Transcript Chapter 9-10 Integral

MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL
PERTEMUAN KE-8,9
INTEGRAL
Oleh :
KBK ANALISIS
INTEGRAL
Mengapa kita perlu belajar integral?

Integral banyak digunakan untuk
menyelesaikan berbagai permasalahan.

Berikut ini, beberapa permasalahan yang
melibatkan integral
 Integral digunakan pada design Menara
Petronas di Kuala lumpur,
untuk perhitungan kekuatan
menara.
 Sydney Opera House di design berdasarkan
irisan-irisan bola. Banyak persamaan
diferensial diselesaikan (dalam
menyelesaikannya menggunakan integral)
pada design gedung tsb
 Integral dapat digunakan untuk menentukan
konsumsi energi listrik dalam satu hari di suatu
kota
Integral digunakan untuk menghitung
volume tong wine (wine-casks) dan
volume piramid
Crash tests

Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh
yang beresiko tinggi untuk terluka yg
menyebabkan kematian adalah kepala. Karena
itu, di dalam mobil perlu dipasang alat-alat
pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.

Untuk mendapatkan keefektifan sabuk pengaman
dan airbag dalam mengurangi resiko kematian
saat terjadi kecelakaan mobil, dilakukan
eksperimen-eksperimen yang sering disebut
dengan crash tests




Di dalam crash tests, banyak dilakukan perhitunganperhitungan yang melibatkan integral .
Resiko kepala terluka pada saat kecelakaan mobil
dikuantitatifkan dalam model matematika, dan model
pertama yg digunakan adalah Severity Index (SI)
T : lama perlambatan selama kecelakaan
a(t) : perlambatan pada waktu t


SI tidak terlalu akurat. Model selanjutnya yg
digunakan adalah HIC (Head Injury Criterion) yg
dimodelkan berdasarkan nilai rata-rata
percepatan a(t) pada interval waktu t1 ke t2
Untuk HIC dimodelkan sbb



Semakin tinggi nilai HIC, resiko kepala terluka yg
menyebabkan kematian saat kecelakaan, makin
tinggi.
Model tsb dimodifikasi lagi utk mempersingkat
perhitungan komputer, dg menggunakan
keluarga kurva
dg d=t2-t1


Untuk HIC tanpa airbag digunakan model
percepatan
Dan untuk HIC dg airbag digunakan model
percepatan

Grafik Ht,d utk beberapa nilai d




Diperoleh puncak tertinggi terjadi ketika d=50
dengan HIC
tanpa airbag HIC sekitar725
dengan airbag HIC sekitar 310
Design airbag terus diperbaiki dengan
menggunakan HIC dan crash tests th 1995
diperoleh nilai HIC sekitar 142
GAGASAN INTEGRAL
 integral bermula dari persoalan mencari luas bidang. Hal
Gagasan ini sudah dimulai lebih dari 2500 th yg lalu.
 Eudoxus (408-355 SM, Yunani) mencari luas dg metode
exhaustion. Prinsip metode ini adl mencari luas daerah
yg dibatasi kurva dg pendekatan daerah-daerah poligon
di dalam kurva.
 Archimedes (287-212 SM, Yunani) menunjukkan luas
area segment parabolic adl 4/3 luas segitida dalam
(inscribed triangle)
GAGASAN INTEGRAL
• Cavalieri ( 1635,Italy) dg metode Indivisible. Cavalieri
memandang kurva sebagai titik yang bergerak dan area
datar sebagai komposisi tak berhingga banyak garis.
• Misalkan utk daerah di bawah parabola y=x2, Cavalieri
mempertimbangkan luas daerah yg dibatasi oleh m
persegi panjang dengan lebar 1, dimulai dari titik ½ dan
berakhir pada titik m+1/2 . Gambar berikut menunjukkan
ilustrasi untuk m=5:
Gagasan Integral
• Cavalieri menyatakan luas area di bawah kurva y=x2 sebagai
rasio dari luas suatu area yg diketahui. Dalam hal ini ia
menggunakan luas area persegi panjang dg panjang m+1
dan lebar m2. Ia memperoleh rasio
1 2
2
2
3   m
m
2
 1 m
2
2
• Setelah menghitung rasio di atas untuk berbagai nilai m,
Cavalieri mendapatkan pola, bahwa rasio di atas sama
dengan
1
3

