Transcript Download! - ADCADesign

 f (x)dx =F(x)+ c
 dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan
f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c : konstanta
TEOREMA 1
Jika n bilangan rasional dan n
1, maka
, dengan c adalah
konstanta
TEOREMA 3
KELINIEARAN
Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan,maka
 f(x) ± g(x) dx =  f(x) dx ±  g(x) dx
TEOREMA 2
Jika f fungsi yang
terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka òk
f(x)dx=k  f(x) dx
TEOREMA 4
ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI
 cos( ax  b ) dx 
 sin( ax  b ) dx 

1
2
cos ( ax  b )
dx 
1
2
1
a
1
a
sin x  C
cos x  C
tan x  C
TEOREMA 1
 sin
xdx   cos x  C
 sec
2
xdx  tan x  C
 tan
x sec xdx  sec x  C
 cos
xdx  sin x  C
 csc
2
xdx   cot x  C
 cot
x csc xdx   csc x  C
TEOREMA 2
1
 cos axdx 
 csc axdx 
1
cos ax  C
 tan ax sec axdx 
tan ax  C
 cot ax csc axdx  
a
 sin axdx  
a
1
 sec axdx 
2
1
sin ax  C
a
2
cot ax  C
a
1
sec ax  C
a
1
csc ax  C
a
TEOREMA 3
1
sin( ax  b )  C
 csc ( ax  b ) dx 
 sin( ax  b ) dx  
1
cos( ax  b )  C
 tan( ax  b ) sec( ax  b ) dx 
 sec ( ax  b ) dx 
1
tan( ax  b )  C
 cot( ax  b ) csc( ax  b ) dx
 cos( ax  b ) dx 
2
1
a
a
a
2
cot( ax  b )  C
a
1
sec( ax  b )  C
a

1
a
csc( ax  b )  C
Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi
inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas
atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah
integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral
tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah
nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C
(konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.
Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat
dirumuskan sebagai berikut :
Jika f kontinu pada [a,b], maka
b

a
f ( x ) dx  [ F ( x )]
b
 F (b )  F ( a )
a
dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.
Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu antiturunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka
 f(g(x)) g'(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut
1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga
 f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du
2. Tentukan  f(u) du
Bentuk  sinn x dxdan  cosn x dx
Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan factor sin x
atau cos x, gunakan persamaan
Sin 2 x + cos 2 x = 1
Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut
berikut :
1  cos 2 x
1  cos 2 x
2
2
cos
x

sin x 
2
2
Bentuk  sinm x cosn x dx
Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan factor sin x atau cos x,kemudian
gunakan :
Sin 2 x + cos 2 x = 1
Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah
sudut berikut :
1  cos 2 x
2
1  cos 2 x
2
cos x 
sin x 
2
2
Bentuk  sinax cosbx dx ,  cosax sinbx dx ,  sinax sinbx dx ,  cosax cosbx dx
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan
berikut ini :
1. sin ax cos bx 
1
[sin (a  b)x  sin (a – b)x]
2
2. cos ax sin bx 
1
[sin (a  b)x – sin (a – b)x]
2
3. cos ax cos bx 
1
[cos (a  b)x  cos (a – b)x]
2
4. sin ax sin bx  -
1
2
[cos (a  b)x – cos (a – b)x]
Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat
menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial.
Misalkan u dan v adalah
fungsi yang dapat
dideferensialkan.
 u dv = u. v -  v du
Misalkan u dan v adalah fungsi
yang dapat dideferensialkan.
b
 udv
a
b
 [UV ]   vdu
b
a
a
Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu :
1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v =  dv
2. òu du harus lebih mudah diselesaikan daripada  udv
Untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva atau garis dalam suatu
selang
tertentu dapat digunakan Konsep Integral Reiman (Metode potong, hampiri dan
integralkan /
metode polygon).
3
Diketahui  ( 3 x 2
 2 x  1) dx  25 .
a
Nilai
1
2
a
=….
a. – 4
b. – 2
c. – 1
d. 1
e. 2
PENYELESAIAN
3
 ( 3 x  2 x  1) dx  x  x  x
2
3
2
3
a
 25 ( substitusikan nilai batas bawah dan atasnya )
a
(3  3  3 )  ( a  a  a )  25
3
2
3
2
39  a  a  a  25  0
3
2
 a  a  a  14  0
3
2
a  a  a  14  0
3
2
( jika kedua ruas dikalikan dengan ( – ) akan didapat )
( gunakan suku banyak untuk mendapatkan nilai a )
Untuk menentukan nilai a dapat dicari dengan menentukan faktor dari perkalian koefisien a3 dan a0
yaitu 1 dan –14. Faktor – faktor yang mugkin adalah : ±14, ± 7 , ±2, ±1 . Karena nilai a yang
memenuhi adalah 2 maka ilai ½ a = 1

