Transcript Integral SMA - WordPress.com

Asep Saeful ulum
Feri Ferdiansyah
Hilman Nuha Ramadhan
Muhammad Abdillah Rizqi
1. Menggunakan konsep integral
dalam pemecahan masalah
1.1. Memahami konsep integral tak
tentu dan integral tentu
1.2. Menghitung integral tak tentu
dan integral tentu dari fungsi
aljabar dan fungsi trigonometri
1.3. Menggunakan integral untuk
menghitung luas daerah di bawah
kurva dan volum benda putar
TAK TENTU
INTEGRAL
KEGUNAAN
TERTENTU
Pengertian Integral
Integral Fungsi Aljabar
Integral Fungsi Trigonometri
Integral Parsial
PENDIFERENSIALAN
F(x)
F’(x)=f(x)
x  2x
2x  2
2
x  2x 1
2
x  2x  5
2
x  2x 
2
1
7
x  2x  C
2
Pengertian
integral
2x  2
2x  2
2x  2
2x  2
PENGINTEGRALAN
DEFINISI
Integral adalah anti turunan, sehingga jika terdapat
fungsi F(x) yang kontinu pada [a,b] diperoleh :
d ( F ( x ))
 F '( x)  f ( x)
dx
Anti turunan dari f(x) adalah F(x)+C. Dinotasikan dengan :

f ( x )dx 
 F ' ( x )dx
 F ( x)  C
Fungsi asalKonstanta
(fungsi pokok)
Integran (yang diintegralkan)
unsur integrasi, dibaca “integral f(x) terhadap x”
INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
Berdasarkan definisi integral,
dapatkah dirumuskan bentuk umumnya?


x dx ?
x
x
3
n
n
x dx 
3
x
4
dx  ?
dx 
x
n 1
n 1
4
 c , jika n   1
C
INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
Berdasarkan definisi integral,
dapatkah dirumuskan bentuk umumnya?
 x

2

 x dx  ?

x  x dx 
2


x dx 
x
3
2
3

x
 xdx
2
C
2
Secara umum disimpulkan
 f
 g  dx 
 fdx   gdx
Integral Substitusi
Digunakan jika pengintegralan tidak dapat diselesaikan
dengan integrasi langsung, maka kita substitusikan
variabel baru sehingga pengintegralan dapat
diselesaikan.
INTEGRAL SUBSTITUSI
Contoh :
Tentukan : x x 2  4 dx
misalkan u  x 2  4 ,maka du  2 xdx
xdx 

 
  x
x x  4 dx 
2
x x 4
2


 u 
1 2
2 3
2

2
PERHATIKAN
1
2
dx
1
 4 2 xdx
1
du
2
2
3
u

du
2
C 
1
3
( x  4)
2
3
2
C
INTEGRAL PARSIAL
Integral Parsial adalah
cara penyelesaian integral
yang memuat perkalian fungsi,
tetapi tidak dapat diselesaikan secara
substitusi biasa.
 d (uv )   u dv   v du
uv 
uv   v du 
 u dv
u
dv


v
du

 u dv
 uv   v du
Contoh Integral Parsial :
Tentukanlah
 2 x ( 3 x  1)
4
dx
dengan menggunakan cara integral parsial !
 2 x ( 3 x  1) dx  ....
4
Misalkan
u  2 x maka
du
 2 sehingga
dx
dv  ( 3 x  1) dx
4
v
 ( 3 x  1) dx
4

1
v
1
.
1
3 4 1
15
( 3 x  1)
( 3 x  1)
5
4 1
du  2 dx
 u dv
 uv   v du
 2 x ( 3 x  1)
4
dx
 2 x.
1
( 3 x  1) 
5
15

2x
( 3 x  1) 
5
15

2x
15

2
2
15
( 3 x  1) 
5
1
 15
 2 x ( 3 x  1)
dx 
2
15
5
 ( 3 x  1) dx
5
2 1 1
5 1
. .
( 3 x  1)  c
15 3 5  1
x ( 3 x  1) 
5
15
4
( 3 x  1) . 2 dx
2
( 3 x  1)  c
6
270
x ( 3 x  1) 
5
1
135
( 3 x  1)  c
6
Selain itu …
Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah
Teorema Dasar
Sifat-sifat Integral Tertentu
Luas sebagai limit suatu
jumlah
Apakah cara
1
 1
f 2   2
2
 2
1
 1
f 1   1
2
 2
1 1
f 
2 2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
Hitunglah
Bagaimana
yangdaerah
anda
luas
apabila
gunakan
gambar
segitiga
yang
dibuat
dengan
seperti
berwarna
menghitung
ini?
luasbiru?
segitiga ?
Luas sebagai limit suatu jumlah
1
 1
f 2   2
2
 2
Luas Daerah segitiga
= L1 + L2 + L3
 f ( x1 )  x1  f
3

1
 1
f 1   1
2
 2
1
1
1
2
2
 x1
x2
2
f ( x1 )  x1
i 1
1 1
f 
2 2
1

2
1
2
 x3
3
Ingat rumus luas
(persegi
x 2 )  xpanjang,
 f ( x3 )  x3
2
bahwa panjang
dikalikan lebar,
L=pxl
Merupakan jumlah rieman,
yang memiliki persamaan
umum : n

i 1
f ( x1 )  x1
Teorema Dasar
Integral Tertentu
b

f ( x )dx   F ( x ) a  F ( b )  F ( a )
b
a
F(b)
F(x)
F(a)
ba :disebut
disebut
fungsi
Nilai fungsi
hasil
batasintegral
F(x)
atasuntuk
batas
bawah
xx
dari
==abf(x)
Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
Untuk mengetahui cara menghitung luas daerah bidang
Perhatikan contoh berikut ini.
Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
Contoh :
Hitunglah luas daerah antara
kurva : y  2 x  x 2 dan sumbu x.
Penyelesaian :
Perhatikan gambar di samping
Titik potong kurva dengan
sumbu x, maka y=0
y  2x  x  0  2x  x
 0  (2  x) x
 x  0 x  2
2
2
Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
2
L 

0
2
1 3
2 2
2 x  x dx  
x 
x 
3
2
0
2
1
 2
3 
 2 
( 2 )   0  0 
3


8

 4 
3



4
3
Satuan Luas
Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
y  f ( x)
b
LA 
a
a
b
b

f ( x ) dx
a b
L B    f ( x ) dx
a
a
y  f ( x)


b
f ( x ) dx
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Luas yang diarsir
adalah :
g(x)
y
f(x)
b

a
0
a
b
x
f(x)
g(x)

dx
PENGERTIAN BENDA PUTAR
Dari animasi yang telah kita
saksikan, apabila suatu bidang
datar yang diputar 360°
terhadap suatu garis, akan
terbentuk bidang putar (3
dimensi)
VOLUME BENDA DIPUTAR TERHADAP
SUMBU X
y
f(x)
a
x
b
b
Jika diputar terhadap sumbu
x, volumenya adalah
 f (x) dx
2
a