Transcript 數學與文化:以數學小說閱讀為進路

數學與文化:以數學小說閱讀為進路
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授
【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示
－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】
從數學敘事到小說敘事：
閱讀理解的另一種可能
洪萬生
《HPM通訊》發行人
台灣數學博物館策展志工
台灣師範大學數學系退休教授
說文解字！
• 數學敘事 (mathematical narrative)：
Using narrative as an analytical tool, Mor and Noss (2008) interpret
learner’s expressions as mathematical narratives, i.e., “narratives
which are intended to communicate or construct mathematical
meanings”.
• Mor, Yishay and Richard Noss (2008). “Programming as mathematical
narrative”, Int. J. Cont. Engineering Education and Life-Long Learning
18(2): 214-233.
• 小說敘事 (literature narrative)
3
PISA 2012 數學素養的意義
• 數學素養：在多樣的情境之下，可以構造
(formulate) 數學、運用（employ) 數學，以及詮釋
(interpret) 、應用 (apply) 和評價 (evaluate) 數學結
果的能力。
• 它包含數學的推理以及使用數學概念、程序、事實
和工具，來描述、解釋和預測現象，並評估其結果。
• 它協助吾人認識數學所扮演的角色，讓有建設性的、
介入的和深思熟慮的公民，作出具有良好根據的判
斷和決策。
4
4
數學素養架構
Capabilities \ Process
Formulating
Employing mathematical
Interpreting, applying, and
situations
mathematically
concepts, facts, procedures
and reasoning
evaluating mathematical
outcomes
1.Communication
F1
E1
I1
2.Mathematising
F2
E2
I2
3.Representation
F3
E3
I3
4.Reasoning and argument
F4
E4
I4
5.Devising strategies
F5
E5
I5
6.Using symbolic, formal, and
technical language and
operations
F6
E6
I6
7.Using mathematical tools
F7
E7
I7
5
5
平行性（parallelism）
•
•
•
•
•
•
小說家：小說情節中的數學知識活動
(mathematical knowledge activities in plots of fiction)
數學史家：歷史脈絡中的數學知識活 動
(mathematical knowledge activities in historical context)
數學（教育）家：真實世界中的數學知識活動
(mathematical knowledge activities in real world)
科普作家：數學普及敘事中的數學知識活動
(mathematical knowledge activities in narrative of popular mathematical
writing)
對「數學家」此一角色來說，特別地，還有
小說情節中的數學家 vs. 數學家傳記中的數學家
6
Thomas: 數學 vs. 敘事
• 敘事 vs. 數學證明：當吾人進行數學證明時，首先假設
某些討論的對象或物件，以及它們之間的關係，這類比
了從一個已知角色出現開始說故事。
• 數學的邏輯結果 vs. 故事的發展結果：故事的發展在於
外在原因與人物的意圖，而數學則透過演繹方法，並以
「若……則……」等數學慣用敘述連接。
• 想像與演繹在敘事與數學中截然不同，在數學中，想像
是為了瞭解結論為何被蘊涵，而在敘事中，「演繹推論」
則是為了認識所想像的對象以及故事如何呈現。
7
Thomas：特例 vs. 模式
• 故事處理的是最終的特例（ultimately
special cases），數學家則對他們據以發現
模式（pattern, 或一般式）的特例感興趣。
• 文學的理論與研究，如同數學思維一樣，
把特例看成模式的彰顯，因此，文學理論
從許多特定的故事中提煉出共同的模式。
8
Thomas：應用與真實
• 無論是文學還是數學，都不能直接對應到實在 (reality），
它們更不等同於實在。
• 文學關乎想像與虛構，卻能使讀者在真實生活中產生共鳴、
感動和模仿；數學在於抽象法則的思考，經由與物理或其
他學科結合的應用而創造事物（例如一棟建築）。
• 數學物件與數學定理，都能如同故事般地被應用，而數學
的事實（亦即有效的推論或數學真理）也類比了故事之中
的事實。美好的數學概念，可用以證明某些結果，最好的
故事則具有不同方式的啟發力量。
9
布魯納：科學的敘事法
• 理解是什麼呢？就是把原本是互相競逐、
且不完全能予以檢驗的諸命題，用訓練有
素的方式加以組織和脈絡化之後所獲得的
結果。而我們得以這樣做，有個基本手段，
就是敘事法：用故事來說出某事物究竟是
什麼「東西」。
（布魯納 (Jerome Bruner)，《教育的文化》，p. 147）
10
布魯納：詮釋的循環
• 對於故事結構而言，其最有興味之處在於它所行經之途是一
條雙向的道路，而這兩個方向就是她的部份與整體。故事中
所重述的事件，是從故事的整體中取得意義。但故事的整體
又是由其各個部份來搭建。這「部份 / 整體」的關係有如蛇
首在追逐它自己的蛇尾一樣，而它有個令人望之儼然的名字，
叫做「詮釋的循環」(hermeneutic cycle)，因此，故事是由詮
釋 (interpretation) 法則來管轄，而不是說明 (explanation)。
對於故事，你決無法解說，而只能對它做反覆變化的詮釋。
你可以對一個落體作說明，因為有重力的理論可循。但當那
顆傳奇的蘋果掉到牛頓爵士頭上時，你對於他的腦袋裡發生
什麼事情，則只能作詮釋。
11
布魯納：閱讀理解與敘事法
• 對於敘事的理解與閱讀，就是「詮釋法」，那是什麼意思呢？
這起碼是意謂：沒有一個故事只能用單一的、獨特的方式去
理解。它的意義本來是多重的。我們不能說，有一套理性的
程序可用以決定某一種特殊的「讀法」像邏輯真理一樣地必
然為真；也不能說，有一套經驗的方法可用以檢核任何特定
的讀法。詮釋分析的目的，是要為一則故事提共一套可信服、
不自相矛盾的說明；而它的讀法，是要和故事裡特定的細節
座落在同樣的水平。這就構成了著名的「詮釋循環」之說 –
對某一文本做了一種閱讀，若要對此讀法的「正確性」而辯
護，則其方式不是要參照可觀察的世界，也不是透過必然性
的法則，而是要參照其他的閱讀。（p. 209）
12
Niels Jahnke的HPM 版的雙重詮釋學循環
H：數學史家，I：歷史詮釋，M：古代數學家，
L：數學理論，O：數學物件
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Jahnke (1994)
• The teacher should know and understand something about the
historian’s perspective if he takes history of mathematics into the
classroom, refers precisely to the problem that he / she must aware of
this two circles and about to move within it. Only this will enable him
and his students to acquire a certain freedom against the subject
matter to form hypotheses and to be ready to think oneself into other
persons who have lived in another time and another culture.
