Presentasi II-3 Integral Tak Tentu, Integral Tentu
Download
Report
Transcript Presentasi II-3 Integral Tak Tentu, Integral Tentu
Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini
1
Kuliah terbuka kali ini berjudul
“Pilihan Topik Matematika -II”
2
Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com
3
Sesi 3
1. Integral Tak Tentu
2. Integral Tentu
4
1. Integral Tak Tentu
Pengertian-Pengertian
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
dy
f (x)
dx
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini
disebut persamaan diferensial.
Contoh persamaan diferensial
dy
2 x2 5x 6
dx
d2y
dx2
6 xy
dy
3x 2 y 2 0
dx
5
Tinjau persamaan diferensial
dy
f (x)
dx
Suatu fungsi y F (x) dikatakan merupakan solusi dari persamaan
diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
dF( x)
f ( x)
dx
Karena d F ( x) K dF( x) dK dF( x) 0 maka
dx
dx
dx
dx
fungsi y F ( x) K juga merupakan solusi
6
dF( x)
f ( x)
dx
dapat dituliskan
dF( x) f ( x)dx
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
f ( x)dx F ( x) K
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
7
Contoh:
Cari solusi persamaan diferensial
dy
5x 4
dx
ubah ke dalam bentuk diferensial
dy 5x4dx
Kita tahu bahwa d ( x5 ) 5x 4dx
oleh karena itu
y 5 x 4 dx d ( x 5 ) x5 K
8
Contoh:
Carilah solusi persamaan
dy
x2 y
dx
dy x 2 y dx
y 1 / 2dy x 2dx
1/ 2
d 2y
y
1 / 2
1
d x 3 x 2 dx
3
dy
kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbeda
1
d 2 y1 / 2 d x 3
3
Jika kedua ruas diintegrasi
1
2 y1 / 2 K1 x3 K2
3
2 y1 / 2
1 3
1
x K 2 K1 x3 K
3
3
9
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk
memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
dy y K
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
ady a dy
3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan
menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan
(n + 1).
y n 1
y dy
K,
n 1
n
jika n 1
10
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan
bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak
tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
yi = 10x2 +Ki
y = 10x2 100
100
y
-3
-1
K3
K2
K1
50
50
-5
y
1
3
x
5
kurva y 10x2
adalah kurva bernilai tunggal
-5
-3
kurva
-1
1
3
x
5
10x 3
dx 10x 2 K
3
adalah kurva bernilai banyak
11
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Contoh:
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
v at 3t
kecepatan percepatan waktu
s;0tentukanlah
3
posisi
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah
benda pada t = 4.
Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
v
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
ds vdt
ds
dt
a
dv
dt
2
t
s . atdt 3 K 1,5t 2 K
2
Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
30 K
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K 3
s 1,5t 2 3
s4 27
12
Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y f (x)
sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:
Apx
y
Apx
y = f(x) =2
2
0 p
x
x+x
Apx 2x atau
lim
x 0
Apx
x
dApx
dx
f ( x) 2
x
q
Apx
x
2 f ( x)
Apx dApx 2dx 2 x K
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
0 2 p K atau K 2 p
A px 2 x 2 p
A pq 2q 2 p 2(q p)
13
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p x q
y
f(x+x )
f(x)
0 p
x
y = f(x)
x+x
q
x
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x
atau
Apx = f(x+x)x
Apx f ( x)x f ( x0 )x f ( x x)x
x0 adalah suatu nilai x yang
terletak antara x dan x+x
Jika x 0:
lim
x 0
A px
x
dApx
dx
f ( x)
A px dApx
f ( x)dx F ( x) K
Apq F (q) F ( p) F ( x) qp
14
2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep
dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
y
y = f(x)
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas
segmen
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+x)xk
15
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+x)xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
f ( xk )xk f ( x0k )xk f ( xk x)xk
n
n
n
k 1
k 1
k 1
f ( xk )xk f ( x0k )xk f ( xk x)xk
Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati
suatu nilai limit yang sama
Nilai limit itu merupakan integral tentu
16
y
y = f(x)
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Luas bidang menjadi
Apq
Apq
q
p
q
p f ( x)dx
f ( x)dx F ( x)qp F (q) F ( p)
17
Luas Bidang
Definisi
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai
x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Contoh: Luas antara y = x3 – 12x dan sumbu-x
dari x = 3 sampai x = +3.
