x - Yogha Roxana
Download
Report
Transcript x - Yogha Roxana
MODUL V :
INTEGRAL TAK TENTU DAN
INTEGRAL TENTU
1
INTEGRAL TAK TENTU
Fungsi
Proses turunan
Diferensial
-------------------------------------------------------------------------------------------------------dy
dF ( x )
y=F(x)
dy=F′(x)dx=f(x)dx
F ( x ) f ( x )
dx
y=x4+10
dy
dx
dy
dx
d
dx
(x
4
10 ) 4 x
3
dy=d(x4) = 4x3 dx
d
(sin 2 x ) 2 cos 2 x
y = sin 2x
dy = d(sin2x) = 2cos2x dx
dx
dx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Diferensial
Proses anti turunan
Fungsi anti turunan
-------------------------------------------------------------------------------------------------------dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx
y=F(x) + C
F ( x )dx
d(x4) = 4x3 dx
d(sin2x) = 2cos2x dx
2 cos
3
f ( x )dx
4 x dx
4
d( x )
2 xdx
y=x4+c
d (sin 2 x )
y = sin 2x + c
--------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Rumus Umum Dasar Integral Tak Tentu
(1).
f ( x ) dx F ( x ) c
( 2 ). D x
f ( x ) dx f ( x )
dF(x) F(x) c
( 4 ). kf(x)dx k f(x)dx
[ f ( x ) g ( x )] dx
x
n 1
1
n
a ( n 1)
1
(11 ). sin axdx
f ( x ) dx
g ( x ) dx
n1
1
n
n 1
( 7 ) ( x a ) dx
(x a)
c
n1
1
n
n 1
( 8 ) ( a x ) dx
(a x )
c
n1
n
( 6 ) x dx
( ax b )
n 1
( b ax )
c
n 1
c
Rumus integral trigonometri
Rumus integral
Jika n bilangan rasional, n-1
1
a ( n 1)
(10 ) ( b ax ) dx
(3).
( 5 ).
1
n
( 9 ) ( ax b ) dx
c
(12 ). cos axdx
(13 ). sec
2
ax
a
1
a
1
a
cos ax c
sin ax c
tan ax c
(14 ). sec ax tan axdx
(15 ). csc
2
axdx
1
a
1
a
sec ax c
cot ax c
(16 ). csc ax cot axdx
1
a
csc ax c
3
Rumus aturan rantai
Jika u=g(x) dan du=g′(x) dx, dan n-1, maka
n
( 2 ). f [ g ( x )] g ( x ) dx
1
n
(1). [ g ( x )] g ( x ) dx u du
n1
u
n 1
c
5 ).
5
3
4
3
1) dx , u x
1
2
1/ 3
2 ). x 3 x 1 dx , u ( x 1)
3 ). x
4 ).
34
x
x
4 1 x
2
n1
[ g ( x )]
n 1
c
f (u )du F (u ) c F [ g( x )] c
Soal-soal
1). x ( x
1
1 dx , u ( x
dx , u (1 x )
2
6 ).
1/ 4
1)
7 ).
1/ 4
8 ).
x
3
5 1 x2
bx
2 1/ 5
dx , u (1 x )
7
a ( x 4 b )( a 1)
bx
5
3 ( x 2 a )4
bx
(x
2
dx , u ( x
b)
dx , u ( x
2
a)
dx , u ( x
2
a)
5
a)
4
1/ a
1/ 3
1/ 2
3
4
Integral Tertentu Luas Daerah R
Andaikan R daerah diatas sumbu x, dibatasi oleh y=f(x), axb
y
Partisilah interval tertutup [a,b] menjadi n
bagian, dengan panjang partisi, xi=xi+1-xi.