• The essential thing in this is that doing mathematics in the primary
circle (the right bottom one) is guided, in its objectives, by other
aspects with result from relations within the secondary circle.
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詮釋學循環四面體
C1：數學敘事主環，C2：小說敘事主環，
T/H：讀者，I：閱讀理解
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台大通識「數學與文化：以數學小說閱讀為進路」
• 結合數學與敘事 (mathematics and narrative)，引導
學生
• 認識數學思維的本質，以及它的可親近性
(accessibility)。
• 從數學小說（與電影）探討數學概念或方法如何被呈
現。
• 探討數學概念成為文化（或文學創作）的隱喻
(metaphor) 時，數學與文化彼此的相互影響。
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17
林芳玫：《達文西亂碼》
•
•
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•
我是√5，我要尋找1，演變成Phi。(1＋√5)/2＝Phi；黃金比例。
Phi是個無理數，無法用小數點後面的數字來表達。但是Phi可以用幾何作圖形形成視
覺再現，就像是海螺的螺旋，每一圈直徑跟較內圈的直徑比例都是1.618。這樣的曲
線當然也只是模擬 (simulation)。
有如海螺般的曲線，但是海螺是有限的，Phi可以不斷向外擴展至無限大，也可以向
內縮至無限小。Phi是無限寬廣與無限細膩。
五芒星線條比例；人體身高與從肚臍到腳底的比例；蜂巢裡雄蜂數目除以雄蜂，這些
都是Phi。存在大自然的動物植物，都顯現著神聖比例。
萬事萬物不斷生長繁殖，向上、向外延展；也不斷向下、向內，趨於微渺，但不死寂
消滅。我忽然想起了歌德在《浮士德》最後寫的句子：「一切無常皆是映影；不可企
及者至此實現；無可言喻者至此完成；永恆的女性，引領我們向上。」
無常就是不斷變化，有如湖面波光粼粼，又似黑暗洞穴裡舉起蠟燭，燭光照出尋寶者
移動的身影。看似虛幻又難以達成，卻又可以用海螺曲線等各種方式表達，就是不能
用一般理性的語言來說明。歌德的詩篇，多麼Phi！永恆不滅，永不止息。
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結城浩：《數學女孩：費馬最後定理》
• 作者在介紹複數的和與乘積時，特別指出：吾人「利用複數平
面上的『點』來標示出複數這種『數』，的確是相當了不起的
想法。」
• 啊啊！我心裡想 － 這簡直就像是之前在請教米爾迦「ω的華
爾滋」時的感覺一樣。只看到實數就想說明複數的乘積，在直
覺上是無法接受的。可是，如果將它轉換為在複數平面上旋轉
的印象的話，負數的乘積也就會變得協調而不突兀了。試著在
心裡描繪更寬廣的複數世界，這麼一來，就能輕鬆理解那個被
埋藏在裡頭的實數世界了。從高次元往下俯瞰，相對地，數的
結構的探索也會變得容易的多……。
19
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蒂蒂突然改口說道。
「米爾迦學姐……總覺得，我好像慢慢有點懂了！利用複數平面來讓數與點互相對應。數的計算，則是透
過點的移動來對應。透過這樣的方式，來不斷加深對這兩兩者的瞭解 － 對吧！」
「就是這麼回事！蒂德拉（按即：蒂蒂）就是讓數與點互相對應，讓代數與幾何互相對應。」米爾迦說道。
代數
複數全體的集合
複數
複數的集合
複數的和
複數的乘積
幾何
複數平面
複數平面上的點
複數平面上的圖形
平行四邊形的對角線
絕對值的乘積、幅角的和（放大、旋轉）
「複數平面是代數與幾何邂逅的舞台－」
米爾迦一邊說著，一邊用手指輕輕碰著自己的嘴唇。
「－ 在這個名為複數平面的舞台上，代數與幾何深情的擁吻著。」
這句話，讓蒂蒂羞紅著臉而低下了頭。
20
小說家如何轉換數學敘事？
• 保羅‧霍夫曼，《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》(pp. 191-193)
• e 是甚麼？就像π一樣，e也是一個無限非循環小數。歐拉將e的值計算
到小數點後的第23位：
• 2.718281828459045235326028…，
• 該數可由下列無窮級數產生：
e  1  1 / 1  1 /(1 2)  1 /(1 2  3)  1 /(1 2  3  4)  1 /(1 2  3  4  5)  ...
