Transcript HPM 與數學普及閱讀
如何帶領數學普及閱讀指導？ 洪萬生 《HPM通訊》 台灣數學博物館 （MTM） MTM • 台灣數學博物館 (Math Taiwan Museum, MTM)：http://museum.math.ntnu.edu.tw 台灣數學博物館漢字 logos HPM • HPM：International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics • 一個研究團體：數學史與數學教學之關連 研究群，隸屬於ICMI（國際數學教學委員 會） • 一個研究學門：探討數學史如何有助於數 學的教與學？ 閱讀何以重要？ • 法國高中會考的哲學考題 • 2001：科學知識會不會限制了我們對真實 世界的認識？ • 2008：藝術會不會改變我們對於真實世界 的認知？ 西方歷史經驗：文學 vs. 科學 • 文學是十七、八世紀科學和技術興起之後才出現的觀念。 • 科學和技術傾向要求語言須明確、單義、邏輯、真值等等 ，於是，韻律、言外之意、情感色彩、比喻、想像等語言 本有的豐富特色不免被邊緣化，並發展成現代的文學觀念 。 • 因此，文學與科學本來只是語言的不同表達方式，但是， 當科學成為中心，科學以外的各種表達方式不免被邊緣化 ，並藉文學的觀念重建中心的位置時，卻又不免過多地強 調了聲律、摸稜、感情、虛構等較強烈、觸目的特點，結 果不論是科學或者文學，都在概念上把日常語言遺棄在兩 個極端之間。 • 科學傾向把語言指向可以驗證的分析世界，文學 傾向把語言指向可以體驗的價值世界；有些篇章 (text) 比較適合以分析、驗證，從終獲取資訊的方 式閱讀，以處理世務；有些更適合以欣賞篇章中 的韻律、言外之意、情感色彩、比喻、想像等成 分的角度閱讀，並享受其中的趣味。當然，有些 篇章同時適合兩種閱讀方法，讓讀者產生多元的 閱讀經驗。 • 因此，閱讀的目的和經驗可以分為：資訊式的閱 讀和文學式的閱讀。（謝錫金等） 何謂 Literacy？ • Literacy ＝ 素養？ • 源自拉丁文的 litteratus，亦即有能力接觸和分享 書面知識的人。 • 在中古歐洲，所謂的「文盲」並非不能夠閱讀， 而是讀不懂基督教和所有學問載體的拉丁文，只 有讀得懂拉丁文的人才算litteratus。 • 因此，在任何社會中，識字程度並不單單是會不 會讀寫的問題，而更是對主流價值的適應能力。 全球學生閱讀能力進展研究 • PIRLS: Progress in International Reading Literacy Study • 由 IEA (國際教育成績評估協會， International Association for the Evaluation of Education Achievement) 主辦，針對九至 十歲學童評估他們的閱讀成就，及其在家 庭和學校中學習語文閱讀的經驗。 • 謝錫金等，《兒童閱讀能力進展：香港與 國際比較》，香港大學出版社，2005。 謝錫金等 • 大部分小學四年級的學生（九至十歲）已 學習了基本的閱讀技巧與能力，可以逐漸 獨立地閱讀較為複雜的材料。這是由於從 小四開始課程對小四學生的要求有所改變 ，學習重點將由「學會閱讀」（learning to read）慢慢轉移或提升到「從閱讀中學習」 （reading to learn)。學生的學習經驗，對 其閱讀能力的發展，有著顯著的影響。 何謂閱讀？ • 一秒鐘閱讀：字詞辨識。側重在月讀作為 一種自動化技能的心理認知能力。 • 一分鐘閱讀：理解。把閱讀從個人化的心 理活動轉換成社會性的文化價值之中介。 • 一年閱讀：有能力反思自己閱讀過的東西 ，並能利用這種能力達成個人及社會的目 標。側重在閱讀作為建構社會成員文化身 份的效用與手段。 總之 • 閱讀是一項既屬個人認知也涉及社會成規 的活動，參與者（即讀者）被要求能夠流 暢、有效率地把以語言符號為載體的篇章 ，轉化成其他讀者也會獲得相似結果的意 義，俾能在社會上成為無論在個人情性發 展，抑或社會功利上均有成就的成員。 