Luas empat persegi panjang ke-i adalah :
y=f(x)
A i f ( x i ) x i
R
f(xi )
x
a=x1
xi xi+1
Misalkan Sn adalah jumlahan n luas empat
persegi panjangnya, maka :
b=xn
n
Sn
f ( x i ) x i
Jumlah Reimann
i1
xi=xi+1-xi
A i f ( x i ) x i
Jika n membesar, maka xi0, maka :
n
f ( x i ) x i
n
A ( R ) lim
i1
5
Contoh
Hitunglah luas daerah R berikut ini
xi 2 i
Ambil, x i x i
6
n
Dengan demikian,
y
f(xi) = xi+2 =
4i
n
Sn
i1
x
a=2
b=8
Ambil partisinya adalah
xi
82
n
6
n n
f ( x i ) x i
i1
n
y=x+2
6
24
36
2
n
n
i1
66
4 i
nn
24
i
n
n
n
1 n2 i
36
i1
i1
2
36 n n
24
n
2
n
n 2
18
42
n
Jadi
18
lim
42
42
A(R) =
n
n
n
6
Jumlah Reimann
INTEGRAL TERTENTU
Andaikan f fungsi yang terdefinisikan
pada interval tertutup [a,b]. Partisilah
[a,b] menjadi n partisi, xi = xi+1 –xi,
dan misalkan xi adalah sembarang
titik pada [xi,xi+1]. Bentuk jumlahan :
Andaikan f fungsi yang terdefinisikan
pada interval tertutup [a,b]. Fungsi f
dikatakan dapat diintegralkan pada
[a,b], jika
f ( x i ) x i
|P | 0
lim
n
Rp
n
f ( x i ) x i
i1
i1
Jumlahan Rp diatas disebut jumlah
Reimann. Ilustrasi sebagai berikut
y
Y=f(x)
ada. Integral tertentu f dari a sampai
b dinyatakan oleh,
b
a f ( x )dx
Jadi :
b
x=b
x=a
x
n
f ( x i ) x i
a f ( x )dx |Plim
| 0
i1
1) f(x) disebut integran
2) a batas bawah dan b batas atas
7
Teknik Menghitung Integral Tentu
(1) Tentukan daerah definisi f
(2) Buat partisi P pada [a,b]
xi
ba
n
(3) Carilah rumus xi dan f(xi)
(4) Hitung jumlah Reimann :
n
Rp
Contoh 2 :
2
Hitunglah : ( x 3 x 2 2 x ) dx
1
Jawab
Sketsa grafik fungsi yang dimaksud
adalah sebagai berikut .
y
n
f ( x i ) x i f ( x i ) x i
i1
f(x) = x3-x2-6x
i1
(5) Hitung integral tentunya yakni :
n
b
f ( x i ) x i
a f ( x )dx |Plim
| 0
i1
x
a=-1
b=2
n
f ( x i ) x i
n
lim
i1
8
Menghitung integral tentu dengan definisi
Daerah definisi f(x)
Menghitung jumlah Reimann
[a,b] = [-1,2]
Panjang partisi P
xi
2 ( 1)
n
n
Rp
3
i1
n
Menghitung rumua xi dan f(xi)
3
x i 1 i x i 1 i
n
6
9 2
2
x 1 i
i
i
2
n
n
x
9
27 2 27 3
3
1 i
i
i
i
2
3
n
n
f(xi)
9
n
i
n
36 2 27 3
i
i
2
3
n
n
9
36 2 27 3 3
i
i
i
2
3
n
n
n
n
27
1
3
1
1
18
2
2
n
n n2
81
2
1
1
4
n n2
Menghitung integral tertentu
2
1
3
(x x
2
27
1
1
2
n
n
2 x ) dx lim
3
1
lim 18 2
n n2
n
27
2
81
2
1
1
4
n n2
36
81
4
9
4
9
TEOREMA DASAR KALKULUS
Rumus 1. Andaikan f kontinu pada
interval tertutup [a,b] dan andaikan F