• 表面上看來，e這個數並不怎麼「自然」，其所以有這種叫法，是因
為它在諸如生長和衰亡這些基本過程的數學模型中經常出現，…
21
《數字愛人》
• 如果數學的成功是用揭示貌似無關的概念之間的深層聯繫
來衡量的話，那麼歐拉應該拿頭獎。歐拉注意到e的i次方
加上1等於0，這樣他大筆一揮就將π，e，i（虛數，-1的平
方根）和最基本的數字0和1聯繫在一起，這恐怕是數學中
最精煉和最著名的公式了。請注意歐拉公式 ei  1  0
• 在表現形式上是多麼的美，多麼地簡潔，它不僅充滿了數
學的美感，而且還富有神秘的魅力。
22
小川洋子《博士熱愛的算式》(pp. 162-164)
• 對於e的部份，根據歐拉的計算：
•
e = 2.718281828459045235326028…
• 永無止境持續下去……但計算式比數字簡單多了。
e  1  1/ 1  1/ (1 2)  1/ (1 2  3)  1/ (1 2  3  4)  1/ (1 2  3  4  5)  ...
• 雖然簡單，卻更加深了e的謎團。
• 這個所謂的自然對數，一點都不自然。如果不用符號表示，即
使用再巨大的紙也無法寫完，用這種無法看到盡頭的數字為底，
簡直太不自然了。
23
• 就像螞蟻隨心所欲大排長龍，嬰兒隨便亂堆的積木一樣，這個
沒有規律、永無止境的數列，竟然具備了合乎情理的意志，讓
人無從著手。上帝的旨意太莫測高深了，然而還是有人發現了
上帝的旨意。但包括我在內的所有人，並沒有對此表示出應有
的感謝。
• 沈重的書本讓我的手麻痺了，我甩了甩手，重新翻開書本，腦
海裡想著這位十八世紀最偉大的數學家，雷奧哈德爾‧歐拉。我
雖然對他一無所知，但手拿這個公式，我覺得自己可以感受到
他的體溫。歐拉用了這個極不自然的概念，編織出一個公式。
他從這些看似毫無關係的數字中，發現了彼此之間自然的關聯。
• e 的和 i 之積的次方再加上1 就變成了0。
24
• 我重新看著博士的紙條。永無止境循環下去的數字，和讓人難
以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的
出現，但來自宇宙的飄然地來到 e 的身旁，和害羞的i 握著手。
他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了1以後，世
界就毫無預警地發生了巨大的變化。一切都歸於0。
• 歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星；也像是刻在漆黑的洞
窟裡的一行詩句。我被這個公式的美深深地打動了，再度將紙
條放進票夾。
• 走下圖書館的樓梯時，我回頭看了一下，數學書籍區仍然沒有
一個人影，一片寂靜，沒有人知道那裡隱藏著多麼美的事物。
25
博士原型
• 由於日文版的《博士熱愛的算式》附有參
考文獻，其中包含了《數字愛人》的日文
版，因此，我們可以合理猜測小川洋子塑
造主角人物「博士」時，一定參考了保羅‧
艾狄胥（Paul Erdos）的原型。
26
27
問題
•
•
•
•
請仔細閱讀這兩段文字（且必要時，請參閱這兩本
書），回答下列問題：
簡要重述這兩段文字的意涵；請問它們所傳遞的數
學資訊是否一樣多嗎？
從一個數學普及或科普讀者的身份來看，你認為哪
一段文字比較有趣？比較容易親近？或者比較容易
打動人心？又，或者沒有區別？
從敘事（narrative）的觀點來看，你認為這兩段文
字的差異何在？
28
取材之證據
• 參考《數字愛人》（保羅‧艾狄胥傳記）
• 人物原型：保羅‧艾狄胥 (Paul Erdos)，他始終
由母親照顧生活起居，寡母去世後，改由葛立
恆 (Ron Graham)與金芳蓉夫婦接手。
• 與人打招呼的獨特方式：初見面時，艾狄胥習
慣的寒暄，是問對方：「你什麼時候到的？」
亦即你什麼時候出生？又，他稱小孩子為ε等
等。(pp. 5-6)
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• 柏拉圖主義：主要是第1章〈出自天書〉，第5章〈上
帝創造整數〉，還有本書其他章內容。
• 柏拉圖主義者哈代 (G. H. Hardy) 喜歡板球，「他用
解數學題與打板球進行類比來為他的數學論文添加佐
料。」(p. 71)
• 魯斯－ 阿倫數對 (pp. 163-164)
• 費馬最後定理與谷山－ 志村猜想 (pp. 177-181)
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• 洞察力 (insights) 與聯繫 (connections)：
1. 高斯等差級數求和公式「出自天書」(p. 189)；
2.「數學就是發現聯繫，尋找特殊問題和一般
結果之間、一個概念和另一個概念貌似無關但
實際上相互聯繫的概念之間的關係。任何有意
義的數學概念都不是孤立的。」(pp. 189-190)。
31
小川洋子如何敘事
• 上帝筆記本 (pp. 57-61)
• 造物主創造了數字。(p. 31)
• 針對管家問他數論研究是發現正整數之間的關係嗎？博士回答：「沒
錯是發現，不是發明。我要找出在我還沒有出世的遙遠過去，就已經
不為人知地在某個地方存在的定理。就好像一字一句地抄下記錄在上
帝筆記本中真理一樣。誰都沒有辦法預知這本筆記本到底在哪裡，什
麼時候會打開。
• 在我想像的世界中，宇宙的造物主在遙遠的天際編織著蕾絲。是用上
等真絲編織的，可以穿透任何微弱光線的蕾絲。只有造物主知道蕾絲
的圖案，誰都無法搶走，也無法預測下一個圖案。」(p. 164)
32
• 柏拉圖主義：「我在和數字相愛的時候，你這樣魯莽地闖進來，
比偷看人家上廁所更沒有禮貌。」（p. 17）
• 我可以感受到自己站著地面是由更深層的世界所支撐著，也為