 sin
Nilai
2 x . cos x dx  ....
0
a.

4
b.
3

1
1
c.
3
2
d.
3
e.
3
4
3
PENYELESAIAN


 sin
2 x . cos x dx   2 . sin x . cos x . cos x dx
0
( rubah ilai sin 2x menjadi 2 sin x cos x )
0

 2 . sin
2
( buat permisalan p = cos xKemudian diturunkandp = –sin x dx )
x . cos x dx
0

 2 p
2
dp  
2
p
3
 
0
3
0

2
3
cos x

0
3
Substitusi nilai batas atas dan bawahya

2
3
3
cos x

0
 (
2
3
cos  )  ( 
3
2
3
cos 0 )  ( 
3
2
3
(-1) )  ( 
3
2
3
(1) ) 
3
4
3
Hasil dari
 ( x  1). cos xdx  ....
2
a.
b.
c.
d.
e.
x2 sin x + 2x cos x + C
( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C
( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C
2x2 cos x + 2x2 sin x + C
2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C
PENYELESAIAN
 (x
2
diturunkan
Diintegralkan
X2 + 1
Cos x
2x
Sin x
+
2
– cos x
–
0
– sin x
+
 1). cos xdx  ( x  1) Sin x  2 x Cos x - 2 Sin x  C
2
 ( x  1  2 ) Sin x  2 x Cos x  C
2
 ( x  1) Sin x  2 x Cos x  C
2
• Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini
adalah …satuan luas.
a. 5
c. 8
2
1
b. 7
3
d.
9
e.
10
1
3
3
PENYELESAIAN
b
=
Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potong
kedua kurva.
Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x2
2x = 8 – x2
x2 + 2x – 8 = 0
(x+4)(x–2)=0
x + 4 = 0 atau
x–2=0
x = –4
atau
x=2
L= 
f ( x )  g ( x ) dx
a
2
=  (8 
=
x )  ( 2 x ) dx
2
0
2
8  x
2
 2 x dx
0
=
2
8x 
1
x  x
3
3
= {8 ( 2 ) 
= 16
=
9

8
3
1
3
2
0
1
2
3
2
( 2 )  ( 2 ) }  {8 ( 0 )  ( 0 )  ( 0 ) }
3
3
1
4
3
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0,
diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600.
Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.
a. 15 2 
c. 14 3 
e. 10 3 
3
b.
15
2
5
d.

14
5
2
5

5
PENYELESAIAN
y = x2 dan x + y – 2 = 0
(y=2–x)
Substitusi kedua persamaan
untuk mendapat titik potongnya.
x2 = 2 – x
x2 + x – 2 = 0
(x+2)(x–1)=0
x = – 2 atau x = 1
b
V= 
2
=   (2 
=  {( 4  2 
=  (2 
1

3
1
3
1
5
2
x)  ( x )
2
2
2
1
=  4  4x 

x
2
 x
=
( 21  6
=
14
4
dx
3
5
dx
2

2
5

)
1
x 
3
3
=  {( 4 (1)  2 (1) 2
f ( x )  g ( x ) dx
a
1
2
=  (4 x  2 x 2


1
5
x )
5
1
(1) 
3
3
1
1
1
2
(1) )  ( 4 (  2 )  2 (  2 ) 
2
5
)  (8  8 
5
 16 
5
3
8
3
8
3

32
5
)
1

32
5
)}
(2) 
3
1
5
(  2 ) )}
5