sembarang anti turunan dari f di
[a,b]. Maka,
b
a
Rumus 3. Substitusi Integral Tentu
Andaikan g mempunyai turunan
kontinu pada [a,b], dan andaikan f
kontinu pada daerah nilai g, dan F
anti turunan fungsi f pada [a,b], maka
b
f ( x ) dx [F ( x )] a F ( b ) F ( a )
Rumus 2. Misalkan fungsi f kontinu
pada interval tertutup [a,b] dan
misalkan x sembarang titik dalam
[a,b]. Jika F fungsi yang didefinisikan
oleh,
F( x )
x
g (b )
a [ f ( g ( x ))] g ( x )dx g ( a ) f ( u )du
[ F ( u )]
a
f ( t ) dt
g (b )
F [ g ( a )] F [ g ( b )]
g (a )
Kasus khusus, jika n-1, maka :
x
maka :
d
b
b
n
n
xn
b a
n
x dx
n1
a
n 1 a
b
f ( t ) dt f ( x )
dx a
10
Contoh :
2
1 ( x
3
x
2
2
1 4 1 3
2
2 x ) dx
x x x c
4
3
1
3
4
3
(2 ) 4
(2 )
(
1
)
(
1
)
2
2
(2 ) c
( 1) c
3
3
4
4
8
9
16
1 1
4 1
3
4
4
4 3
4
1
x ( x 1 )dx
4
1
(x
3/2
x
1/2
4
2 5 / 2 2 3 / 2
)dx x
x
3
5
1
2( 4 )5 / 2 2( 4 )3 / 2
5
3
64
5
16
3
2
5
2
3
2 (1 ) 5 / 2 2 (1 ) 3 / 2
5
3
116
15
11
CONTOH
3
2
3
x
2
(x
Substitusi
4
1 ) dx
:
(1) u x
2
1, x
(2) Perubahan
2
u 1 , 2 xdx
du
batas
x
2,u (
2)
x
3 ,u (
3)
2
2
-1 1
-1 2
Jadi,
3
2
2
1
x
3
(x
2
(u 1 )( u
6
1 u
u 5
2
5
6
4
1 ) dx
4
3
2
x
2
(x
2
1)
4
x dx
1 2
1
5
4
)
du
(
u
u
)du
1
2
2
2
1 64
32
1
1
2 6
5
6
5
1
12
Soal-soal Latihan
4
(1)
2
x
x dx
x
2
1
3
(2)
0
2
(3 )
1
(4)
x
0
0
x
(5 )
0
2
(6)
0
5
dx , u ( x
3
x
33
x
3
1/ 2
(8 )
1)
x
2
a
1/ 2
2
x
(10 )
1)
dx , u ( 4 x 1)
0
(11 )
(12)
1
x
dx , u ( 7 x 1)
x ( 3 x 1)
2
1/ 3
1/ 2
2
0 3 7 x 1
1
2
4x 1
0
dx
x 4 3 x 1 dx , u ( 3 x 1)
1
(9 )
dx , u x 1
1 dx , u ( x
1
5
1
x ( x 1)
3
(7 )
x 1 dx , u ( x 1)
x
x2
2
x
2
2
x
4
5
x
3
3
x
2
3
(x
2
a
1/ 4
1/ 3
dx , u 3 x 1
1 dx , u ( x
3
1)
5
1)
4
dx , u ( x
2
1/ 2
1)
13
1/ 3
Integral Hasil Fungsi Logaritma
Rumus Dasar (1)
x
(2)
Tabel Integral
(1)
(2)
(3 )
(4)
(5 )
dx
ax b
x
ax b
1
a
1
x
a
x
u du ln | u | c
b
x
2
dx
a
2
( 8 ) cot xdx
( 7 ) sec xdx ln | sec x tan x | c
a
2
1
2a
ln
15 ). x
( 9 ) csc xdx ln | csc x cot x | c
2
a
xa
xa
ln | x
m
ln | csc x | c
ln | sin x | c
ln | ax b | c
x 2 a 2 dx 2 ln | x
dx
ln | cos x | c
1
1
x2 a2
( 6 ) tan xdx ln | sec x | c
dx ln | x | c
ln | ax b | c
dx
1
Trigonometri
n
x
2
2
| c
13 ).
c
a
ln x dx
2
x
| c
m 1
x
n
n
ln x
m1
n
ln x dx
x
x
m 1
2
x
a
m
ln
2
x
n1
n1
dx
n 1
ln x
x
2
x
n1
( n 1)
a
2
2
c
c
x dx c
14
Contoh :
Selesaikanlah integral tak tentu berikut ini
(1).