此感到驚嘆。唯有順著數字的鐵鍊前進，才能進入深層的世界，
言語似乎已經失去了意義。（p. 111）
• 「真正的直線在哪裡？只有在這裡。」博士把手放在胸口，和
教我虛數一樣。
• 「永恆的真實是肉眼看不見的，也不會受到物質、自然現象和
感情的影響，但數學可以解開真實的奧秘，也可以用數學來表
現真實，任何東西都無法阻擋。」（小川洋子，2004，頁153）
33
有關魯斯－阿倫數對
•
•
•
•
•
•
•
•
當發現他（按：即博士）和根號的座位分別是7-14和7-15時，就立刻說起
這兩個數字的意義，根本忘了坐下來。
「714是貝比‧羅斯在一九三五年創下得全壘打紀錄。一九七四年四月八
日，漢克‧亞倫從道其隊的阿爾‧道手上擊出第715支全壘打，打破了這個
紀錄。
714和715的積等於最小七個質數的積。
714×715＝2×3×5×7×11×13×17＝510510
還有，714的質因數的和，與715質因數的和相等。
714＝2×3×5×7×17
715＝5×11×13
2＋3＋7＋17＝5＋11＋＋13＝29
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• 具有這種性質的連續正整數很罕見。20000以下只有二十
六組，叫做魯斯－亞倫數對。和質數一樣，當數字越大時，
出現的機率就越小。最小的數對就是6和5。要證明這種數
對是否有無數個，又是另一個傷腦筋的問題。但最重要的
是，我的座位是7-14，根號的座位是7-15
• 絕對不能換位置，因為新人要打破紀錄，這是世間的邏輯。
你同意嗎？」
35
高斯等差級數求和公式
• 小川運用了兩種方法講解，其一是經由博士運用三
角數（pp. 91-95），其二是管家和根號共同提出解
法（pp. 49-65, 68-73, 76-78）。博士問根號1加到10
如何運算？一般的作法是 (1＋10)=11，11×5=55。管
家花很多天來思考。兒子告訴她，學校裡上體育課
時，老師喊出「各排，向中間靠攏」。管家想到了
「中間」的概念：
36
管家的中庸之道
• 我把10寫在角落，將1到9寫成一排，並在5上畫了圈。
• 毫無疑問，5成為這九個數字的中心。前面有四個數字，後面也
有四個數字追隨著。5昂首挺胸，自豪地向空中伸出雙手，似乎
在向世人宣告，自己才是正確的目標。
(小川洋子，2004，頁72-73)
• 管家把10拿掉 — 跟別的數字不一樣的兩位數 — 然後求取中間
值（平均數），最後再把10加進來。她對待自己的人生亦復如
此，差異與極端的部分且擱置一旁，先求取中間值：「向中間
靠攏」。她不強調也不抱怨單親份，而是訴諸於普遍性的母愛。
37
小川洋子的數學教育關懷
•
藤原正彥 (Masahiko Fujiwara) / 小川洋子 (Yoko Ogawa)(2005/2007).《世にも美し
い數學入門》，東京：筑摩書房。
•
《博士熱愛的算式》英譯版書末（未編頁碼）的「問題討論」(Discussion
Questions) （共有11則，由英譯者 Stephen Snyder所提供）
•
第7則：1到10的總和不難求出，然而，博士堅持要根號找出特別的方法。最後，
根號與管家攜手獲得答案。請問他們的解法具有主題式的重要性 (thematic
importance) 嗎？一般來說，小川洋子如何利用數學例證來說明一個整體的世界觀
(a whole worldview)？
第10則：小川洋子選擇書寫實際的數學問題，而不是抽象地書寫數學。在某個意
義上，她邀請讀者順著書中人物學習數學。你認為她為何這樣書寫？或許這是為
了增強你對這些人物的同理心？
•
38
電影片段欣賞
39
40
杰瑞‧金 (Jerry King) 的評論
•
•
•
•
•
•
•
《社會組也學得好的數學十堂課》：
「我該怎麼談歐拉方程式而不只破壞它的美呢？就讓我只陳述事實：這
個方程式含有
數學五個最重要的數：1、0、e、π 和 i
最重要個關係：相等
三種最重要的運算：加、乘、取冪
此外，這個方程式不含任何與它不相干之物，簡潔得令人屏息，就像佛
絡斯特 (Frost) 的詩一樣。
當然，這個方程式棲居複變分析範疇。那裡面有許許多多美的事物棲身。
白天，優美在整個數學界遊蕩。不過每到晚上，它都回家進入複數屋宇
休眠。」
41
歐拉公式
i
e
1  0
42
問題
•
•
•
•
請仔細閱讀這兩段文字（且必要時，請參閱這兩本書），回
答下列問題：
簡要重述這兩段文字的意涵；請問它們所傳遞的數學資訊是
否一樣多嗎？
從一個數學普及或科普讀者的身份來看，你認為哪一段文字
比較有趣？比較容易親近？或者比較容易打動人心？又，或
者沒有區別？
從敘事（narrative）的觀點來看，你認為這兩段文字的差異
何在？
43
結果與討論
• 總共回收26份（三人一組寫成一份）針對前述
三個問題之報告。
• 針對第1題：「簡要重述這兩段文字的意涵；
請問它們所傳遞的數學資訊是否一樣多嗎？」
有22組認為「一樣多」、「差不多」或「相
當」，其他4組則認為前一段所附載之資訊較
多。
44
第1題
• 回答「一樣多」的心得報告舉例：
• IIA：〔相對於第一段〕第二段的文字則是用各種譬
喻與聯想以發抒歐拉公式所引起的感觸。對歐拉公式
的介紹，如同上一段文字有 e 符號的意義、型態（永
無止境的持續下去）、性質（一點都不自然）及產生
方式。這段文字花較多的篇幅於抒情，……，除了未
提到自然對數名稱的原由及補注 i 等於 -1 的平方根外，
此段文字提共了相當於第一段的數學資訊。
45
第1題
• 回答「一樣多」的心得報告舉例：
• IID：這兩段文字雖然敘事的方式不同，但是內含的數學資訊是
一樣多的。相對於保羅‧霍夫曼直白的數學語言，小川洋子利用
