Transcript Integral Tak Tentu

pengertian integral
notasi integral
integral lipat
konstanta integral
integral volume
integral luasan
INTEGRAL
integral pecahan parsial
integral polynomial
integral standar
integral tak tentu
integral tentu
fungsi dari fungsi linear x
Selesai >>
Operasi
balikan dari
diferensiasi
f(x)
f’(x)
∫…dx
integral dari … terhadap x
• f(x) = x4+4
• f(x) = x4+8
• f(x) = x4
4
f(x)=x +C
f’(x)=4x3
f(x)
xn
∫f(x) dx
xn+1
n+1
1
x+C
a
ax+C
sin x
-cos x+C
cos x
sin x + C
sec2x
tan x + C
ex
ex +C
ax
ax ln a + C
1
x
ln x + C
Secara umum dinyatakan dengan :
∫ f’(x)dx = f(x) + c
Teorema –teorema integral tak tentu:
1
Jika r adalah sembarang bilangan rasional
kecuali -1 maka
r+1
x
∫ xr dx =
+C
r+1
∫sin x dx= -cos x +C
∫cos x dx= sin x + C
2
3
♥ ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
♥ ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
♥ ∫ [f(x) – g x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
4
r+1
(g(x))
∫ ( g(x) )r g’(x) dx=
+C
r+1
adalah integral dari suatu fungsi yang kontinu
untuk nilai-nilai tertentu dalam dalam batasbatas a≤x≤b.
Secara umum dinyatakan dengan :
b
 f ' ( x)  F (b)  F (a)
a
Teorema Kelinearan
b
a
b
a
b
∫ k f(x) dx = k a ∫ f(x) dx
b
b
∫ f(x) ± g(x) dx =a ∫ f(x) dx ±a ∫ g(x) dx
Teorema Perubahan
a
a
b
a
∫ k f(x) dx = 0
a
∫ f(x) dx =-b ∫ f(x) dx
Teorema Interval
c
∫
f(x)
dx
=
∫
f(x)
dx
+
∫
f(x)
dx
b
a
a
c
b
Teorema Dasar Kalkulus
Jika F adalah anti turunan diferensial dari fungsi f
dengan daerah asal Df={x|a≤x≤b} maka:
b
a
∫ f(x) dx = [F(x)]a = F(b)-F(a)
b
Variabel x digantikan oleh fungsi linear
x dalam bentuk ax+b.
y=∫ (3x+2) 4dx
y=∫ x4 dx
∫(3x+2)4dx
=
∫u4dx
u
=
3x+2
=
3
du
dx
dx
∫u4
du
3
=
=
=
=
du
3
1
3
1
3
∫u4du
.
1
15
1
5
u5 + C
(3x+2)5 + C
Fungsi polynomial diintegralkan suku demi suku
dengan konstanta integral individu ditetapkan
dengan satu simbol C untuk semua fungsi.
∫(cos 2x – 3sin x) dx
= ∫ cos 2x d(2x) - ∫ 3sin x dx
d(2x) = 2 dx
dx = ½ d(2x)
½ ∫ cos 2x.d(2x) = ½ sin 2x + C
Nilai ∫ (cos 2x – 3sin x) dx = ½ sin 2x + 3 cos x +C
Integral Pecahan Parsial
Cara-cara penyelesaian integral pecahan parsial:
1. Pembilang dari fungsi yang diberikan harus memiliki derajat yang
lebih rendah daripada penyebutnya.
2. Faktorkan penyebutnya menjadi faktor – faktor prima karena faktor
tersebut akan menentukan pecahan parsial.
3. Faktor linear dirubah menjadi pecahan parsial
Rumus untuk pecahan integral parsial :
4.
Faktor kuadratik
5.
Faktor
6.
Faktor
=
Integral Pecahan Parsial
• Daerah di atas sumbu x
• Daerah di bawah sumbu x
• Daerah di antara dua kurva
Integral Volume
Jika daerah yang dibatasi
oleh kurva y=f(x), sumbu x,
garis x=a, dan garis x=b
diputar mengelilingi sumbu-x
sejauh 3600, maka volume
benda putarnya adalah:
-3
-2
a
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 -1 0
-2
f(x)=x2+2
1
bb
2
b
3
Integral Volume
• Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=f(y), sumbu y, garis y=a,
dan garis y=b diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 3600, maka
volume benda putarnya adalah:
f(y)=y2+1
b
2
1
0
0
-1
a
-2
1
2
3
4
5
6
Integral Volume
Dibatasi dua buah kurva
Jika f(x)≥g(x) maka isi benda putar yang dibatasi
oleh kurva y1 =f(x) dan y2 =g(x) garis x=a dan
garis x=b diputar mengelilingi sumbu x sejauh
3600 adalah:
Integral Volume
Dibatasi dua buah kurva
Jika f(x)≥g(x) pada [a,b] maka isi benda putar
yang dibatasi oleh kurva x1 =f(y) dan x2 =g(y)
garis y=a dan garis y=b diputar mengelilingi
sumbu y sejauh 3600 adalah:
• Pernyataan
disebut integral lipat
dua (double integral) karena memiliki dua variabel
yang di integralkan dalam satu kesatuan.
• Cara pengerjaannya :
• Pertama-pertama f(x,y) diintegrasikan terhadap x
(dengan menganggap y konstan) dengan batas
x=x1 dan x=x2.
• Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y
dengan batas y=y1 dan y=y2
Integral lipat tiga
3
2
1
-
=
Tugas Matematika I
Teori Integral
Ibrahim Ghazi
L2C009006
Fachry Amin Nugroho
L2C009015
Yufidani
L2C009018
Wahida Nurhayati
L2C009032
Nugraha Bayu Samodra
L2C009035