Transcript 06 Integral-stt

6. INTEGRAL
1
6. 1 Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
F ' ( x)  f ( x)  x  I
Contoh
1 3
1 3
F ( x )  x dan F ( x )  x  C adalah anti turunan dari
3
3
f ( x)  x 2
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya
berupa suatu bilangan konstan.
Proses mencari anti turunan disebut juga proses pengintegralan. Hasilnya
disebut integral tak tentu(anti turunan) dari f
Notasi :
 f (x) dx  F (x)  C
2
6.2 Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
x r 1
1.  x dx 
 C , r  -1
r 1
r
2.  sin x dx  cos x  C
3.  cos x dx  sin x  C
4.  sec 2 x dx  tan x  C
5.  csc 2 x dx   cot x  C
3
B. Sifat Kelinieran
  a f ( x )  bg ( x ) dx  a  f ( x ) dx  b  g ( x) dx
C. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , du  g ' ( x)dx, dan F suatu anti turunan dari f,
maka
 f ( g ( x)) g ' ( x) dx   f (u ) du  F (u )  c  F ( g ( x))  c
Contoh : Hitung  sin  2 x  1 dx
Misal u = 2x + 1  du  2 x dx  dx  12 du sehingga
1
 sin2 x  1dx  2  sin u du
1
1
  cos u  C   cos 2 x  1  C
2
2
4
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi
yang diintegralkan) hanya fungsi dari u
Contoh : Hitung
Jawab : Misal
Maka
3
10
5
(
x

1
)
x
dx

du
 3x 2
dx
u  x 1
3
Integran
fungsi dr
u dan x
du
dx  2
3x
du 1 10 3
 ( x  1) x dx   u x 3x 2  3  u x du
3
Ctt : x Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu
3
10
5
10
5
konstanta
substitusi
x3
dengan menggunakan hubungan
u  x 1
3
x3  u 1
sehingga
3
10 5
10
11
10
1 12
1 11

u

(
x

1
)
x
dx

1
/
3
u
(
u

1
)
du

1
/
3
u

u
du
36
33 u  C



 361 ( x3  1)12  331 ( x3  1)11  C
5
6.3 Notasi Sigma (  )
Notasi sigma ( jumlah ) :
n
n
a
i 1
...
k  nk
 a1  a2  ...  an dan  k  kk

i
Sifat dan rumus sigma
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n suku
1.  k ai lbi   k  ai l bi
n
2.
i 
i 1
n
3.  i 2 
i 1
n(n  1)
2
n(n  1)(2n  1)
6
 n(n  1) 
4.  i 3  

 2 
i 1
n
2
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan
induksi matematika
6
6.4 Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang
dengan titik pembagian
a
a  x0  x1  ...  xn  b
ck
x1
xk 1 xk
xk
b
P  { a  x0 , x1 , x2 ,...,b  xn }
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
|| P || Maks | x k |, x k  x k  x k 1
1 k  n
3. Pilih
ck [ xk 1 , xk ] k = 1, 2, ..., n
7
4. Bentuk jumlah reiman
f (ck )
a
x2
xkc1k xk
b
n
 f (c ) x
k 1
k
k
xk
Jika || P ||  0 , maka diperoleh limit jumlah Riemann
n
lim
|| P||  0
f (ck ) xk

k
1
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan
Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg
b
n
n
 f (ck )xk
 f ( x) dx  lim  f (ck ) xk  nlim


|P||0 k 1
a
k 1
8
2
Contoh Hitung  x  2 dx
0
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang
x x
0
x1 x2
x
x
xi 1
x  n2
xi
xn1 2
sehingga
x0  0
x1  0  x  n2
x2  0  2x  2n.2
………………………
………………………
xi  0  ix  2ni
9
(ii) Pilih
ci  xi
(iii) Bentuk jumlah reiman
n
n
 f c x   
i 1
i
i
i 1
2i
n
 2
n
2
n

i 1

4i
n2

4
n

4
 2
n
n
4 n
i  1

n i 1
i 1
4  n( n  1 )  4
2


  n  2 
2 
2
n
 n
n
(iv) Jika n  

 2  n   2
 x  2dx  nlim

2
2
0
10
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]
maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah
yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x
antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
1. Sifat linear
b
b
b
a
a
  p f ( x)  q g( x) dx  p f ( x) dx  q  g( x) dx
a
2. Jika a < b < c, maka
c
b
c
a
a
b
 f (x ) dx   f (x ) dx   f (x ) dx
11
a
3.  f ( x ) dx  0
b
a
a
b
 f  x dx    f (x ) dx
dan
a
a
4. Bila f(x) ganjil , maka
 f ( x)dx  0
a
5. Bila f(x) genap, maka
a
a
a
0
 f ( x ) dx  2  f ( x ) dx
Contoh Hitung
3
4
2
x
x

x
 7 dx

Jawab
3
4
2
f (  x )   x (  x ) 4  (  x ) 2  7   x x  x  7   f ( x)
f(x) ganjil
3
x
x 4  x 2  7 dx  0
3
12
6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
6.6.1 TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka b
 f (x ) dx  F (b)  F (a )

a
Contoh Selesaikan integral tentu  sin  2 x dx

Jawab : Misal u = 2x 
du = 2 dx. Maka
Sehingga

2
1
 sin2 x dx   2 cos2 x
2

 /2
 sin 2 x dx  
1
cos 2 x
2
1
cos2  cos   1

2
13
Contoh hitung
5
 | x  2 | dx
1
Jawab :
14
6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam
[a,b], maka
x

Dx   f (t ) dt   f ( x)
a


Bukti: Misalkan F anti turunan dari f. Dengan TDK I, didapat
x
 f (t )dt  F ( x)  F (a)
Sehingga,
a
x


Dx   f (t )dt   Dx F ( x)  F (a)   F ' ( x)  0  f ( x).
a

15

.
Dari teorema (TDK I ) dan (TDK II) diatas dapat diturunkan rumus:
 u ( x)

1.
Dx   f (t )dt   f (u ( x))u ' ( x)


 a

 v( x)

2.
Dx   f (t )dt   f (v( x))v ' ( x)  f (u ( x))u ' ( x)


u
(
x
)


x
x 2 
2
Contoh : 1. G( x)  t 2 dt  G ' ( x )  D x   t dt   x


1

1

x2
2.
1
G ( x)   2
dt
t 1
4
x 1

1
2x
2


G ' ( x)  Dx  2 dt  2 2 Dx ( x )  4
 4 t 1  (x ) 1
x 1


2
16