此較迂迴的文學描述來表達相同的數學概念，比方說霍夫曼直
接告訴我們「e也是一個無限非循環小數」時，小川洋子說的是
「永無止境持續下去……如果不用符號表示，即使再巨大的紙
也無法寫完，用這種無法看到盡頭的數字為底，簡直太不自然
了。」 ……從數學資訊的呈現來說，兩者是一樣多的，不同之
處在於小川洋子賦予了她所要提到的事物各種想像，將訊息藏
匿在她的文字中，讓讀者忘了自己在閱讀的，其實也是數學！
46
第1題
• 回答第一段較多
• IIB：兩段文字說明的是相同的數學公式就
各自夾帶的數學知識而言，保羅霍夫曼
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》的
分量較小川洋子《博士熱愛的算式》稍多，
因其不但說明 e 是什麼，還進一步說明為什
麼 e 叫做自然對數……。
47
第1題
• 回答第一段較多
• IIC：這兩段敘述皆為釋歐拉公式的數學創舉，但在其中一部份
卻各有出入。
• 1. 兩者解釋了 e 是什麼：……。在這一點上兩者的資訊量可以
說完全相等。
• 2. 兩者都解釋了e的特性：「很不自然，無法寫完」，但其中，
前者提及e為一個無限非循環小數，但後者沒有提到，只說用再
巨大的紙都無法寫完，甚至在後文還出現「永無止境循環下去」
－ 本組認為可能甚至會產生誤導效果的語句。
48
第1題
•
•
•
•
IIC續：
3. 前者特別提了 e 在生長和衰亡這些基本過程的數學模型中經常出現，
這是這個符號的使用背景，也是後者沒有提到的。
4. 兩者都提及了〔歐拉〕公式…的美以及將看似毫無關連的事物作連結
的不可思議。但前者順帶提及了，數學的成功可以用貌似無關的概念之
間的深層聯繫來衡量，後者則沒有提到，而更專注於以文字描寫這個公
式的藝術性。
結論是，本組認為《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》 ……除了一兩
句話提到美感等等的語彙之外，大多都還是停留在介紹這個公式，數學
相關的資訊也比較多。 《博士熱愛的算式》的引述段落則相對篇幅長許
多……這些相對於數學資訊而言，毋寧說是更讓人能夠共感「公式的美」
的文學資訊，數學資訊則稍微少了一點點。
49
第2題
• 從一個數學普及或科普讀者的身份來看，
你認為哪一段文字比較有趣？比較容易親
近？或者比較容易打動人心？又，或者沒
有區別？
• 27份報告認為第二段文字比較有趣、容易
親近，以及打動人心。不過，也有報告
（編號IIJ）並未完全認同。
50
第2題
• IID（《數》）帶刺的冰封薔薇 vs.（《博》）含著露水的搖曳薔薇
• IIK：「一樣的數學概念，取代了知性筆觸的文學性筆法在枯燥中帶
來了斑斑生機，一樣的無盡性，她用意象性的的描述超越超越了現實
的定義；一樣的特殊連結，上帝走入了數學之森，祂的存在便反襯出
直書神秘的庸俗；一樣的〔歐拉公式〕，成了e與π，i和1，0的深情華
爾滋，這些都在為數學的美麗添上幾分神話色彩。小川選擇了管家的
陳述角度，合理化了這些狂野的想像，在平淡的數學世界造出不平凡
的文章，也是由於這種活化萬物的筆觸，我們的思緒才能與冰冷的數
學理論深情擁抱，也唯有如此，我們才能真正為我們錯過一個神秘世
界深深惋惜。」
51
第2題
•
•
IIP：有趣面向：《博士熱愛的算式》用了許多精彩的譬喻和擬人的修辭。
容易親近：《博》中的第一人稱「我」是個數學底子一般的平凡單親媽媽，
是個生活中常出現在你我身旁的普通人。因此，在容易打動人心方面，《博》
中出現許多「我」對數於由衷地讚嘆的描述，讓讀者感同身受
IIW：「關於這第二段文字，我們這組有兩種截然不同的想法。首先，這段
文字使用了較多文學筆法來形容看似無理卻十分迷人的 e，以及歐拉公式…
的魅力，不過對於公式的美麗與獨特似乎著墨過多，而忽略應以更精鍊的語
言來解釋，以致於無法聚焦。然而，組內另一種聲音卻認為，小川洋子將數
學概念以角色的意識帶出，自然地融入故事架構中，數學感減少，但似乎多
了人性，以靈活的擬人手法和各種形象化的比喻傳達出在複雜無規律的事物
中，定會帶有一定的順（〔秩〕）序法則。尤其對於歐拉公式的描寫，整段
文字看來無疑是場舞台劇，就像在壯麗的空中飛舞後，悄然落地然後謝幕，
一切是那麼的自然、寧靜，能引領讀者隨著敘事者的思緒，一起發現並分享
紙條上數學的美好。」
52
第2題
• IIJ：「《數字愛人》比較容易親近也比較有趣，因其
以較精簡的方式描述這個化簡為繁的公式。其也明確
提出了評比比較數學美感的標準：「如果數學的成功
是用揭示貌似無關的概念之間的深層連繫來衡量的話，
那麼歐拉應該拿到首獎」，以此標準審視歐拉公式如
何契合這種美感。相較之下，《博士熱愛的算式》使
用許多不同的類比堆積出繁複的概念，雖然意象較為
豐富，文字帶給人的感動卻非單純地來自數學之美，
稍嫌可惜。」
53
IIJ
• 不過，IIJ也指出：「《博士熱愛的算式》的文字對我來說較有吸引力。
雖然兩段文字所傳達的訊息是相同的，但小川洋子用了一種不同於科
普讀物的文字風格去描寫數學之美，比較能使讀者融入小說情境，自
然地接受其所蘊含的數學知識。與其說是科普文字，倒不如說是對於
美本身所發出的的驚呼，一連串精緻的遐想，將數學所帶有的距離感
消除，就像一顆頻果被剖開之後，我們能品嚐最真實的滋味，關於數
學的甜美，這是我在《數字愛人》所無法感受的。同樣歌頌數學之美，
《數字愛人》採取了較為冷靜理性的態度，簡潔地指出數學的乾淨俐
落； 《博士熱愛的算式》則使用了更熱情的筆法，每個數字似乎都是
一個獨立而有思想的生命體，在宇宙中有一套完美而不易被發現的秩
序，兀自運作。」
54
第3題
• 從敘事（narrative）的觀點來看，你認為這兩段文字的差
異何在？
• IIW：「我們認為，兩段文字最大的差別在敘事觀點的不
