Transcript MODUL 2 Kal 2

Integral Fungsi Rasional Pecah Rasional
f ( x)
Bentuk umum Integral Fungsi Rasional Pecah Rasional:  g ( x) .dx ,
Integral fungsi rasional pecah dibagi menjadi 4 bentuk sebagai berikut :
I. Jika g(x) merupakan faktor fungsi linier tidak berulang:
II
f ( x)
A
B
C
dx



 ( x  a)(x  b)(x  c)  x  a x  b x  c dx
Jika g(x) merupakan faktor fungsi linier ada yang berulang:
f ( x)
A
B
C
dx



 ( x  a)2 ( x  b)  x  a ( x  a)2 x  b dx
III, Jika g(x) merupakan faktor fungsi linier dan fungsi kwadrat:
f ( x)
A
Bx  C
dx


 ( x  a)(ax2  bx  c)  x  a ax2  bx  cdx
Jika g(x) merupakan faktor fungsi kwadrat yang berbeda”
f ( x)
Bx  C
Dx  E
dx


 (ax2  bx  c)( px2  qx  r)  ax2  bx  c px2  qx  r .dx
Dengan metode koefisien tak tentu dicari konstanta A,B,C, D dan E
Rumus Dasar Integral yang digunakan:
1.
dx
 1 / a ln ax  b  C
ax  b
2.
f `(x)
dx  ln f ( x)  C
f ( x)
3.
dU
1
U

.
arc
.
tg
C
U 2  a2 a
a
4.
dU
1
U a

.
ln
C
U 2  a 2 2a
U a
Contoh:
9x 1
1.
.dx
( x  3)(2 x  1)
9x  1
Jawab:
 ( x  3)(2 x  1) .dx
Kesamaan:
9x  1
A
B


( x  3)(2 x  1) x  3 2 x  1
=

A
B

.dx
x  3 2x  1
.
A(2 x  1)  b( x  3)
9x  1

( x  3)(2 x  1)
( x  3)(2 x  1)
Maka 9x-1 = A(2x-1) + B(x+3)
Untuk x=1/2 maka (9/2)-1 = 0 + B ( ½+3)
3½ =3½B B=1
Untuk x= -3 maka 27-1 = A(-3-3)
26= -6 AA= -26/6
9x  1
 ( x  3)(2 x  1) .dx 
26
 6  1 .dx
 x  3 2x 1
 26 / 6

1
1
dx  
dx
x3
2x 1
13
1
ln x  3  ln 2 x  2  C
3
2
.
2.
x
.dx
2
( x  2) ( x  4)
Jawab:
x
A
B
C
.
dx



 ( x  2)2 ( x  4)  x  2 ( x  2)2 x  4 dx
Kesamaan”
x
A
B
C



( x  2) 2 ( x  4) x  2 ( x  2)2 x  4
x
A( x  2)(x  4)  B( x  4)  C ( x  2)2

( x  2)2 ( x  4)
( x  2)2 ( x  4)
Maka x = A(x-2)(x+4) + B ( x+4) + C ( x-2)2
Untuk x =2  2= 0 + B ( 2+4)
2 = 6 B B = 1/3
Untuk x = -4  -4 = 0 + 0 + C ( -4-2)2
-4 = 36 C C =-1/9
Untuk x = 0  0 = A (-2)(4) +B4 + C (-2)2
0 = -8 A + 4/3- 4/9
-8/9 = -8 A A = - 1/9
x
 1/ 9
1/ 3
 1/ 9
.
dx



 ( x  2)2 ( x  4)  x  2 ( x  2)2 x  4 dx
= - 1/9 ln | x-2| - 1/3( x-2 )-1 – 1/9 ln|x+4| + C
2x  6
dx
2
(4 x  1)(x  1)
Jawab
3).
2x  6
A Bx  C
dx

 (4x 1)(x2  1)  4x 1  x2  1 dx
Kesamaan”
2x  6
A
Bx  C


(4 x  1)(x 2  1)
4x  1
x2  1
A( x 2  1)  ( Bx  C )(4 x  1)

(4 x  1)(x 2 1)
Maka 2x + 6 = A ( x2 +1) + (Bx+C)(4x-1)
Koefisien x2  0 = A + 4B  A= - 4B
--,,-x  2 = -B + 4 C
Koefisien Konstan  6 = A -C  6= -4B –C
24 = - 16 B – 4 C
2= -B +4C
_________________ +
26 = - 17 B
B = - 26/17  A = 104/17
4C = 2 + B 4C = 2 – 26/17
4C = 8/17 C = 2/17
2x  6
104/ 17 (26 / 17) x  (2 / 17)
dx

dx
 (4 x 1)(x 2  1)  4x 1 
x2 1

104 1
26
2
. ln 4 x  1  ln x 2  1  arc.tgx  C
17 4
34
17
.
2x  6
dx
2
2
( x  3)(x  1)
Jawab:
4).
2x  6
Ax  B Cx  D
dx

2
 ( x  3)(x  1)  x2  3  x2  1 dx
2
Kesamaan:
.
2x  6
Ax  B Cx  D

 2
( x 2  3)(x 2  1) x 2  3
x 1
2x  6
( Ax  B)(x 2  1)  (Cx  D)(x 2  3)
. 2
 .
( x  3)(x 2  1)
( x 2  3)(x 2  1)
Maka : 2x+6 = (Ax+B)(x2+1) + (Cx+D)(x2+3)
Menyamakan koefisien dari x ruas kiri dan ruas kanan:
Koefisien : x3 : 0 = A + C  A = - C
" - x2 : 0 = B +D  B= - D
- " - x : 2 = A + 3 C 2=-C+3C  2 C = 2 maka C = 1 dan A = -1
- " - konstan : 6 = B + 3 D  6 = -D + 3 D  D = 3 dan B = - 3
2x  6
 x  (3) x  3
dx

 ( x 2  3)(x 2  1)  x 2  3  x 2  1 dx
2x  6
(1 / 2)2 x  3 (1 / 2)2 x  3
dx

 ( x 2  3)(x 2  1)  x 2  3  x 2  1 dx
 1 / 2 ln | x^ 2  3 | 3
1
x
arc tg
 1 / 2 ln | x^ 2  1 | 3arctgx C
3
3
TUGAS :
Hitung integral fungsi di bawah ini :
1.
2x  7
dx
(2 x  5)(x  8)(3x  2)
2.
4x  9
dx
(5 x  8) 2 ( x  3)
3.
9x
dx
2
2
(2 x  3) ( x  1)
4.
1
dx
( x  3)(5 x 2  3x  8)
5.
dx
( x 2  3x  1)(6 x 2  4 x  8)