1
6m
Perhatikan bahwa ketika m membesar nilai rasio mendekati
1/3.
Gagasan Integral
• Fermat menghitung luas daerah diantara sb X dan kurva y=xq, q
bil rasional. Fermat mencari luas dg membagi daerah di bawah
kurva mjd persegi panj-persegi panj yg semakin mengecil ketika x
mendekati 0.
Gagasan Integral


Untuk memahami gagasan integral yg telah berkembang
selama ribuan th tsb, diberikan ilustrasi berikut :
Dihitung area S diantara sb X dan kurva y=x2 dr x=0
sampai x=1.
Area S dibagi mjd 4 pita S1 ,S2 ,S3 ,S4 . Luas setiap pita
dihampiri dg luas persegi panj-persegi panj yg alasnya
sama dg als pita.
GAGASAN INTEGRAL

Luas total persegi panjang tsb adl:
R4 =0,4687…
Apabila persegi panj-persegi panj yg digunakan sbb
maka diperoleh luas total persegi panjang
L4 =0,2187…Jika A adl luas area S, mk
0,2187…<A<0,4687…
GAGASAN INTEGRAL


Jk prosedur dilakukan dg membagi area S mjd 8 pita
Diperoleh Rn=0,3984… dan Ln =0,2734…, shg
0,2734…<A<0,3984…
GAGASAN INTEGRAL

Proses dpt diteruskan dg membagi area S mjd n pita
GAGASAN INTEGRAL



Tabel nilai Ln dan Rn utk
beberapa n
Dari tabel terlihat bahwa
semakin besar nilai n, nilai
A semakin mendekati 1/3.
Dg bahasa limit
n
Ln
Rn
10
0,2850
0,3850
20
0,3087
0,3587
30
0,3168
0,3501
50
0,3234
0,3434
100
0,3283
0,3383
1000
0,3328
0,3338
GAGASAN INTEGRAL

Kita terapkan gagasan ini untuk hal yg lbh umum, yaitu
utk kurva y=f(x) yg kontinu. Penggunaan ttk-ttk ujung
subinterval diganti dg sebarang titik diantara sub interval
tsb.
GAGASAN INTEGRAL


Luas area diantara sb X dan grafik y=f(x) dr x=a dan
x=b, adalah
dengan xi* sebarang titik di dalam interval [xi-1,xi]. Jika
lebar selang bagian tidak harus sama, maka perlu
dipastikan bahwa semua lebar tersebut mendekati 0
dalam proses limit. Ini bisa terjamin jika lebar terbesar
dari lebar-lebar semua interval bagian mendekati 0.
Gagasan Integral
Bentuk limit jumlahan seperti pada
persoalan luas juga muncul pada
persoalan lain seperti persoalan jarak.
Persoalan jarak
Misalkan sebuah benda bergerak dg kecepatan v=f(t),
dari t=a sampai t=b dg f(t) selalu positif. Ditentukan nilai
kecepatan pada saat t0=a, t1, t2,…,tn=b dg selisih waktuwaktu tsb selalu sama. Pada saat ti kecepatan benda tsb
kira-kira adalah f(ti). Jarak yg ditempuh selama selang
waktu [a,b] kira-kira adalah
n
f ( t 0 )  x  f ( t 1 )  x    f ( t n 1 )  x 