同。」在一方面，IIW認為《數字愛人》雖是傳記，但
「似乎數學主題才是這本書的主幹。敘事者英是偏向平鋪
直敘的全知觀點，早已掌握 e 和歐拉公式的許多特性，清
楚地舉例 e 是什麼、出現的地方、算式、定義，也對歐拉
公式的形式及意義做了簡單扼要的介紹，似乎預設讀者對
各方面數學領域的知識已有基本的涉獵。」
55
IIW
• 「第二段文字運用了小說中極受歡迎也十分普遍的
第一人稱，藉由角色人物對於這張紙上所寫的東西，
也就是這個數學概念的觀點切入，讓看似複雜難懂
的數學記號，活靈活現的具現在讀者的眼裡。敘事
者（管家）和許多對數學相當陌生的人一樣之前幾
乎沒有聽過 e 和歐拉公式，因此，藉由管家在圖書
館發現的數學知識的情節，像是對讀者發出一種邀
請，一同探討 e 和〔歐拉公式〕。」
56
IIA
•
「《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》這本書是以艾狄胥為主軸的一本數
學史故事，敘述方式顯的冷靜而有距離感，以這段擷取的文字為例，他說：
『請注意』歐拉公式在形式上是多麼的美，多麼的簡潔，它不僅充滿了數學
的美感，而且還富有神秘的魅力。簡潔有力的，以數學家的口吻，道出一項
他認知上的美。《博士熱愛的算式》就顯得平易近人許多，以管家來當做第
一人稱敘述者，讓人更能對數學的美產生共鳴。『我雖然對他一無所知，但
手拿這個公式我覺得我自己可以感受到他的體溫……』知道主角和我們一樣
不熟悉雷奧哈德爾‧歐拉，讓人鬆了一口氣，你覺得你和主角站在同一個水
準上，而不是上下的階級關係（ 《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》及給
人如此感受）。如此一來，後面一整串小川洋子對歐拉公式的奇想，就不會
顯得無厘頭，而可以感覺到一個普通人真正受到了感動。我認為這是此兩本
書之間最大的差異。」
57
結論
• 呼應 Horng (2012 PME36 大會演講)：通過數學小說
的閱讀，領會數學知識結構連結（connections) 的意
義！
• 參照PISA指標：I1 & I3
• 小川的美學進路：完全以數學知識的有趣（結構的美）
面向為主，而不論其有用面向。
• 至於學生（讀者）有關數學的閱讀理解，或可運用下
列詮釋學四面體來協助解說吧！
58
Horng, Wann-Sheng (2012)
• “Narrative, “Discourse and Mathematics
Education: An Historian’s Perspective”,
plenary speech presented to PME36, July 18, Wesley Girl
High School, Taipei.
59
參考資料
•
•
•
•
•
•
林芳玫、洪萬生 (2009).〈數學小說初探：以結構主義敘事分析比較兩本小說〉，
《科學教育學刊》 17(6): 531-549。
林芳玫、洪萬生 (2009). 〈數學與敘事在教育上的應用：以通識教育和HPM為
例〉，《HPM通訊》12(11): 1-11。
洪萬生 (2012). 台灣大學開放式課程〈數學與文化：以數學小說閱讀為進路〉。
洪萬生、林芳玫 (2010).〈數學家傳記：以科普作品為例〉，台灣數學博物館
「數學家傳記特區」。
保羅‧霍夫曼 (2001).《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，台北：台灣商務
印書館。
Bruner, Jerome (2001).《教育的文化》(The Culture of Education)台北：遠流
出版公司。（宋文理中譯）
60
參考資料
•
Healy, Lulu and Nathalie (2007). “If this is our mathematics, what are our stories?”, Int J Comput Math Learning 12: 3-21.
•
Horng, Wann-Sheng (2004). “Teacher’s Professional Development in terms of the HPM: A story of Yu”.（draft）
•
Horng, Wann-Sheng (2012). “Narrative, “Discourse and Mathematics Education: An Historian’s Perspective”, plenary speech
presented to PME36, July 18, Wesley Girl High School, Taipei.
•
Jahnke, Hans Niels (1994). “The Historical Dimension of Mathematical Understanding: Objectifying the Subjective”,
Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education vol. 1, Lisbon: University of
Lisbon, pp. 139-156.
•
Alex Kasman homepage：http://kasmana.people.cofc.edu./MATHFICT
•
Lin Fang-Mei & Wann-Sheng Horng (2009). "Review of Yoko Ogawa's The Housekeeper and the Professor", Mathematical
Intelligencer online 31 October, 2009.