香港有關閱讀的反思！ • 以普通話為中文科的教學語言：經常在家說普通話的一組 ，並不比經常在家說粵語的一組成績高。我們同時發現： 一、在家經常說粵語的學生，如果在家也「有時」說普通 話，成績最好；二、而在家經常說普通話的學生，如果在 家也「經常」說粵語，成績最好；三、在家經常說粵語的 學生，如果在家「從不」說普通話，成績也不賴。 • 因此，把握普通話，確實對經常說粵語的學生有幫助，同 時，好好把握粵語，卻又對經常說普通話的學生有幫助。 這似乎可以如此解釋：普通話在語言學上無疑對學習中文 有優勢，這優勢在經常說粵語學生中顯示了作用。然而， 不要忘記 普通話 vs. 粵語 • 因此，把握普通話，確實對經常說粵語的學生有幫助，同 時，好好把握粵語，卻又對經常說普通話的學生有幫助。 這似乎可以如此解釋：普通話在語言學上無疑對學習中文 有優勢，這優勢在經常說粵語學生中顯示了作用。然而， 不要忘記語文學習不只是語文的問題，同時也是學習的問 題，學習需要與同學、老師，乃至整個社會互動，形成學 習的社群，在仍然以粵語為主要溝通語言的香港社會中， 否定粵語意味著否定了形成學習社群的條件，不知粵語幫 助學生學習的好處，只知普通話幫助學生學習的作用，是 取小利而遺大益，並不是恰當的做法。 • 其實，安排學生在原有的學習上，額外撥出時間與精力學 習普通話，即意味著學生投放了更多資源在語文上，學生 的語文能力有所提高，也是理所當然的。 閱讀教學方式相對傳統 • 傳統之一：表現在課程安排仍侷限於語文 中，而未能從跨學科的角度設計課程。學 會閱讀從來不是目的，「學習閱讀」的目 的更在於「從閱讀中學習」，由此，終身 學習才成為可能。因此，視閱讀課為範本 的學習，便是把「學習閱讀」和「從閱讀 中學習」截為兩橛，閱讀的更重要作用更 無從全面發揮。 • 傳統之二：教材過於依賴教科書。教科書 有許多優點與作用，尤其是版面的設計， 輔助教材的開發等，都是教科書的強項所 在。然而，教科書卻不能提供真實的語文 經驗，不容易按實際情況隨時更新。 • 傳統之三：閱讀教學過份重視字詞解碼（ decoding)，而忽略閱讀理解策略（ comprehension strategy）的施教。 閱讀的「歷史教訓」 • 費雪（p. 188)：就中古盛期學院派的閱讀活 動來講，書對讀者而言尤其代表著某種權 威。這種文章是要一行一行慢慢消化，而 不是分析的。要利用目錄和索引來弄清著 作的內在含意。頁邊常常都是註解，行間 也塞滿了釋義。 謝錫金等人的建議 • 應該提倡閱讀教學的 ABC 原則： • A：教材 -- 活動要真實（authentic) – 貼近 生活情境，跨學科閱讀 • B：教學法要平衡（balance) – 既重視解碼 ，也強調理解 • C：閱讀經驗要豐富（copious) – 資訊性與 文學性兼備 PISA 2012 Mathematical Literacy • Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts, and tools to describe, explain, and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective citizens. 2011/2/17 19 PISA 2012 數學素養的意義 • 數學素養是個人在多樣不同的情境之 下，可形構數學、使用數學、詮釋數 學的能力。它包含了數學的推理以及 使用數學概念、程序、事實和工具， 來描述、解釋和預測現象。它協助個 人認識數學在這世界上扮演的角色， 讓有建設性的、介入的和深思熟慮的 公民，作出具有良好根據的判斷和決 策。 