Transcript 公共経済学
2．厚生経済学の基本定理 2 （完全）競争市場で達成される資源配分が パレー ト効率的であることを示す。 2.1 予算制約線とエッジワー スのボックス・ ダイアグラム p ＝（財 x の財 y に対する）相対価格 ＝１単位の財 x と p 単位の財 y が交換できる。 pxi yi pxi yi ：個人ｉの予算制約式 （ xi 0, yi 0 ） 個人 i の予算制約線（あるいは予算線） ＝個人 i の予算制約式を xi yi 平面に図示したグラフ (2-1) （問題 2-1）個人 i の予算制約線を図示しなさい。 また、予算制約線の傾きを図示しなさい。 yi pxi yi pxi yi または p( xi xi ) ( yi yi ) 0 yi p xi xi （問題 2-2）個人Ａと個人Ｂの予算制約線がエッジワー スのボックス・ ダイアグラム の中でどのような位置関係になるかを、図を用いて説明しなさい。 yA xB xB p yA yB p xA xA yB 2.2 最適消費点と限界代替率 個人ｉの最適消費点 ＝個人ｉの予算制約線上の消費点のなかで個人ｉにとって最も好ましい消費点 予算制約線と無差別曲線が交わっている。 ＝予算制約線の左下の領域と無差別曲線の右上の領域の交わりが存在する。 ちょっと復習!! （問題 1-3）資源配分 a を通る個人 A の無差別曲線 I A と個人 B の無差別曲線 I B が交わって いるとき、資源配分 a がパレー ト効率的でない（すなわち、資源配分 a をパレー ト改善する資源配分が存在する）ことを、図を用いて説明しなさい。 （ヒント）資源配分 b 、 c 、 d の中で、資源配分 a をパレー ト改善する資源配分は どれであろうか。 yA xB d a c b IA xA IB レンズ型の領域 yB 個人 A の無差別曲線 I A と個人 B の無差別曲線 I B が交わっている。 ＝ I A の右上の領域と I B の左下の領域の交わりが存在する。 （問題 2-3）個人ｉの予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっているならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点でないことを説明 しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi p xi0 xi xi （問題 2-3）個人ｉの予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっているならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点でないことを説明 しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi p xi0 xi xi （問題 2-3）個人ｉの予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっているならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点でないことを説明 しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi p xi0 xi xi 補足説明!! （問題 2-3）個人ｉの予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっているならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点でないことを説明 しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 MRS i0 p yi MRS i0 xi0 p xi xi （問題 2-4）個人 i の予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっていないならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点であることを説 明しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi xi0 xi xi （問題 2-4）個人 i の予算制約線上の消費点 ( xi , y i ) を通る個人 i の無差別曲線 I i がその予 0 0 0 0 0 算制約線と交わっていないならば、消費点 ( xi , y i ) は最適消費点であることを説 明しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi xi0 xi xi （問題 2-5） 最適消費点 ( xi , y i ) における限界代替率 MRS i と相対価格 p が一致することを 0 0 0 問題 2-4 の図を用いて説明しなさい。 pxi yi pxi yi yi または p ( x i xi ) ( y i y i ) 0 yi0 yi xi0 p MRSp i0 xi xi 2.3 競争均衡とワルラス法則 xid ( p ) ＝相対価格 p の下での個人ｉの財 x の需要量＝最適消費点における財 x の消費量 y id ( p) ＝相対価格 p の下での個人ｉの財 y の需要量＝最適消費点における財 y の消費量 ( xid ( p), yid ( p)) ＝相対価格 p の下での個人ｉの需要量の組（最適消費点） * 競争市場における均衡相対価格 p は次の２つの条件を満たす相対価格である。 x Ad ( p * ) x Bd ( p * ) x A x B ( x ) ：財 x 市場の均衡 y Ad ( p * ) y Bd ( p * ) y A y B ( y ) ：財 y 市場の均衡 (2-2) (2-3) なお、均衡とは需要量と供給量の一致することであり、交換経済においては初期保有量が 供給量になっている。 * ワルラス法則＝一方の市場を均衡させる相対価格 p は、必ず他方の市場も均衡させる。 （問題 2-6）ワルラス法則が成立することを示しなさい。 （ヒント）各個人の需要量は予算制約式(2-1)を満たしていることを用いる。 