i 1
dengan
 x  x i  x i 1
f ( t i 1 )  x
Persoalan Jarak
Semakin sering kecepatan diukur (n
semakin besar), perkiraan jarak mjd
semakin akurat, sehingga jarak yg
ditempuh adalah
Integral tertentu
 Berdasarkan gagasan luas tsb didefinisikan
integral yg dinamakan integral tertentu. Fungsi
f didefinisikan pd [a,b], integral tertentu fungsi f
dr x=a sampai x=b adalah
dengan xi* di dalam interval [xi-1,xi] dan
 x i  x i  x i 1
Integral tertentu
 Konsep integral di atas,diperkenalkan oleh Bernhard
Riemann (1826-1866,Germany), dan selanjutnya
sering dinamakan dengan integral tertentu.
 Riemann memodifikasi konsep integral yang
diperkenalkan oleh Louis Cauchy (1789-1857). Di
dalam integralnya, Cauchy menggunakan titik-titik
x0,x1,,…,xn-1 untuk mendapatkan nilai fungsi f di setiap
sub interval. Riemann memodifikasi dengan
menggunakan sebarang titik di setiap sub interval.
Integral tertentu
 Sifat linear integral tertentu. Jika f dan g terintegral
pada interval [a,b] dan c konstanta, maka
 dan
Integral tak tentu
Sebelumnya, Isaac Newton (1642-1723) dan Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) secara terpisah,
memandang integral sebagai proses kebalikan
derivatif. Fungsi f pd [a,b] diintegralkan dengan
mencari fungsi F shg F’=f. Selanjutnya, fungsi F ini
dinamakan dengan antiderivatif atau integral tak tentu
fungsi f dan ditulis
Lambang integral tersebut diperkenalkan oleh Leibniz
Integral tak tentu
 Perhatikan bahwa, apabila F anti derivatif fungsi f,
maka F+C dengan C sebarang konstanta juga anti
derivatif fungsi f. Oleh karena itu, apabila F antiderivatif
fungsi f, maka secara umum ditulis

f ( x ) dx  F ( x )  C
 dengan C sebarang konstanta.
 Contoh :
2
3

x dx 
1
3
x C
 dengan C sebarang konstanta
 Jadi integral tak tentu hasilnya berupa
fungsi sedangkan integral tertentu
(integral Riemann) hasilnya berupa
bilangan.
Integral tak tentu
 Persoalan anti derivatif muncul dalam
berbagai persoalan, misalnya
 Ahli fisika yg mengetahui kecepatan partikel, ingin
mengetahui posisi partikel pada suatu waktu yang
diinginkan
 Insinyur yang dapat mengukur laju variabel pada
waktu air bocor dari tangki mungkin ingin mengetahui
banyaknya air yang terbuang pada periode waktu
tertentu.
 Ahli biologi yg mengetahui laju pertambahan populasi
bakteri, ingin menyimpulkan ukuran populasi pada
suatu waktu di masa depan.
Integral tak tentu
 Karena integral tak tentu merupakan kebalikan
derivatif, maka integral tak tentu (anti derivatif)
beberapa fungsi dapat diperoleh langsung
berdasarkan rumus-rumus derivatif. Beberapa
diantaranya :
Integral tak tentu
 Sifat linear integral tak tentu. Jika f dan g terintegral
pada [a,b] dan c bil real, maka cf dan f+g terintegral
pada [a,b] dan
Teorema Fundamental calculus
 Teorema Fundamental Calculus menghubungkan
antara kalkulus diferensial dengan kalkulus integral.
Kalkulus diferensial muncul dari persoalan garis
singgung, sementara kalkulus integral muncul dari
persoalan luas. Isaac Barrow (1630-1677), guru
Newton di Cambridge menyadari bahwa
pendiferensialan dan pengintegralan merupakan
proses timbal balik. Hub timbal balik ini digunakan oleh
Newton dan Leibniz (secara terpisah) untuk
mengembangkan Kalkulus mjd metode matematis yg
bersistem. Khususnya, mereka melihat bahwa
hubungan ini memungkinkan mereka untuk
menghitung luas area.
Teorema Fundamental Calculus.
 Newton dan Leibniz menemukan hub antara
derivatif dengan integral yg disebut Teorema
Fundamental Kalkulus, yaitu
dengan F’=f. Selanjutnya, F(b)-F(a) sering
dinotasikan dengan
F ( x ) 
b
a
Metode Pengintegralan
 Dengan Teorema Fundamental Calculus, menjadikan
perhitungan integral tertentu menjadi jauh lebih mudah
dibandingkan dengan menggunakan limit jumlahan
asalkan anti derivatif (integral tak tentu) nya diketahui.
Anti derivatif beberapa fungsi dapat diketahui langsung
dengan rumus derivatif, tetapi masih banyak sekali
fungsi yang anti derivatifnya tidak dapat diketahui
secara langsung dari rumus derivatif. Karena itu
diperlukan tehnik-tehnik (metode-metode)
pengintegralan, diantaranya substitusi, pengintegralan
parsial, pengintegralan fungsi pecah rasional, dan
pengintegralan fungsi iirasional.
Metode pengintegralan
 Metode substitusi berkaitan dengan aturan
rantai di dalam derivatif, yang dinyatakan
sebagai berikut
 Jk u=g(x) mempunyai derivatif dg rangenya
berupa interval I dan f kontinu pada I, maka
 f  g ( x )  g ' ( x ) dx  
f ( u ) du
Metode pengintegralan
 Pengintegralan parsial berkaitan dengan aturan hasil
kali di dalam derivatif. Aturan hasil kali menyatakan jk f
dan g fungsi yg memp turunan, mk
 Dlm notasi integral, pers menjadi
Metode Pengintegralan
 atau dapat dituliskan sebagai
 Jika u=f(x), v=g(x) maka du=f’(x)dx dan dv=g’(x)dx.
Jadi rumus pengintegralan parsial di atas mjd
Metode Pengintegralan
 Untuk mengintegralkan fungsi-fungsi rasional (fungsi
dlm bentuk perbandingan polinomial), pada prinsipnya,
fungsi rasional tersebut diubah menjadi jumlahan
fraksi-fraksi yg lebih sederhana yg dinamakan dg fraksi
parsial. Misalnnya persoalan integral
 Di ubah menjadi
Aplikasi Integral

