integral tak tentu dan tertentu i
Download
Report
Transcript integral tak tentu dan tertentu i
Integral Tak Tentu
dan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
•
f x dx F x c
notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz,
seorang matematikawan Jerman)
• f(x)
fungsi integran
• F(x)
fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c
konstanta pengintegralan
1 n 1
f x
x c
n 1
,n
• Jika f ‘(x) = xn, maka
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
f x dx F x c
• di mana
• dx
Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
• f(x)
Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c
Konstanta
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
1 n 1
n
, c adalah konstanta.
x
dx
x
c
n 1
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
kf x dx k f x dx
Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
f
x
g
x
dx
f
x
dx
g
x
dx
Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
f x g x dx f x dx g x dx
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
ux
r
1
t 1
u x c
u ' x dx
r 1
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
udv
uv
vdu
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
cos
xdx
sin
x
c
sin xdx cos x c
1
tan
x
c
cos2 x
• dimana c adalah konstanta.
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
1. 2 x ( x 2 4)5 dx ...
Jawab :
u = x2 + 4
du
du = 2x dx dx
2x
du
1 6
1 2
5
u 2x
u du u c ( x 4) 6 c
2x
6
6
2.
5
2 x 2 dx
x3 1
...( buatlatihan)
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
u.dv d (u.v) v.du
u.dv u.v v.du
yang
perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
v du
harus lebih mudah dari
u.dv
Contoh :
ln x dx
=
u.dv
Jawab :
u ln x
dv = dx
1
du dx
x
v=x
Jadi :
ln x dx
= xln x -
dx
= x ln x – x + c
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
a0 x a1 x
n
n1
a2 x
n 2
...... an1 x an
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
P( x)
H ( x)
Q( x)
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
2x 2 x 2
H ( x) 3
x 2x 2 x 2
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
x 4 10x 2 3x 1
3x 23
2
H ( x)
x 6 2
2
x 4
x 4
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P( x)
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
Q ( x)
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
Q( x) ( x a1 )(x a2 ).....(x an )
, maka
:
An
A1
A2
P( x)
.....
Q( x) ( x a1 ) ( x a2 )
( x an )
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
Q( x) ( x a) n
, maka
:
An
A1
A2
P( x)
.....
Q( x ) ( x a ) ( x a ) 2
( x a) n
3. Q(x) adalah kuadratis,
Q( x) (ax2 bx c)(dx2 ex f )
, maka
:
P( x)
Ax B
Cx D
Q( x) (ax2 bx c) (dx2 ex f )
contoh :
( x 1)
1. 2
dx ....
x x2
jawab :
x 1
A
B
A( x 1) B( x 2)
( x 2)(x 1) x 2 x 1
( x 2)(x 1)
2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A A = 1/3
x = -1 -1 – 1 = B(-1-2)
=
-2= -3B B = 2/3
Jadi,
1 dx
2 dx
( x 1)
x 2 x 2 dx 3 x 2 + 3 x 1
x=2
1
2
ln | x 2 | ln | x 1 | c
3
3
2.
( x 1)
dx ....
2
x 2x 1
x 1
A
B
A( x 1) B
2
2
x 1 ( x 1)
( x 1)
( x 1) 2
x=1
mis, x = 0
1+1=B B=2
0 +1 = A(0 – 1) + B
1=-A+2 A=1
Jadi,
( x 1)
x 2 2 x 1 dx
dx
x 1
dx
+ 2
( x 1) 2
2
ln | x 1 |
c
( x 1)
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
,
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
a 2 b2 x2 ,
2 2
2
a 2 b 2 x 2 , atau b x a
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk
a b x
2
2
2
a2 b2 x2
b2 x 2 a 2
Subtitusi
Memperoleh
a
sin z
b
a
x tg z
b
a2 b2 x2 a cos z
x
x
a
sec z
b
a2 b2 x2 a sec z
b 2 x 2 a 2 a tg z
contoh :
1.
,
9 4x2
dx ....
x
jawab :
3
x sin z
2
Jadi,
3
dx cos zdz
2
9 4x2 3 cos z
9 4x2
3 cos z 3
cos2 z
dx
( cos z dz) 3
dz
3
x
sin z
sin z 2
2
2
1 sin z
3
dz 3 cos ec z dz 3 sin z dz
sin z
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
3 9 4x2
3 ln |
| 9 4x2 c
2x
2.
dx
x2 4 x2
....
jawab :
,
x 2 tg z
dx 2 sec2 zdz
4 x 2 2 sec z
Jadi,
x
dx
2
2 sec 2 z
cos z
dz
dz
2
2
2
(
4
tg
z
)(
2
sec
z
)
4 sin z
4 x
2
1
1 d (sin z )
4
x
c
c
2
4 sin z
4 sin z
4x
Integral TerTentu
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
b
f ( x)dx
a
•
f(x)
a
b
: integran
: batas bawah
: batas atas
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
f ( x)dx F ( x)
a
F (b) F (a)
a
5
4
f ( x ) dx 0
a
b
a
a
f ( x ) dx f ( x ) dx
b
2
x
1 52 1 5
5
x
dx
x
2
2
2
2
5
5 2 5
1
32 32 0
5
2
a
5
x
1 55 1 5
5
x
dx
x
5
2
2
2
5
5
5
2
1
3125 32 618,6
5
5
b
b
5
4
2
x
1 2
1
x dx x 5 5 25 55
5
5
5 5
5
1
32 3125 618,6
5
2
5
4
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
5
x
1 55
2 5 x dx 5 5 5. 5 x 2
2
3125 32 3093
5
b
5
4
x
5
4
5
5
2
2
5 x 4 dx x 4 dx 5 x 4 dx
2
618,6 3093 3.7111,6
c
a
b
b
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
3
5
5
2
3
2
4
4
4
x
dx
x
dx
x
dx 618,6