3x 5
x 2 6 x 16
( 2 ).
dx
Jawab :
(i). x2 + 6x – 16 = (x + 3)2 – 25
(ii). 3x – 5 = 3(x + 3) – 14
(iii). u = x + 3, du = dx
3x 5
x 2 6 x 16
dx
3 u 14
( x 3 ) 2 25
dx
14 du
u 2 25 du u 2 25 u 2 25
3
2
3
2
ln | u
ln | x
2
2
25 |
14
2(5 )
6 x 16 |
ln
7
5
u5
u5
ln
c
x2
x8
x
2
dx
8 x 20
Jawab :
(i). x2 – 8x + 20 = (x – 4)2 + 4
(ii). 6x + 8 = 6(x – 4) + 32
(iii). u = x – 4, du = dx
3 ( x 3 ) 14
3 udu
6x 8
c
6x 8
x
2
dx
8 x 20
6 u 32
du
4
6 u
2
4 32 ln | u
6 x
2
8 x 20
32 ln x 4
(x 4)
6 udu
2
u
6 ( x 4 ) 32
u
x
2
2
4
u
2
2
dx
4
32 du
u
2
4
4 | c
8 x 20 c
15
Rumus Integral Eksponensial Asli
1 ax
dx e
c
a
ax
u
n ax
(1). e
( 2 ). e du e
( 3 ). x e
u
Contoh :
x
e
Selesaikanlah
dx
2x
e
4
Jawab
Misalkan, u = ex, du = ex dx
c
n ax
dx
x e
a
n
a
x
n 1 ax
e
dx
e
e
2x
x
4
Contoh :
3
2 1 x
Selesaikanlah
x e
dx
Jawab
Misalkan, u = 1 – x3, du = –3x2 dx
2 1 x
3
x e
1
dx
1
3
e
1 x
3
ax
cos bx dx
a
2
1
x 2
u
2
4
2( 2 )
ln
4
ln
e
e
x
x
( e dx )
4
1
1
1
x
(e )
2
1 u
1 (1 x 3 )
e du
e c
e
c
3
3
3
12 ). e
( 3 x dx )
u
e
dx
du
u2
u 2
2
2
c
c
ax
b
2
( b sin bx a cos bx ) c
16
Integral Hasil Invers Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus
(1).
1
a
2
x
dx sin
2
1 x
c
a
1 x
cos
( 2 ).
1
a2 x2
dx
1
x
1
x
2
a
2
tan
a
( 3 ).
Contoh : Hitunglah
1
a
dx
c
a
1 x
cot
1
a
c
a
1 x
sec
c
a
1 x
c
a
1 x
csc
c
a
a
1
5x 6
7 6x x
2
dx
Jawab :
(1). 7 + 6x – x2 = 7 – (x2 – 6x + 9) + 9
= 16 – (x – 3)2
(2). 5x – 6 = 5(x – 3) + 15 – 6
= 5(x – 3) + 9
(3). u = x – 3, du = dx
Maka :
5x 6
7 6x x
( 5 u 9 )du
16 u
2
5 16 u
2
2
dx
5( x 3 ) 9
2
dx
16 ( x 3 )
5 udu
9 du
2
2
16 u
16 u
9 sin
1 u
c
4
2
1 x 3
5 7 6 x x 9 sin
c
4
17
6x 5
x 2 8 x 24 dx
Contoh : Hitunglah
Jawab :
(1). x2 – 8x + 24 = (x2 – 8x + 16) + 8
= (x – 4)2 + 8
(2). 6x – 5 = 6(x – 4) + 24 – 5
= 6(x – 4) + 19
(3). u = x – 4, du = dx
Maka :
6x 5
x 2 8 x 24
6 u 19
u2 8
6
2
ln | u
3 ln | x
2
2
dx
6 ( x 4 ) 19
( x 4 )2 8
dx
8|
2 2
tan
8 x 24 |
19
2 2
c
2 2
u
tan
1 x 4
3x 5
(x 5)
1
3x 5
x
2
dx
10 x 7
Jawab :
(1). x2 + 10x + 7 = (x2 + 10x + 25) – 18
= (x + 5)2 – 18
(2). 3x + 5 = 3(x + 5) – 15 + 5
= 3(x + 5) – 10
(3). u = x + 5, du = dx
Maka :
du
19
(x 5)
Hitunglah
c
2
2
2
x 10 x 7
3 ( x 5 ) 10
(x 5)
u
dx
(x 5)
3 u 10
2
2
dx
18
du
u 18
3 ln | u
10
3 2
u
2
sec
18 |
1
c
3 2
u
18
METODE SUBSTITUSI
Kasus 1. Integran Memuat Bentuk Persamaan Kuadrat
(1).
Ax B
x 2 bx c
dx
dan
( 2 ).