y x 3 12x
x4
3
2
Aa
( x 12x)dx
6x
3
4
20
10
-4
-3 -2
0
-1 0
-10
-20
0
0
3
0 (20,25 54) 33,75
x
1
2
3
4
x4
3
2
Ab ( x 12x)dx
6x
0
4
3
3
0
20,25 54 (0) 33,75
Apq Aa Ab 33,75 (33,755) 67,5
18
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
A
q
p f (x)dx F (q) F p)
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian
baik di atas maupun di bawah sumbu-x
y
y = f(x)
A2
p
A3
A1
Apq
A4
q
x
q
p f (x)dx F (q) F p)
Apq A1 A2 A3 A4
19
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
y1 f1 ( x) berada di atas y2 f 2 ( x)
y
p
y1
x
0
y2
x+x
Rentang p x q
dibagi dalam n segmen
q
x
Asegmen Apx f1 ( x) f 2 ( x)x
Apx
jumlah semua segmen:
n
x q x
1
x p
Asegmen f1( x) f2 ( x)x
n
Dengan membuat n menuju tak
q
Asegmen f1 ( x) f 2 ( x)dx
hingga sehingga x menuju nol kita Apq lim
p
1
sampai pada suatu limit
20
Jika y1 4 dan y 2 2
Contoh:
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3.
Apq
3
2
(4 (2)dx 6 x32 18 (12) 30
Jika y1 x
Contoh:
2
dan y2 4
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
y2
y1 y2 x 2 4 x1 p 2, x2 q 2
4
y
y2
di atas
x
y1
y1
2
-2
-1
0
0
1
2
2
3
x
2
A pq
( 4 x )dx 4 x
2
3
-2
8
8 16 16 32
8 8
3
3
3
3
3
2
21
2
Jika y1 x 2 dan y2 x
Contoh:
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
y
Batas integrasi adalah nilai x pada
perpotongan kedua kurva
4
2
-2
-1
0
-2
y1
0
y2
-4
y1 di atas y2
1
y1 y2 x 2 2 x atau x 2 x 2 0
2
x
1 12 8
1 12 8
x1 p
1; x2 q
2
2
2
2
x3 x 2
2
Apq ( x 2 x)dx
2 x
3
1
2
1
2
8
1 1
2 4
2 4,5
3
3 2
22
Penerapan Integral
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan
konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh
piranti ini selama 8 jam ?
Contoh:
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan
energi diberi simbol w, maka
p
dw
yang memberikan w
dt
pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas
bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan
satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam
adalah
w
8
0
8
0
8
pdt 100dt 100t 0 800 Watt.hour [Wh]
0,8 kiloWatt hour[kWh]
23
Contoh:
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap
waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah
muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =
0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
i
dq sehingga q idt
dt
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
5
5
5
0,05 2
1,25
q idt 0,05tdt
t
0,625 coulomb
0
0
2
2
0
24
Volume Sebagai Suatu Integral
Berikut ini kita akan melihat penggunaan
integral untuk menghitung volume.
Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan
A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan V adalah
A( x)x V A( x x)x
q
x
Volume balok V adalah
V
A( x )x
p
luas rata-rata irisan antara
A(x) dan A(x+x).
Apabila x cukup tipis dan kita mengambil
A(x) sebagai pengganti maka kita
q
memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: V
A( x)x
p
Jika x menuju nol dan A(x)
kontinyu antara p dan q maka :
q
A( x)x A( x)dx
p
x o
V lim
q
p
25
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
P
y
Q
O
x
A(x) adalah luas lingkaran dengan
jari-jari r(x); sedangkan r(x)
memiliki persamaan garis OP.
x
m : kemiringan garis OP
h : jarak O-Q.
V
h
0
A( x)dx
h
0
r ( x) dx
2
h
0
m2 x 2dx
m 2 h3 (P Q/OQ)2 h3
h
Vkerucut
r 2
3
3
3
Jika garis OP memotong sumbu-y maka
diperoleh kerucut terpotong
26
Rotasi Bidang Sembarang
f(x)
y
0 a
A( x) r ( x)2 f ( x)2
b
x
x
V
b
a
f ( x)2 dx
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
f3(x)
f2(x)
y
f1(x)
0 a
b
x
x
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi
bagian. Pada gambar di samping ini
terdapat tiga rentang x dimana
fungsi linier kontinyu. Kita dapat
menghitung volume total sebagai
jumlah volume dari tiga bagian.
27
Kuliah Terbuka
Pilihan Topik Matematika II
Sesi 3
Sudaryatno Sudirham
28