Transcript 公共経済学

２． CBAのミクロ経済学的基礎
消費者余剰
と
補償変分・等価変分
07/10/03
本章では、個人の状態の変化が個人にとってどれだけ望ましくなったかを基数的（金銭的）に評
価する方法について検討する。
等価変分・補償変分は無差別曲線（あるいは補償需要曲線）を用いた分析に対応した金銭的評価
概念であり、消費者余剰は（普通の、あるいはマーシャルの）需要曲線を用いた分析に対応した
金銭的評価概念である。
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2.1 支出最小化問題と補償需要関数
2.2 補償変分と等価変分
2.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
2.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
2.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
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2.1 支出最小化問題と補償需要関数
p ＝財 x の価格
財 y の価格＝１
E ＝支出額（expenditure）
E  px  y ：支出額
I ：無差別曲線
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(2-1)
「 (x, y)のときの支出額」＝ E ＝「 (x, y)のときの支出額」
y
E
y
E  px  y
y
x x
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p
x
等支出（額）線
y
無差別曲線上の消費量の組に対応する支出額
E
y ・
E
消費量の組(x, y) 支出額E
消費量の組(x, y) 支出額E
E  px  y
E  E
E  px  y
y
x
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・
p p
x
I
x
＜支出最小化問題＞
無差別曲線 I 上の消費量の組 ( x, y) のなかで支出額 E 
最小にする消費量の組 ( x
*
x * ＝財 x の補償需要量
y * ＝財 y の補償需要量
px  y を
, y* ) を求める問題である。
Compensated Demand Function
x*  xdC ( p, I ) ：財 x の補償需要関数
y*  ydC ( p, I ) ：財 y の補償需要関数
(2-2）
(2-3）
E( p, I ) ＝支出最小化問題で求められる支出額
E( p, I )  p  xdC ( p, I )  ydC ( p, I ) ：補償所得
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Compensating Income
(2-4)
（問題 2-1）
下の図に等支出線を描き加えることで、
I と p が与えられてもとでの x* , y * と
E( p, I ) を図示しなさい。
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y
E( p, I )  px*  y *
 p  xdC ( p, I )  ydC ( p, I )
E( p, I )
y*
ydC ( p, I )
I
p
x *  xdC ( p, I )
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x
2.2 補償変分と等価変分
所得を m とすれば予算制約式は
px  y  m
である。
価格 p が
(2-5)
状態1と状態2における所得は
簡単化のため同一であるとする。
p1 （状態１）から p2 （状態 2）に低下したとする。
( xi , yi ) ＝状態 i における個人の最適消費量の組
I i ＝「 ( xi , yi ) を通る無差別曲線」
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CV ＝補償変分（compensating valuation）
EV ＝等価変分（equivalent valuation）
効用の増加を所得の変化分としてとらえる概念
変化前の効用を変化前の価格の
＝
もとで補償するために必要な所得
CV  m  E( p2 , I 1 )
2
E( p2 , I )
EV  E( p1 , I 2 )  m
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E( p1 , I 1 )
(2-6)
「変化前の効用」を「変化後の価格」
のもとで補償するために必要な所得
(2-7)
「変化後の効用」を「変化前の価格」
のもとで補償するために必要な所得
（問題 2-2）
E( p2 , I 1 ) と E( p1 , I 2 ) を図示しなさい。
② 価格が p1 から p2 に低下したときの CV と EV が
①
どの線分の長さとして捉えられるかを図示しなさ
い。
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y
E( p1 , I 2 )
＝
E( p1 , I 1 )
E( p2 , I 2 )  m
E( p2 , I 1 )
y1
I1
y2
p1
x1
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p2
p1
x2
I
2
x
（問題 2-2）
E( p2 , I 1 ) と E( p1 , I 2 ) を図示しなさい。
② 価格が p1 から p2 に低下したときの CV と EV が
①
どの線分の長さとして捉えられるかを図示しなさ
い。
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CV  m  E( p2 , I 1 )
EV  E( p1 , I 2 )  m
y
EV
E( p1 ,？
I 2)
CV
m
E( p2 ,？
I1)
y1
I1
y2
p1
x1
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p2
p1
x2
I
2
x
2.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
無差別曲線が部分的に直線になっている特殊ケースを想定
⇒
CV と EV が補償需要曲線を用いて捉えることができる。
MRSk ＝ xk 1 から xk の範囲の限界代替率
（ k  1, 2, 3 かつ xˆ0  0 ）
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y
部分的に直線の無差別曲線
Marginal Rate of Substitution
MRS1
MRS2
I
MRS3
x̂0
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x̂1
x̂2
x̂3
x
y
MRS1
I
M R S2
p2
p1
MRS3
x
p
補償需要曲線
MRS1
p1
MRS2
p2
MRS3
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Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
x̂1
x̂2
x
（問題 2-3）
① 下段の図のⅠ＋Ⅱが上段の図のどの線分の