pxi yi pxi yi （ i A, B ） (2-1) pxid ( p) y id ( p) pxi y i （i A, B） p x Ad ( p) xBd ( p) y Ad ( p) y Bd ( p) p x A xB y A y B p x Ad ( p) xBd ( p) ( x A xB ) y Ad ( p) yBd ( p) ( y A yB ) 0 『 x Ad ( p* ) xBd ( p* ) ( x A xB ) 0 y Ad ( p* ) yBd ( p* ) ( y A yB ) 0 』 * * * * 競争均衡における（で達成される）資源配分 ( x A , y A ), ( x B , y B ) は次のように求められる。 xi* xid ( p* ) かつ yi* yid ( p * ) * （ i A, B ） * * * (2-4) （問題 2-7）競争均衡における資源配分 ( x A , y A ), ( x B , y B ) をエッジワー スのボックス・ ダイ アグラムの中に図示しなさい。 yA xB* xB xB y *A y B* yA yB p( x A x A ) ( y A y A ) 0 or p( xB xB ) ( y B y B ) 0 xA yB y xA x *A x 2.4 厚生経済学の基本定理 （問題 2-8）競争均衡における資源配分を通る個人 A の無差別曲線 I A と個人 B の無差別曲 線 I B が交わっていないことを、問題 2-7 の図を用いて説明しなさい。 yA xB* xB xB y *A y B* yA yB p( x A x A ) ( y A y A ) 0 or p( xB xB ) ( y B y B ) 0 xA yB y xA x *A x * * * * （問題 2-9）競争均衡における資源配分 ( x A , y A ), ( x B , y B ) における個人 A の限界代替率 MRS A と個人 B の限界代替率 MRS B が一致することを、問題 2-7 の図を用いて説 明しなさい（問題 2-5 も参照） 。 yA xB* xB MRS A p MRS B xB MRS B y *A y B* yA yB p( x A x A ) ( y A y A ) 0 or p( xB xB ) ( y B y B ) 0 xA yB y MRS A xA x *A x 「厚生経済学の（第１）基本定理」 ＝競争均衡における（で達成される）資源配分はパレー ト効率的である。 （問題 2-10）厚生経済学の（第 1）基本定理が成立することを、問題 1-4 と問題 2-8 の結果 を用いて説明しなさい。また、問題 1-7 と問題 2-9 の結果を用いて説明しなさい。 競争均衡の資源配分を通る I A と I B が交わっていない。 競争均衡の資源配分はパレー ト効率的である。 競争均衡の資源配分では MRS A ＝ MRS B 競争均衡の資源配分はパレー ト効率的である。 以上では、「無差別曲線が交わっていない」という性質と「限界代替率が一致する」という 性質を用いてパレー ト効率的な資源配分について議論した。しかし、限界代替率が一致し ていなくてもパレー ト効率的であるケー スが存在することを確認しておこう。 yA IA xB MRS B a MRS A MRS A xA IB yB yA xB IA MRS B MRS A ・ a xA IB yB 2.5 厚生経済学の基本定理についての計算問題 ui U i ( xi , yi ) ：個人ｉの効用関数（個人ｉの無差別曲線を簡潔に表現する手段） 一つの無差別曲線を、効用 u i を定数 ui に固定して、 ui U i ( xi , yi ) と表現できる。 （問題 2-11）個人 A の効用関数が u A y A x A 5 で与えられているとする。消費点 2 ( x A , y A ) (3, 5) における限界代替率 MRS A を求めなさい。 dy 2 2ax b である。 （ヒント）関数 y ax bx c を x で微分すれば dx y A x A 52 u A ( x A ) 2 10 x A 25 u A dy A 2xA 10 dx A MRS A (2 xA 10) MRS A (2 3 10) 4 （問題 2-12） 個人 A と B の効用関数がそれぞれ u A y A x A 5 、u B y B x B 4 2 2 であり、財 x の消費可能量が x 6 、財 y の消費可能量が y 7 であるとする。 このとき、パレー ト効率的な資源配分の軌跡（契約曲線）を求めなさい。 yB xB 42 u B 2( xB ) 2 8 xB 16 u B y A yB y 7 dy B 2 xB 8 dxB MRS B 2 xB 8 問題 2-11 MRS A (2xA 10) 『 MRS MRS B A xA xB x 6 2 xB 8 2 xA 10 』 7 5 x A , xB 2 2 yA xB 5 2 4 契約曲線 ＝効率的な資源配分の集まり 7 xA 5 7 2 yB 6 （問題 2-13） 個人 A と B の効用関数がそれぞれ u A y A x A 5 、u B y B x B 4 2 2 であり、個人 A の初期保有量が ( x A , y A ) (5, 2) 、個人 B の初期保有量が ( xB , y B ) (1, 5) であるとする。このときの、相対価格 p の下での個人ｉの需要 d d 量 xi ( p ) 、 y i ( p ) を求めなさい。 MRS A p (2 xA 10) p x Ad ( p) y Ad ( p) px Ad ( p) px A y A MRS B p (2 xB 8) p 1 2 p 2 2 xBd ( p) yBd ( p) pxBd ( p) pxB yB 1 p5 2 1 p4 2 1 2 p 3p 5 2 （問題 2-14）個人 A と B の効用関数がそれぞれ u A y A x A 5 、u B y B x B 4 2 2 であり、個人 A の初期保有量が ( x A , y A ) (5, 2) 、個人 B の初期保有量が ( xB , y B ) (1, 5) で あ る と す る 。 こ の と き の 、 競 争 均 衡 に お け る 資 源 配 分 ( x *A , y *A ), ( x *B , y *B ) を求め、その資源配分がパレー ト効率的であることを確認 しなさい。 1 * 1 * p 5 p 4 6 2 2 p* 3 1 7 d x*A x Ad ( p* ) x A (3) 3 5 2 2 1 2 13 y*A y Ad ( p* ) y Ad (3) 3 2 2 2 1 5 xB* xBd ( p* ) xBd (3) 3 4 2 2 yB* yBd ( p* ) yBd (3) 1 2 1 3 3 3 5 2 2 市場均衡の資源配分 yA xB 5 2 1 4 1 2 E 市場メカニズム 契約曲線 5 7 13 2 W 2 初期保有点 xA 5 yB 7 2 6