Transcript Integral (1) Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral Integral Tak Tentu Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta.

Integral (1)
Cakupan Bahasan
Integral Tak-Tentu
Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Pengertian-Pengertian
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
dy
 f (x)
dx
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti
ini disebut persamaan diferensial.
Contoh persamaan diferensial
dy
 2 x2  5x  6
dx
d2y
dx2
 6 xy
dy
 3x 2 y 2  0
dx
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Tinjau persamaan diferensial
dy
 f (x)
dx
Suatu fungsi y  F (x) dikatakan merupakan solusi dari persamaan
diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
dF( x)
 f ( x)
dx
Karena d F ( x)  K   dF( x)  dK  dF( x)  0 maka
dx
dx
dx
dx
fungsi y  F ( x)  K juga merupakan solusi
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
dF( x)
 f ( x)
dx
dapat dituliskan
dF( x)  f ( x)dx
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
 f ( x)dx  F ( x)  K
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral
tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Contoh:
Cari solusi persamaan diferensial
dy
 5x 4
dx
ubah ke dalam bentuk diferensial
dy  5x4dx
Kita tahu bahwa d ( x5 )  5x 4dx
oleh karena itu


y  5 x 4 dx  d ( x 5 )  x5  K
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Contoh:
Carilah solusi persamaan
dy
 x2 y
dx
dy  x 2 y dx
y 1 / 2dy  x 2dx

1/ 2
d 2y
 y
1 / 2
1 
d  x 3   x 2 dx
3 
dy

kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan
mengandung peubah berbeda

1 
d 2 y1 / 2  d  x 3 
3 
Jika kedua ruas diintegrasi
1
2 y1 / 2  K1  x3  K2
3
2 y1 / 2 
1 3
1
x  K 2  K1  x3  K
3
3
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk
memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah
ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
 dy  y  K
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
 ady  a  dy
3. Jika bilangan n  1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah
pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

y n 1
y dy 
 K,
n 1
n
jika n  1
Integral Tak Tentu, Penggunaan
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan
bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal
melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki
oleh K.
yi = 10x2 +Ki
y = 10x2 100
100
y
-3
-1
K3
K2
K1
50
50
-5
y
1
3
x
5
kurva y  10x2
adalah kurva bernilai tunggal
-5
-3
kurva
-1

1
3
x
5
3
10x
dx  10x 2  K
3
adalah kurva bernilai banyak
Integral Tak Tentu, Penggunaan
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Contoh:
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
v  at  3t
kecepatan percepatan waktu
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah s0  3 ; tentukanlah
posisi benda pada t = 4.
ds
dt
dv
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, a 
dt
ds  vdt
t2
.
s  atdt  3  K  1,5t 2  K
2
30 K
K 3
Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
Kecepatan adalah laju perubahan jarak, v 

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s4  27
s  1,5t 2  3
Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y  f (x)
sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:
Apx
y
Apx
y = f(x) =2
2
0 p
x
x+x
Apx  2x atau
lim
x 0
Apx
x

dApx
dx
 f ( x)  2
x
q
Apx
x

 2  f ( x)

Apx  dApx  2dx  2 x  K
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
0  2 p  K atau K  2 p
A px  2 x  2 p
A pq  2q  2 p  2(q  p)
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p  x  q
y
f(x+x )
f(x)
0 p
x
y = f(x)
x+x
q
x
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x
atau
Apx = f(x+x)x
Apx  f ( x)x  f ( x0 )x  f ( x  x)x
x0 adalah suatu nilai x yang
terletak antara x dan x+x
Jika x  0: lim
x  0
A px
x

dApx
dx
 f ( x)

A px  dApx 
 f ( x)dx  F ( x)  K
Apq  F (q)  F ( p)  F ( x) qp
Course Ware
Integral (1)
Sudaryatno Sudirham