2011/2/17 20 數學素養架構 Capabilities \ Process Formulating Employing Interpreting, applying, situations mathematically mathematical concepts, and evaluating facts, procedures and mathematical outcomes reasoning 1.Communication F1 E1 I1 2.Mathematising F2 E2 I2 3.Representation F3 E3 I3 4.Reasoning and argument F4 E4 I4 5.Devising strategies F5 E5 I5 6.Using symbolic, formal, and technical language and operations F6 E6 I6 7.Using mathematical tools F7 E7 I7 2011/2/17 21 Mathematical Literacy in Practice Real world Problem in context Mathematical world Formulate a model Validate results Results in context 2011/2/17 Mathematical problem Employ mathematics Interpret results Mathematical results 22 一本數學書可以有多少面向？ • 如何看《爺爺的證明題》？ • 如何看《博士熱愛的算式》？ • 如何看《算法少女》？ • 如何看《九章算術》？ • 如何看《幾何原本》？ 閱讀的歷史 （A History of Reading） • 作者：史提夫‧羅傑‧費雪（Steven Roger Fischer ）引述捷克作家卡夫卡（1883-1924）反駁朋友的 閱讀觀點： • 「總之，我認為，我們應當只讀能夠刺痛我們的 書。要是我們所讀的書並不像一記當頭棒喝，又 何必費神優先讀它呢？這種書能夠像你說那樣令 我們愉快嗎？感謝主，就算是一本書也沒有，我 們還是一樣快樂；反過來說，讓我們開心的書， 我們自己就寫得出來。我們所需要的……書籍應 當像是劈開我們之間冰湖的利斧。」 巴比倫的蘇美人 • 表示「閱讀」的字是sita，它還具有「數算 、計算、考慮、記憶、誦讀、朗讀」等等 意思，無怪乎書記學校的優秀畢業生可以 成為「商人、船東或御用寺廟的簿記員或 會計師。最有天分、通曉困難的數學的畢 業生，則成為備受尊重的財稅官員。退學 或落第的人，仍然可以成為受人尊敬的信 件代書或代讀，他們可以在幾乎所有鄉鎮 的市集上擺攤子。」 古埃及 • 「讀」所對應的字是sdj，也有誦讀的意思 ，所有的讀物也都透過書吏或見證人，以 具體方式大聲表示出來。因此，書吏所佔 有的社會地位，甚至高過他們的美索不達 米亞同儕。還有，「古埃及的讀件絕對不 只是訊息傳遞而已 － 它同時也傳達了特定 的精神。有別於美索不達米亞重視實用的 楔形文字，埃及的象形文字特別被認為具 有神奇的力量。」 希臘文 • anagignosko是指「我閱讀」以及「我辨認 、我朗讀」，以及在愛奧尼亞希臘文中所 指的「我主張，我說服（某人去做某事） 」。 漢字「讀」之解 • 甲骨文、金石文都缺讀字，小篆讀：从言、賣聲 ，本意作「誦書」解（見許慎《說文解字》）。 • 至於「言」（甲文、金文都已出現）的本義作「 直言曰言，論難曰語」（見見許慎《說文解字》 ），乃直道其事，故从口。 • 又，根據《正中形音義綜合大字典》，讀作為動 詞，有如下意思： • 誦念 • 說；解釋 • 語；以言告人 • 玩；玩其神韻而學之 笛福《魯賓遜漂流記》（1719） • • • • • • • 『歷險記』：撼動人心的漂流故事 『遊記』：熱帶島嶼生活多姿多彩的描述 『社會學』：十八世紀初西方人接觸原始部落的獨到研究。 『小說』：逃避現實的驚險作品。 『兒童文學』：在原始環境中生活，具有啟發性的故事。 『神學』：身處異教邊陲的基督教徒的自我辯護之作。 『經典作品』：西方文學的中流砥柱。 • 林鬱出版社中譯版譯者郭建中：「不同時代的政治家、經濟學家、宗 教人士、文史學家和文藝評論家，都可以從各個不同度解讀《魯賓遜 漂流記》，但一般讀者，不論是青少年或中老年，都只把其作為一部 冒險小說來閱讀而已。」 儘管講的都是同一本書 (Daniel Defoe’s Robinson Crusoe)，各個領域卻 都窮盡不了該部作品的廣大精微。 作家吳爾芙 (1882-1942) • 英國女作家，二十世紀現代主義與女性主義的代 表作家！ • 「文章並不是聖典。在不同的情境下，它可以同 時是榜樣和激勵。任何文字，就連最基要傾向的 的宗教文字，也不對讀者發號施令。選擇反應方 式和思考主題的，是讀者。閱讀之妙，就妙在作 者絕不可能加以掌握。扮演最高主宰的：是讀者 ！ • 我們就是自己所讀的，而我們所讀的，無非就是 自己！」 Virginia Woolf (1882-1941) 佩托拉克（Petrarch, 1304-1374) • 義大利文藝復興人文主義者 • 閱讀者變成寫作者！現代讀者 – 新品種的知識份子 -- 的 概念於焉問世！ • 針對經典或文本，拒絕充當客觀而消極的接受者，而成為 主觀積極的詮釋者 • 話劇《談傑出人士》：用優越的結構把互不相屬的罕見文 章給組織起來的集子。 • 當時的文章都像是碑銘，因而是不可分割的。 • 見證：把書面文學切塊，切丁而調製成各種口味。於是， 書本成為無數個事實和語詞的儲藏室，可按讀者的能力和 性向來品嚐，消化，吸收和排斥。還有，編輯讀物的形式 ，變成為通行全歐的學術方法。 費雪 • 「『中世紀閱讀』的核心 － 被動地聆聽和誦讀 於是衰微了。主動的、要求實踐的默讀，如今已 經占得優勢。閱讀者因而成實行者，而作者現在 不過是名嚮導，要給隱匿、靜默的讀者大眾指出 幾條途徑。如果說，中古前期的閱聽者聽的幾乎 都是基督教唱詩班合誦出來的連禱，那麼中古後 期的人文主義學者，便是默讀著多種口音所唱出 不同歌曲的聲音。而隨著識字率的增加，民眾也 不再需要教會的介入，因為藉著個人靜默的讀經 ，跟天主的對話大致變成是私下、單獨的事情。 …… 就在這時候，口語傳誦在古騰堡的印刷業面 下消失了。」 但丁 (1265-1321) • 地方的口語，人民日常的語言，實在比拉 丁語更高尚。因為 • 1. 伊甸園的亞當講的就是方言； • 2. 它是自然形成的（不像拉丁文是在學校 教的）； • 3. 它還是普遍為人所使用的（大家都講方 言）。 • 他用方言寫出膾炙人口的《神曲》。 但丁閱讀 • 「我們可以從文字當中得到一種意思，另一種則 是文字內涵的意義。前一種是字面上的，而另一 種則叫作比喻的 (allegorical)或默契的 (mystical) 。」 • 以閱讀《聖經》為例： • 「以色列人離開埃及當這些雅各的子孫後代來到 外邦人中間時，猶大是他們尋求庇護的聖所，而 以色列則是他們的領土。」 • 只從字面來看，擺在眼前的，是摩西時代以色列 子孫逃出埃及的經過。 比喻式讀法三類 • 從比喻來看，是基督為我們預備的救贖。 • 就比擬（象徵）的意義看，這顯示靈魂從 罪的痛苦不幸轉變到饒有德行的境界。 • 就預表（靈修）的意義而言，這顯示聖靈 離開這種敗德的束縛，前往永在不朽的自 由。 • 2011年3月17日《壹週刊》 • 壹觀點標題：NHK讓台灣同業汗顏 • 自3月11日下午強震、海嘯侵襲，繼之福島核電廠爆炸， 極度悲慘的事件一波波接踵而至，NHK都能掌握第一時 間，像日本社會及全世界提供第文明素質和媒體的專業水 準，乃是日本社會面臨空浩劫一手訊息。可以看出鏡頭前 的播報員極度壓抑他們的情緒，使用名詞、動詞（絕無夾 敘夾議的形容詞），將已發生的事實以及日本政府所採取 的因應措施，清楚大向觀眾說明。日本民眾透過NHK， 詳盡瞭解自己國家的境遇，也知道全體社會正在設法度過 難關，因此每一個人內心都非常篤定，也就沒有盲動、騷 亂的行為。日本人的文明素養和媒體的專業水準，乃是日 本社會面臨空前浩劫而又能維持高度安定的原因。 國教輔導團的經驗分享： 數學普及閱讀與數學繪本 • 鐘靜主編，《國中數學普及讀物閱讀教學 實踐與推廣》台北：國立台北教育大學。 • 本書收集十一篇作品，分為三大類： • 教案篇：楊志強等 • 實踐篇：林壽福等 • 推廣篇：李政憲、蘇進發 數學普及閱讀指導：林口國中李政憲老師 • 你為什麼選擇這本書寫心得？書名或內容有什麼吸引你的地方？ • 請敘述這本書的內容大綱。 • 你覺得本書的主題或重要是哪些章節？有什麼是可以應用在生活上的 嗎？ • 你在這本書裡學到哪些數學知識？是否改變了你對數學學習的看法與 態度？ • 說出你覺得這本書最欣賞的一至兩段話，並說明原因。 • 你覺得這本書最難與看不懂的地方在哪裡？可以如何去克服呢？ • 如果有機會，你會建議哪些人看這一本書，並建議他們從哪些章節開 始看呢？ • 本書給我的感覺（以☆表示，最多五顆☆）。 學而不思則罔 vs. 思而不學則殆 外山滋比古 (Shigehiko Toyama) • 御茶水女子大學榮譽教授，研究領域橫跨 語言學、語意學、修辭學和新聞學等，同 時，他也是日本知名英國文學家、語言學 以及隨筆作家。 • 《這樣思考，人生就不一樣》 培養飛行能力，從問問題開始 • 談到思考，人們首先想到的可能是數學。針對題目算出答 案，這比起閱讀文章，從中吸收知識、資訊，看起來更具 有自發性和積極性。 • 簡單地說，一般認為，求知活動主要以學校的國文科為中 心，與閱讀的學習有關；而思考活動則以數學為中心。 • 數學雖然可以鍛鍊思考能力，但是老師出題、學生解答， 仍屬於被動的模式。即使在問題的框架內積極的尋求解答 ，但問題本身是別人給的，不是自己想出來的。學校的數 學教育總是預先準備好問題，沒讓學生嘗試自己主動發現 疑問、找到答案，課程就結束了。 • 據說希臘人建立了人類史上的最輝煌的文化，就是因為他 們擁有傑出的發問能力，總是會問「為什麼」。希臘人的 飛行能力實在太優秀了。 飛行 vs. 滑翔 • 外山滋比古是以飛行能力比喻獨立思考能 力，用以對比滑翔機能力。他認為「每個 人都同時具備了滑翔機能力和飛行能力， 前者是被動獲得知識，後者是主動發明、 發現。」至於「學校教育愈完善，培育出 的滑翔機人就愈多」，只是「今後，只靠 滑翔機能力將無法高枕無憂，因為擁有極 優秀的滑翔機能力的電腦誕生了。無法靠 自己飛行的人工作將會被電腦取代。」 思考的整理和遺忘 • 本書第四章開宗明義：「我們的教育向來把頭腦 視為倉庫，不斷將知識囤積在腦子裡。然而，要 讓頭腦成為高效率運轉的工廠，就一定要不斷地 遺忘。」 • 思考的整理＝有技巧地遺忘，就是他所謂的「在 自己的腦中進行經典化的方法」。 • 「雖然閱讀大量書籍可以變得博學多聞，但若要 塑造獨一無二的自己，就要負起責任，學會分辨 什麼是真正感興趣的，而什麼又只是一時的興趣 。不斷檢查庫存的知識，逐步且慎重的丟棄一時 的東西，只留下不變的知識，這時的知識才可能 成為力量。」 外山滋比古 (Shigehiko Toyama) • 《這樣思考，才會有創意》 • II.3：〈想得創意，必先忘記〉 • 大部分的人其實都害怕自己健忘。因為健忘通常代表腦筋 不好，讓人自卑；而且學習又是以記憶取勝，忘掉了就輸 定了，沒得談了。 • 但這不過是腦袋的被動用途。吸收知識以後如果忘記就很 可惜，所以記得住才有價值。腦袋裝的東西越多越好，因 為腦袋是知識的寶庫。 • 不過，要用大腦思考新事物的時候，狀況就完全相反。如 果腦袋塞滿各式各樣的東西，想思考也轉不動。與其說想 ，不如說是忙著從倉庫裡搜尋有用的知識罷了。 如何遺忘？ • 要思考創新，腦袋一定要會忘記，忘得乾 乾淨淨。忘記是創意的必要條件。 • 如何遺忘？ • 睡覺是最有效的腦袋大掃除 • 定期與朋友跨界交流 • 學習遺忘 數學文本 (text) 閱讀及其他 • HPM 如何介入數學普及閱讀？ • 第一手的閱讀古典文獻之必要！ 阿基米德的動手做『功夫』/ Eureka ！ 吳宛柔（台師大數學系100甲）創作 阿基米德胃痛問題！ 祖沖之如何計算3.141592？ • 祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓 周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七 忽，朒數數三丈一尺四寸一分五釐九毫二 秒六忽，正數在盈、朒二限之間。密率： 圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率 ：圓徑七，周二十二。 • 祖沖之知道圓周率（圓周除以直徑）是常 數或定值嗎？我們如何確認？ 趙友欽：緣督子趙真人 • 元代全真教教士，著有《革象新書》。他 是中國歷史上數學與宗教互動的最佳案例 。 • 他從圓內接正方形開始，一直割圓到兩萬 多邊，驗證祖沖之的圓周率近似值3.141592 精確。 • 古佛青燈，看來是中國古代學者打算獻身 算學研究的職業選擇，孟德爾 (Mendel) 地下有知，一定大嘆德不孤必有鄰！ 吳宛柔（台師大數學系100甲）創作 麥可‧洛克《大師教你說故事》 • Mike Lockett (2008).《大師教你說故事》（李郁 淳中譯），台北：師德文教股份公司。 • 第六章〈故事延伸教學〉與 HPM 呼應 • 說故事可以引領學生進入數學知識的相關脈絡或 情境，鼓勵他們進行「在地思考」(thinking in context)，從而賦予解答活動之（學習）意義。同 時，也可以鼓勵學生從不同的角度思考問題，並 積極尋求與他人合作的策略與方法。這些說真地 ，還相當呼應了目前十分時髦的九年一貫數學教 學法呢。 • 一天說或是讀15分鐘的故事給小孩聽，可以幫助 他們增加字彙（包含數學領域），還能幫助他們 解答數學問題。利用說故事的方法，有助於兒童 在解答數學問題時想像實際的情況。在課堂中說 故事，可以讓兒童在故事的情境中練習計算、測 量、圖表、排序、圖形等相關的數學技巧。偉大 數學家的故事可以激發學生鑽研數學領域的想法 。故事可以幫助學生從不同的角度思考問題，也 能讓他們找出和他人合作的新方法，共同解決目 前和未來的問題，也減少某些學生數學算不好的 恐懼。 新文類：科普書寫 + 教育關懷 《爸爸，這題數學怎麼算？》 • 商周出版社，2011年6月 • 羅勃‧伊斯威（Rob Eastaway）、麥克‧阿斯 庫（Mike Askew） • 科普作家伊斯威另著有《公車為甚麼一次 來三班？》、《一條線有多長？》以及《 幾隻襪子湊一雙？》，備受好評！ 卡住與做錯 • 本書對爸爸媽媽而言，是一個小小的「智力」挑戰，因此 ，千萬不要以為吾人隨便翻閱即可理解。當然，只要放鬆 心情，全心投入思考，一定會有收穫！ • 正因為數學知識有其嚴密思維的特性，因此，數學學習的 一個最重要面向，就是卡住與做錯。「卡住反而是一個值 得稱許的狀態，而且最好的處理方法，就是暫時別管這問 題 － 小寐一下可能會有意想不到的效果呢！」其實，作 者顯然也藉此強調「從容」心情的不可或缺，這對於每天 忙著為溫飽奔波的家長來說，尤其是難得的奢華，不過， 基於親子數學活動的需求，讓自己有機會沈澱下來也未嘗 不是「充電」的好機會。 • 孩子們早期對數字的經驗，通常是「形容 詞」而不是「數量」：「我四歲」對於孩 子來說，和「我是莎莉」或「我是個男孩 」沒甚麼不同。房子的號碼、手機上面的 數字鍵、電視台的頻道 － 孩子們被作為 標籤的數字所包圍，而且，他們也不認為 數字和數量有任何關連。當然身為家長的 我們會幫助他們做出這個聯想，但還是有 許多要做的事 • 舉例來說，如果你拿出六顆糖果，然後和 一個四歲的小孩數一遍，並請他拿三顆給 你，他不會拿三顆給你，而是拿數到三的 那顆給你。從「數一、二、三、四、五、 六」到指出六時的那顆糖果，並領悟到「 六」可能指的是整組糖果，而不是最後指 的那個，是很大的一步。 • 而且，這是假設孩子們已經跨過了協調三 件事的難關：在說出下一個數字的時候， 剛好指著一顆糖果；確認你沒有跳過任何 糖果或數字；確認你沒有將同一顆糖果數 了兩次。學習數數最好是以數實際的物品 ，而不是圖片來進行 － 物品可以在數過 之後移到旁邊，使它們不會被數到兩次， 而且，這個動作也可以和說出數字的名字 協調。（頁60-61）