV
CV
I
I
p
x
1
1
2
1
p
x
2
2
x
23
y
EV
CV
I
I
p
x
1
1
2
1
p
x
2
2
x
24
y
EV
CV
I
I
p
x
1
1
2
1
p
x
2
2
x
25
CV  m  E ( p , I )
2
y
1
EV  E ( p , I )  m
1
m
2
Ⅰ＋Ⅱ
I  I  Ⅰ＋Ⅱ＝CV
1
I  I
MRS
 Ⅰ＋Ⅱ＝EV
2
1
m
2
１
MRS
p
xˆ 1
I
2
1
p
xˆ 2
2
MRS
3
x
26
階段状の補償需要曲線
２つの価格線、補償需要曲線、
縦軸で囲まれる図形の面積
p
I  I  Ⅰ＋Ⅱ＝CV
1
I が与えられたもとでの
補償需要曲線
MRS
p
MRS
p
MRS
I  I
2
 Ⅰ＋Ⅱ＝EV
1
1
2
Ⅰ
Ⅱ
2
3
Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
xˆ 1
xˆ 2
x
27
曲線の補償需要曲線
２つの価格線、補償需要曲線、
縦軸で囲まれる図形の面積
p
I  I  Ⅰ＋Ⅱ＝CV
1
x  xd ( p, I )
C
MRS
p
MRS
p
MRS
I  I
2
 Ⅰ＋Ⅱ＝EV
1
1
2
Ⅰ
Ⅱ
2
3
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ
C
1
xd ( p , I )
C
2
xd ( p , I )
x
28
無差別曲線 I を y  I ( x ) と表すことにする。
y
1
1 1
2
2
2
I (~
x ) p ~
x  I ( ~
x ) p ~
x 
1
1 1
I (~
x ) p ~
x
1 1
2 2
2
1
 p ~
x  p ~
x  I ( ~
x )  I (~
x )   (# )
p
2
2
2
I (~
x ) p ~
x
j
j
  I ( ~
x )
y  I ( x)
p
1
~
x
1
p
2
2
~
x
x
j
C
j
~
x  xd ( p , I )
29
無差別曲線 I が与えられたときの逆補償需要関数は p   I ( x ) で求められる。
Ⅰ＋Ⅱ= （Ⅰ＋Ⅲ）－（Ⅲ＋Ⅳ）+（Ⅱ＋Ⅳ）
1
2
2
 p ~
x  p ~
x 
1
p
2
~
x
  I ( x ) dx
1
~
x
1 1
2 2
2
1
 p ~
x  p ~
x  I ( ~
x )  I (~
x )   (# )
 I ( 0 )
p
1
Ⅰ
p
p   I ( x )
Ⅱ
2
Ⅲ
Ⅳ
1
~
x
2
~
x
x
30
8.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
px  y  m ：予算制約式
*
*
( x , y ) ＝予算制約のもとでの最適な消費量の組
*
x ＝財 x の(マーシャルの)需要量
x  x d ( p ) ：(マーシャルの)需要関数
(8-8)
31
y
px  y  m
m
y
*
I
p
x  xd ( p)
*
x
32
(マーシャルの)需要関数と補償需要関数の関係？
x  xd ( p )
j
⇒
（ j  1, 2 ）
j
x d ( p , I )  x （ j  1, 2 ）
。
C
j
j
j
（問題 8-4）
1
2
C
1
2
C
2
1
① x 、x 、x d ( p , I ) 、x d ( p , I ) を記入しなさい。
② x  x d ( p ) と x  x d ( p , I ) を描き加えなさい。
C
j
33
y
m
I
I
p
1
2
1
p
2
x
p
p
1
p
2
x
34
y
x
j
 xd ( p )
j
m
I
I
p
x
C
d
1
2
x (p ,I )
1
2
1
1
p
x
x
2
代替効果 所得効果
2
C
2
1
xd ( p , I )
35
p
x  xd ( p, I )
C
p
1
●
2
＜財ｘが上級財のケース＞
●
x  xd ( p)
p
2
●
●
x  xd ( p, I )
C
x
C
1
1
x
2
xd ( p , I )
代替効果
所得効果
2
1
x
C
2
1
xd ( p , I )
36
8.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
財 x が上級財（所得効果がプラス）
⇒
2
1
p  p  p の範囲で
C
1
C
2
xd ( p, I ) ＜ xd ( p) ＜ xd ( p, I )
である。
37
I  I 
1
x  xd ( p, I )
C
1
＝ CV
p
I  I
x  xd ( p, I )
C
p
2

2
＝ EV
1
Ⅲ
Ⅰ
p
x  xd ( p)
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
2
CV＝Ⅰ
EV＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ
定義
ΔCS＝ Ⅰ＋Ⅱ
所得効果が大きいケース
x
1
x
所得効果
2
x
CV＜ΔCS＜EV38
x  xd ( p, I )
C
1
p
CV＝Ⅰ
x  xd ( p, I )
C
p
EV＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ
1
ΔCS＝Ⅰ＋Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
p
2
Ⅰ
2
x  xd ( p)
所得効果が小さいケース
Ⅱ
Ⅰ
CV≒ΔCS≒EV
x
1
x
2
所得効果
x
39
無差別曲線を用いた分析
⇒
需要曲線を用いた分析 ⇒
CV あるいは EV を用いた分析
 CS を用いて分析
財 x の所得効果が小さい
⇒
C
1
C
2
xd ( p, I ) ≒ xd ( p) ≒ xd ( p, I )
⇒
CV ≒  CS ≒ EV
⇒
「無差別曲線を用いた分析 ≒ 需要曲線を用いた分析」
40
（問題 8-5）効用関数が u  y  v ( x ) で与えられているとする( v ( x )  0 , v ( x )  0 )。
そのとき、財 x の所得効果がゼロ（財 x は中級財）であることを示しなさい。
41
y
m
y  v( x)  u
I
v  ( xˆ )  p
1
I
1
2
p
2
x
xˆ
y  v( x)  u
2
1
v  ( xˆ )
42
x
（問題 8-5）効用関数が u  y  4 x  x 2 で与えられているとする。また、
予算制約式は px  y  m であるとする。そのとき、財 x の所得効果がゼロ
（財 x は中級財）であることを示しなさい。また、価格 p が 3 から 2 に低
下するときに生じる消費者余剰の増分  CS を求めなさい。
y  x  4x  u
2
dy
 CS 
1
1 3
1



2
2 4
 2x  4
dx
p
4  2 xd ( p )  p
4
3
xd ( p )  
1
p2
2
2
財 x は中級財
1/ 2
1
2
x
43
8.1 支出最小化問題と補償需要関数
8.2 補償変分と等価変分
8.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
8.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
8.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
44
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11章
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45