•
Mor, Yishay and Richard Noss (2008). “Programming as mathematical narrative”, Int. J. Cont. Engineering Education and LifeLong Learning 18(2): 214-233.
•
Scholes, Robert, James Phelan and Robert Kellog (2006). The Nature of Narrative. Oxford / New York: Oxford University Press.
•
Thomas, R. S. D. (2002). “Mathematics and narrative”, The Mathematical Intelligence 24(3): 43-46.
61
版權聲明
頁碼
作品
版權圖示
來源/作者
3
narratives which are
intended to communicate or
construct mathematical
meanings
Mor, Yishay and Richard Noss (2008). “Programming as mathematical
narrative”, Int. J. Cont. Engineering Education and Life-Long Learning
18(2): 214-233. 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
4
數學素養：…作出具有良
好根據的判斷和決策。
《數學素養評量》。林福來與設計題目教師等作，國立台灣師範大
學數學系出版，南一書局排版印刷，第4頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
5
數學素養架構表
OECD-PISA，PISA 2012 MATHEMATICS FRAMEWORK ，TO
OECD, NOVEMBER 30, 2010，p.20-21，本作品轉載自：
http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/46961598.pdf，
瀏覽日期：2013/01/02。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
7
敘事 vs. 數學證明：…，
「演繹推論」則是為了認
識所想像的對象以及故事
如何呈現。
Thomas, R. S. D. (2002). “Mathematics and narrative”, The Mathematical
Intelligence 24(3): 43-46. 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
8
故事處理的是最終的特
例…，文學理論從許多特
定的故事中提煉出共同的
模式。
Thomas, R. S. D. (2002). “Mathematics and narrative”, The Mathematical
Intelligence 24(3): 43-46. 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
62
版權聲明
頁碼
作品
9
無論是文學還是數學…
最好的故事則具有不同
方式的啟發力量。
Thomas, R. S. D. (2002). “Mathematics and narrative”, The Mathematical
Intelligence 24(3): 43-46. 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
10
理解是什麼呢？…用故
事來說出某事物究竟是
什麼「東西」。
《教育的文化》(The Culture of Education)，作者：Bruner, Jerome
(2001)，譯者：宋文理，遠流出版社2001年出版，第147頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
11
對於故事結構而言…則
只能作詮釋。
《教育的文化》(The Culture of Education)，作者：Bruner, Jerome
(2001)，譯者：宋文理，遠流出版社2001年出版，第209頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
12
對於敘事的理解與閱讀，
就是「詮釋法」…而是
要參照其他的閱讀。
《教育的文化》(The Culture of Education)，作者：Bruner, Jerome
(2001)，譯者：宋文理，遠流出版社2001年出版，第209頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
13
版權圖示
來源/作者
Jahnke, Hans Niels (1994). “The Historical Dimension of Mathematical Understanding:
Objectifying the Subjective”, Proceedings of the 18th International Conference for the
Psychology of Mathematics Education vol. 1, Lisbon: University of Lisbon, pp. 139-156.
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
63
版權聲明
頁碼
作品
14
The teacher should
know and understand
…from relations within
the secondary circle.
版權圖示
來源/作者
Jahnke, Hans Niels (1994). “The Historical Dimension of Mathematical
Understanding: Objectifying the Subjective”, Proceedings of the 18th
International Conference for the Psychology of Mathematics Education vol.
1, Lisbon: University of Lisbon, pp. 139-156.
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
Jahnke, Hans Niels (1994). “The Historical Dimension of Mathematical
Understanding: Objectifying the Subjective”, Proceedings of the 18th
International Conference for the Psychology of Mathematics Education vol.
15
1, Lisbon: University of Lisbon, pp. 139-156.
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
《達文西亂碼》，林芳玫著，聯合文學出版社，2007年09月13日出版。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
17
18
我是√5，我要尋找1，
演變成Phi…多麼Phi！
永恆不滅，永不止息。
《達文西亂碼》，林芳玫著，聯合文學出版社，2007年09月13日出版，
第149~150頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
19
「利用複數平面上的
『點』來標示出複數這
種『數』…結構的探索
也會變得容易的多。
《數學女孩：費馬最後定理》，結城浩著，鍾霓譯，洪萬生審定，
世茂出版社於2011年05月26日出版，第123頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
64
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作品
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來源/作者
20
蒂蒂突然改口說道……
讓蒂蒂羞紅著臉而低下
了頭。
《數學女孩：費馬最後定理》，結城浩著，鍾霓譯，洪萬生審定，
世茂出版社於2011年05月26日出版，第123頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
21
e 是甚麼？…這些基本
過程的數學模型中經常
出現，…
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，保羅‧霍夫曼著，米緒軍等譯，
台灣商務出社，2001年02月13日出版，第191-193頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
22
如果數學的成功…它不
僅充滿了數學的美感，
而且還富有神秘的魅力。
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，保羅‧霍夫曼著，米緒軍等譯，
台灣商務出社，2001年02月13日出版。第191-193頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
23
對於e的部份，根據歐
拉的計算：…，簡直太
不自然了。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第162~164頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
24
就像螞蟻隨心所欲大排
長龍，…和 i 之積的次