Substitusi :
i ). x
2
bx c x
2
b
bx
2
Ax B
2
x
2
dx
bx c
b
2
2
b
c x
2
2
b
c
2
2
b
b
ii ). Ax B A x B A
2
2
iii ). u x
Contoh : (1).
b
2
, du dx
4x 5
x 2 6 x 11
dx
dan
( 2 ).
5x 4
x
2
dx
8 x 10
19
( 3 ).
Ax B
c bx x
2
dx
i ). 9 6 x - x
Substitusi :
i ). c bx - x
Substitusi :
2
b
c
2
2
b
c
2
2
2
b
2
x bx
2
b
x
2
b
2
, du dx
Contoh :
4x 6
9 6x x
2
dx
6
9
2
2
6
x
2
18 ( x 3 )
2
2
ii). 4x + 6 = 4(x – 3) + 6 +12
2
= 4(x – 3) + 18
iii). u = x – 3, du = dx
b
b
ii ). Ax B A x B A
2
2
iii ). u x
2
Jadi :
4x 6
9 6x x
4 u 18
18 u
4 18 u
2
2
2
dx
4 ( x 3 ) 18
18 ( x 3 )
2
du
18 sin
1
c
3 2
u
20
dx
Kasus 2 : Integran memuat bentuk pangkat pecahan dari a + bx, yakni.
n
( a bx )
m
( a bx )
m /n
Substitusi :
1/ 3
i ). u ( x 2 )
Substitusi :
iii ). 4 ( x 2 )
a bx
Contoh :
m /n
u
4 3 ( x 2 ) 2 dx
4u
m
1
2
3u
2
4 3 ( x 2 ) 2 dx 4 u 2 du
1
3/2
Jadi :
n n 1
ii ). dx u
du
b
iii ).( a bx )
x2
2
1/ n
n
3
ii ). dx 3 u du
i ). u ( a bx )
u
,u
12
12
u2
3 du
ln
3u c
2
2( 2 ) u 2
4u
1/ 3
3 ln
(x 2)
1/ 3
(x 2)
2
2
1/ 3
3( x 2 )
c
21
Kasus 3 : Integran memuat bentuk pangkat pecahan dari a + bxn , yakni.
m
a bx
n
Substitusi :
i ). u ( x
Substitusi :
i ). u
u
m
ii ).bnx
x
m
a bx
n
a bx
n
n 1
dx mu
n 1
dx
m
bn
3
4 3 ( x 4 4 ) 2 dx
1/ 3
3)
,u
3
x
4
3
3 2
ii ). 4 x dx 3 u du , x dx u du
4
3
iii ). 4
m 1
du
u
m 1
du
2
3
(x
4
3)
3
2
4u
2
Jadi,
x
3
4
u
2
4 3 ( x 4 4 ) 2 dx 3 4 u 2 du
Contoh :
x
4
4
3
4
3
4
4 4
u2
1 du
ln
u c
2
3 2( 2 ) u 2
4u
3
ln
3
x
x
4
4
3 2
3 2
43
3
x
4
3 c
22
Soal-soal Latihan
Selesaikanlah integral tak tentu berikut ini
(1).
( 2 ).
( 3 ).
( 4 ).
( 5 ).
1
x 2b
a
bx
x
ax
4
x a ab
( 6 ).
(x a)
2/3
7
dx
( 7 ).
b
b 1
b (x
ax
a (x
x2
dx
1
(x
b
b
b)
a)
2/3
dx
( 8 ).
4 (x
ax
(x
b
b
b)
2/3
1
x b a
dx
dx
( 9 ).
a)
x 2a
(10 ).
b)
2/3
dx
2b 1
b 1 b
x
b
3
bx
4
dx
x 2b
2/3
dx
b
x
x b a
dx
x
x a ab
dx
23
11 )
12 )
ax
15 )
bx b
(x a) x
2
2 ax b
x 2b x a a b
ax b
2 ab 2 ax x
2
(x a) x
x
2 bx a
x
2
2 ax ab
dx
2 bx a
x
2
dx
2 ax ab
dx
dx
2 ax 2 ab
bx a
2
17 )
dx
2 ax b
2
16 )
dx
1
13 )
14 )
2
2 ax 4 ab
dx
24