長さと等しいかを示しなさい。
② Ⅰ＋Ⅱが CV となるのは、無差別曲線 I が
I 1 のときであろうか I 2 のときであろうか。
③ Ⅰ＋Ⅱが EV となるのは、無差別曲線 I が
I 1 のときであろうか I 2 のときであろうか。
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y
（Ⅰ＋Ⅲ）+（Ⅱ ＋ Ⅳ）－（Ⅲ ＋ Ⅳ）＝Ⅰ＋Ⅱ
Ⅰ＋Ⅲ ＝
p1x̂1
MRS1
p2 x̂2 ＝ Ⅲ＋Ⅳ
MRS2 ( xˆ2  xˆ1 )
＝
Ⅱ＋Ⅳ
I
MRS2
p2
p1
x̂1
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x̂2
MRS3
x
（問題 2-3）
① 下段の図のⅠ＋Ⅱが上段の図のどの線分の
長さと等しいかを示しなさい。
② Ⅰ＋Ⅱが CV となるのは、無差別曲線 I が
I 1 のときであろうか I 2 のときであろうか。
③ Ⅰ＋Ⅱが EV となるのは、無差別曲線 I が
I 1 のときであろうか I 2 のときであろうか。
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CV  m  E( p2 , I 1 )
EV  E( p1 , I 2 )  m
y
m
Ⅰ＋Ⅲ ＝
Ⅰ＋Ⅱ
I  I 1 Ⅰ＋Ⅱ＝CV
p1x̂1
I  I 2  Ⅰ＋Ⅱ＝EV
MRS1
p2 x̂2 ＝ Ⅲ＋Ⅳ
m
I
2
MRS2 ( xˆ2  xˆ1 )
＝
Ⅱ＋Ⅳ
2
１
I
MRS2
p2
p1
x̂1
x̂2
I
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1
MRS3
x
階段状の補償需要曲線
２つの価格線、補償需要曲線、
縦軸で囲まれる図形の面積
p
I  I 1 Ⅰ＋Ⅱ＝CV
I が与えられたもとでの
補償需要曲線
MRS1
p1
MRS2
p2
MRS3
Ⅰ
I  I 2 Ⅰ＋Ⅱ＝EV
Ⅱ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
x̂1
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x̂2
x
曲線の補償需要曲線
２つの価格線、補償需要曲線、
縦軸で囲まれる図形の面積
p
x  xdC ( p, I )
MRS1
p1
MRS2
p2
MRS3
Ⅰ
I  I 1 Ⅰ＋Ⅱ＝CV
I  I 2  Ⅰ＋Ⅱ＝EV
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ
x̂1
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x̂2
x
2.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
px  y  m ：予算制約式
( x* , y* ) ＝予算制約のもとでの最適な消費量の組
x * ＝財 x の(マーシャルの)需要量
x  xd ( p) ：(マーシャルの)需要関数
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(2-8)
y
m
y*
I
p
x *  xd ( p)
07/10/03
x
(マーシャルの)需要関数と補償需要関数の関係？
xi  xd ( pi ) （ i  1, 2 ）
xij  xdC ( pi , I j ) （ i  1, 2 、 j  1, 2 ）
⇒
x  xi （ i  1, 2 ）。
i
i
（問題 2-4）
xi 、 xi1 、 xi2 を記入しなさい。
② x  xd ( p) と x  xdC ( p, I j ) を描き加えなさい。
①
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y
m
I2
I1
p1
p2
x
p
p1
p2
07/10/03
x
xi  xd ( pi )
xij  xdC ( pi , I j )
y
m
I2
I1
p2
p1
x11
x22
07/10/03
＝
x12 x12 x2
＝
？
x1
代替効果 所得効果
x
p
x  xdC ( p, I 2 )
p1
●
＜財ｘが上級財のケース＞
●
x  xd ( p)
p2
●
●
x  xdC ( p, I 1 )
07/10/03
代替効果
x2
＝
＝
x1 x12 x1
2
1
x1
x22
所得効果
x
2.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
財 x が上級財（所得効果がプラス）
⇒
p2  p  p1 の範囲で
C
1
C
2
xd ( p, I ) ＜ xd ( p) ＜ xd ( p, I )
である。
07/10/03
I  I1 
x  xdC ( p, I 1 )
＝ CV
p
I  I2 
x  xdC ( p, I 2 )
＝ EV
p1
Ⅲ
Ⅰ
p2
CV＝Ⅰ
x  xd ( p)
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
EV＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ
定義
ΔCS＝ Ⅰ＋Ⅱ
所得効果が大きいケース
x1
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x2
所得効果
x
CV＜ΔCS＜EV
x  xdC ( p, I 1 )
p
CV＝Ⅰ
x  xdC ( p, I 2 )
p1
EV＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ
ΔCS＝Ⅰ＋Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
p2
Ⅰ
x  xd ( p)
所得効果が小さいケース
Ⅱ
Ⅰ
CV≒ΔCS≒EV
x1
07/10/03
x2
所得効果
x
無差別曲線を用いた分析
⇒
需要曲線を用いた分析 ⇒
CV あるいは EV を用いた分析
CS を用いて分析
財 x の所得効果が小さい
⇒
xdC ( p, I 1 ) ≒ xd ( p) ≒ xdC ( p, I 2 )
⇒
CV ≒ CS ≒ EV
⇒
「無差別曲線を用いた分析 ≒ 需要曲線を用いた分析」
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x
（問題 2-5）効用関数が u  y  4x  x 2 で与えられているとする。また、
予算制約式は px  y  m であるとする。そのとき、財 x の所得効果がゼロ
（財 x は中級財）であることを示しなさい。また、価格 p が 3 から 2 に
低下するときに生じる消費者余剰の増分 CS を求めなさい。
y  x 2  4x  u
dy
 2x  4
dx
4  2 xd ( p)  p
1
xd ( p)   p  2
2
財 x は中級財
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1 1 3
CS  1   
2 2 4
p
4
3
2
1/ 2 1
2
x
2.1 支出最小化問題と補償需要関数
2.2 補償変分と等価変分
2.3 補償需要関数と補償変分・等価変分
2.4 (マーシャルの)需要関数と補償需要関数
2.5 補償変分、等価変分、消費者余剰の増分
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