Volume benda putar.
Pada mesin, banyak ditemukan benda-benda pejal
yang bentuknya dapat diimaginasikan sebagai hasil
perputaran suatu area, misalnya bagian-bagian di dalam
mesin bubut (lathe). Pada bagian ini, akan diberikan
gambaran bagaimana menetukan volume benda-benda
pejal seperti itu dg menggunakan integral
APLIKASI INTEGRAL


Volume benda. S benda pejal yg terletak diantara x=a
dan x=b.
Jk A(t) luas irisan S dg bidang x=t, mk volume benda S
adalah
Aplikasi Integral

Sebuah baji mrpkan hasil perpotongan sebuah silinder
berjari-jari 4 dg dua buah bidang datar. Salah satu
bidang tsb tegak lurus dg sumbu silinder, dan bidang
lainnya memotong bidang yg pertama dg sudut 30o
sepanjang diameter silinder. Volume baji tsb dapat
dihitung dg rumus volume di atas. Sumbu X diletakkan
sepanjang diameter silinder, tempat kedua bidang
pemotong bertemu, mk alas baji berupa setengah
lingkaran dg pers
Aplikasi Integral

Sebuah penampang melintang tegak lurus thd sb X
berjarak x dr ttk asal adl segitiga ABC spt tampak pada
gambar
Aplikasi Integral

Luas penampang ABC tsb adl

dan volume baji adalah
APLIKASI INTEGRAL


S benda pejal yg diperoleh dr memutar area dibatasi sb
X dan kurva y=f(x) dr x=a sampai x=b, b>a>0.
Volume S adalah
Aplikasi Integral
 Kerja/usaha (work). Di fisika, usaha terjadi ketika
gaya beraksi pada suatu obyek sehingga menyebabkan
perpindahan (Misalnya, mengendarai sepeda)
 Jika gaya tidak konstan, perlu digunakan integral untuk
mendapatkan besarnya usaha yang terjadi.
 dengan F(x) menyatakan gaya
APLIKASI INTEGRAL