方再加上1 就變成了0。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第163頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
65
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作品
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來源/作者
25
我重新看著博士的紙
條。…，世界就毫無預
警地發生了巨大的變化。
一切都歸於0。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第163頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
25
歐拉公式就像是暗夜中
閃現的一道流星；…，
沒有人知道那裡隱藏著
多麼美的事物。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第167~168頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
Wikipedia，作者：kmhkmh。本作品轉載自：
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Erdos_budapest_fall_1992.jpg，
瀏覽日期：2012/12/21。本作品以創用CC「姓名標示」3.0版授權釋出。
27
29
與人打招呼的獨特方式：
初見面時，…，他稱小
孩子為ε等等。
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，保羅‧霍夫曼著，米緒軍等譯，
台灣商務出社，2001年02月13日出版，第5~6頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
30
他用解數學題與打板球
進行類比來為他的數學
論文添加佐料。
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，保羅‧霍夫曼著，米緒軍等譯，
台灣商務出社，2001年02月13日出版，第71頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
66
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頁碼
作品
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來源/作者
31
數學就是發現聯繫，…。
任何有意義的數學概念
都不是孤立的。
《數字愛人：數學奇才艾狄胥的故事》，保羅‧霍夫曼著，米緒軍等譯，
台灣商務出社，2001年02月13日出版，第189~190頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
32
沒錯是發現，不是發
明。…，什麼時候會打
開。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第55~61頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
32
在我想像的世界中，…，
也無法預測下一個圖案。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第164頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
33
我在和數字相愛的時候，
你這樣魯莽地闖進來，
比偷看人家上廁所更沒
有禮貌。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第17頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
33
我可以感受到自己站著
地面是由更深層的世界
所支撐著，…，言語似
乎已經失去了意義
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第111頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
67
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作品
版權圖示
來源/作者
33
真正的直線在哪裡？…，
任何東西都無法阻擋。
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第153頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
34
當發現他（按：即博
士）…715＝5×11×13
2＋3＋7＋17＝5＋11＋
＋13＝29
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第117頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
35
具有這種性質的連續正
整數很罕見。…，這是
世間的邏輯。你同意嗎？
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第117頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
36
小川運用了兩種方法講
解，…，向中間靠攏」。
管家想到了「中間」的
概念
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第91~95，49~65，68~73，76~78頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
37
我把10寫在角落，…，
自己才是正確的目標
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日出版，
第72~73頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
68
版權聲明
頁碼
作品
版權圖示
來源/作者
37
管家把10拿掉 — …。也不抱
怨單親份，而是訴諸於普遍
性的母愛
《博士熱愛的算式》，小川洋子著，麥田出版社，2008年10月1日
出版，第72~73頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
38
第7則：1到10的總和不難求
出，…，學例證來說明一個
整體的世界觀
The Housekeeper and the Professor. Ogawa, Yoko/ Snyder, Stephen
(TRN) . St Martins Pr. 2009. 02. 03. 譯者Snyder, Stephen 之文末導讀。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
38
第10則：小川洋子選擇書寫
實際的數學問題，…這是為
了增強你對這些人物的同理
心？
The Housekeeper and the Professor. Ogawa, Yoko/ Snyder, Stephen
(TRN) . St Martins Pr. 2009. 02. 03. 譯者Snyder, Stephen 之文末導讀。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
39
博士熱愛的算式 DVD ，導演：小泉堯史，主演：寺尾聰、深津繪
理、齋藤隆成，2011 年 03 月 25 日發行。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
40
《社會組也學得好的數學十堂課》，杰瑞．金著，蔡承志譯，
商周出版，2010年11月12日出版。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
69
版權聲明
頁碼
作品
版權圖示
來源/作者
41
我該怎麼談歐拉方程
式…進入複數屋宇休眠。
《社會組也學得好的數學十堂課》，杰瑞．金著，蔡承志譯，
商周出版，2010年11月12日出版，第241~242頁。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。
45
〔相對於第一段〕…，
此段文字提共了相當於
第一段的數學資訊。
臺灣師範大學
洪萬生教授
46
這兩段文字雖然敘事的
方式不同，…，讓讀者
忘了自己在閱讀的，其
實也是數學！
臺灣師範大學
洪萬生教授
47
兩段文字說明的是相同
的數學公式…進一步說
明為什麼 e 叫做自然對
數……
臺灣師範大學
洪萬生教授
48
這兩段敘述皆為釋歐拉
公式的…認為可能甚至
會產生誤導效果的語句。
臺灣師範大學
洪萬生教授
70
版權聲明
頁碼
作品
版權圖示
來源/作者
49
3. 前者特別提了 e 在生
長和衰亡…，數學資訊
則稍微少了一點點
臺灣師範大學 洪萬生教授
51
（《數》）帶刺的冰封
薔薇 vs.（《博》）含
著露水的搖曳薔薇
臺灣師範大學
洪萬生教授
51
一樣的數學概念，…，
也唯有如此，我們才能
真正為我們錯過一個神
秘世界深深惋惜。
臺灣師範大學
洪萬生教授
52
有趣面向：《博士熱愛
的算式》…，讓讀者感
同身受
臺灣師範大學
洪萬生教授
52
關於這第二段文字，…，
一起發現並分享紙條上
數學的美好。
臺灣師範大學
洪萬生教授
71
版權聲明
頁碼
作品
版權圖示
來源/作者
53
《數字愛人》比較容易
親近也比較有趣，…，
卻非單純地來自數學之
美，稍嫌可惜。
臺灣師範大學
洪萬生教授
54
博士熱愛的算式》的文
字對我來說較有吸引
力。…，兀自運作。
臺灣師範大學
洪萬生教授
55
我們認為，…，似乎預
設讀者對各方面數學領
域的知識已有基本的涉
獵。
臺灣師範大學
洪萬生教授
56
第二段文字運用了小說
中極受歡迎也十分普遍
的第一人稱，…，一同
探討 e 和〔歐拉公式〕。
臺灣師範大學
洪萬生教授
57
《數字愛人：數學奇才
艾狄胥的故事》…。我
認為這是此兩本書之間
最大的差異。
臺灣師範大學
洪萬生教授
72