Cth:Sebuah tangki berbentuk kerucut terbalik dg tinggi
10 m dan jari-jari alas 4m, diisi air sampai ketinggian
8m. Tentukan kerja yg diperlukan utk mengosongkan
tangki dg memompa seluruh airnya melalui bagian atas
tangki (kerapatan air = 1000 kg/m3 )
APLIKASI INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL



Gaya Hidroststik.
Cth:Sebuah bendungan memp bentuk trapesium spt pd
gb, dg tinggi 20 m, lebar di atas 50 m dan lebar di dasar
30 m.
Hitung gaya pd bendungan yg disebabkan oleh tekanan
hidrostatik jk permukaan air adalah 4 m dari atas
bendungan.
APLIKASI INTEGRAL

Dipilih sb X vertikal dg ttk asal dipermukaan air (lihat gb)
Aplikasi Integral

Integral dapat digunakan utk menentukan pusat massa
suatu benda. Titik P di mana sebuah keping tipis akan
seimbang secara horisontal sebagaimana diilustrasikan
pd gambar, disebut pusat massa keping tersebut.
Aplikasi Integral



Dua massa m1 dan m2 diletakkan pada kedua ujung
sebuah batang (massa batang diabaikan), masingmasing berjarak d1 dan d2 dari tumpuan (lihat gb).
Batang akan seimbang apabila
Ini mrpkan fakta eksperimental yg ditemukan oleh
Archimedes dan disebut Hukum Keseimbangan
Aplikasi Integral

Hukum Keseimbangan tsb dapat digunakan utk
mendapatkan pusat massa suatu area datar. Jk daerah R
terletak diantara dua kurva y=f(x) dan y=g(x) dg f ( x )  g ( x )
spt diilustrasikan pd gb
diperoleh pusat massa area R adalah x , y 
dengan
Aplikasi integral
 Hukum Coulomb menyatakan bahwa gaya tarik antara
dua partikel bermuatan berbanding langsung dengan
hasil kali muatan dan berbanding terbalik dengan
kuadrat jarak antara kedua partikel, sehingga dapat
ditulis :
 dengan q1 dan q2 dalam satuan coulombs (C), x dalam
satuan metre, gaya dalam satuan newton dan k suatu
konstanta positif.
Usaha yang diperlukan ketika kedua muatan saling
bergerak saling mendekati adalah
Aplikasi integral
 Prinsip Archimedes menyatakan bahwa gaya
apung terhadap sebuah benda yang terendam dalam
fluida, baik seluruhnya ataupun sebagian, sama dg
berat fluida yg dipindahkan oleh obyek tsb. Jadi utk
sebuah benda dg kerapatan  0 yg terendam
sebagian dalam fluida berkerapatan  f ,gaya apung
diberikan oleh
 dg g adalah percepatan gravitasi dan A(y) luas
penampang benda.
Aplikasi Integral
 Berat benda tsb adalah
 dan prosentase volume benda yg berada di
atas permukaan air adalah
Aplikasi Integral
 Prinsip Archimedes tersebut dapat
menjelaskan kenapa suatu kapal atau perahu
dapat terapung di atas air
APLIKASI INTEGRAL
►
►
Keluaran Kardiak jantung adalah volume darah yg
dipompa oleh jantung per satuan waktu, yaitu laju
aliran darah ke aorta. Metode pengenceran zat warna
digunakan utk mengukur keluaran kardiak.
Keluaran kardiak :
F 
A
T
 c ( t ) dt
0
►
dengan A jumlah zat warna yg disuntikkan ke dalam
serambi kanan.
REFERENSI
►
►
►
►
C.H Edwards, The historical development of the calculus, SpringerVerlag, 1979
F.E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Association of
America, 2007
C.B Boyer, the history of the calculus and its conceptual development,
Dover Publications, 1949
J.V Grabiner, The origins of Cauchy’s rigorous calculus, dover
Publications, 1981
►
►
►
J.S Bardi, The calculus wars:Newton, Leibniz and the greatest
mathematical clash of all time, Thunder’s mouth press, New York, 2006
J. Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999
http://www.intmath.com