Transcript aplikasi integral

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN
Penggunaan Integral
y x
2
9
Matematika SMA/MA
Kelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan
Kurikulum Berbasis
Kompetensi (KBK)
Pendahuluan
Penggunaan Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada
1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut
runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.
Back
Next
Pendahuluan
Penggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk
partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok
bahasan menghitung luas daerah dengan
menggunakan integral.
Back
Next
Pendahuluan
Penggunaan Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Pendahuluan
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu.
Home
Gb. 4
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Pendahuluan
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y
y
4
3
0
x
2
x
1
x
2
Home
1
0
1
Back
2
Next
Metode Cakram
Volume Benda
Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Home
Back
Next
Volume Benda
Benda Putar
Metode Cakram
y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
f (x )
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V  r2h atau V   f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
a
x
x
y
limitnya, dan nyatakan dalam integral
h=x
diperoleh:
V    f(x)2 x
r  f (x )
V = lim   f(x)2 x
a
v    [ f ( x )]
0
Home
2
x
0
dx
x
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
y
Langkah penyelesaian:
2
y  x 1
1. Gambarlah daerahnya
x
h=x
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
1
2
2
r  x 1
x 1
x
2
x
x
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
x
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cakram
V  r2h
y
V  (x2 + 1)2 x
V   (x2 + 1)2 x
h=x
V = lim  (x2 + 1)2 x
2
V    (x
2
2
r  x 1
2
x
 1) dx
0
2
V    (x
4
 2x
2
 1) dx
x
0
V
2
5
3
1
2


 
x

x
 x
5
3
0
V   ( 32  16  2  0 )  13 11 
5
Home
3
15
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
y
Jawab
y x
Langkah penyelesaian:
2
2
1. Gambarlah daerahnya
y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x
y
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
Home
r 
y
h=y
y
x
Back
Next
Volume Benda
Benda Putar
Metode Cakram
V  r2h
V  (y)2 y
y
V   y y
V = lim  y y
2
2
V 
r 
  y dy
h=y
0
y
2
V  
 y dy
x
0
V  

1
2
y
2
y

2
0
V   ( 21  4  0)
V  2
Home
Back
Next
Metode Cincin
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
Home
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
Gb. 5
R
h
Home
r
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y x
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
y = 2x
4
x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
ambil limitnya, dan
x
2x
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
2
x2
x
2
x
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
y
V  (R2 – r2) h
y x
2
y = 2x
V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x
4
x
V   (4x2 – x4) x
V 
(4x2
–
x4)
R=2x
r=x2
x
V = lim   (4x2 – x4) x
2
V    (4 x
2
 x
0
V  

4
) dx
x
2
x
y

2
4 x3  1 x5
3
5
0
V   ( 32  32 )
3
5
x
V   ( 160  96 )
15
V  64 
Home
15
Back
Next
Metode Kulit Tabung
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
Home
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
r
r
h
h
V = 2rhΔr
2r
Home
Δr
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
Home
y  x
2
4
3
x
2
x2
1
x
0
x
1
2
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
y
y  x
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2
x2
1
1
h = x2
x
0
x
1
2
V  2rhx
V 
2(x)(x2)x
x
1
2
0
2
V  2  x
Home
2
3
dx
0
V  2
V   2x3x
V = lim  2x3x
1
 41 x 
4
2
0
V  8
Back
Next
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
V  (R2 – r2)y
y
y  x
V  (4 - x2)y
y
2
4
V   (4 – y)y
4
3
V = lim  (4 – y)y
3
4
R=2
2
V    4  y
2
r=x
0
y
1

1
V   4y 
x
0
x
1
2
x
-2
-1
0
 dx
1
2
1
2
y
2

4
0
V  (16  8 )
V  8
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Latihan (6 soal)
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
A
2

2
x dx
Y
D
0
B
4

Home
4

 (4
y dy
E
4
 (4
2
2
 x ) dx
0
0
C
2
y  x
4
2
 x ) dx
0
2
x dx
0
2
X
0
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
A
2

2
x dx
Y
2
 (4
D
0
B
4

0
C
4

4
 (4
E
2
2
 x ) dx
0
y dy
y  x
4
2
 x ) dx
0
2
x dx
0
2
X
0
Jawaban Anda Benar
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
2
2
L   ( 4  x ) dx
0
Home
( Jawaban D )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
A
B
2

2
x dx
2
 (4
D
0
0
4
4

y dy
4

 (4
E
0
C
Y
2
x
2
 x ) dx
y  x
4
4 - x2
2
 x ) dx
0
2
x dx
0
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
2
2
L   ( 4  x ) dx
0
Home
( Jawaban D )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4x
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
2
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4x
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
2
E 10 2/3 satuan luas
X
0
Jawaban Anda Benar
 L  (4 – x2) x
L   (4 –
x 2)
x
L = lim  (4 – x2) x
L 
Home
2
 (4
2
2
 x ) dx

L  4x 
1
3
x
3

2
2
L  (8  83 )  (  8  83 )
L 
32
3
 10
2
3
( Jawaban E )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4x
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
x
2
E 10 2/3 satuan luas
-2
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah
 L  (4 – x2) x
L   (4 –
x 2)
x
L = lim  (4 – x2) x
L 
Home
2
 (4
2
2
 x ) dx

L  4x 
1
3
x
3

2
2
L  (8  83 )  (  8  83 )
L 
32
3
 10
2
3
( Jawaban E )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas
D
B
E 10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
9 1/3 satuan luas
y  2x
C 8 satuan luas
0
Home
X
y 8x
Back
2
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas
D
B
E 10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y  2x
9 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas
0
2
X
y 8x
2
Jawaban Anda Benar
 L  (8 – x2 -2x) x
2
L   (8  x
2
L  16 
 2 x ) dx
0

L  8x 
Home
1
3
x
3
 x
2

L 
28
3
8
3
4
 9
1
3
( Jawaban D )
2
0
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas
D
B
E 10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
9 1/3 satuan luas
y  2x
C 8 satuan luas
0
2
X
y 8x
2
Jawaban Anda Salah
 L  (8 – x2 -2x) x
2
L   (8  x
2
L  16 
 2 x ) dx
0

L  8x 
Home
1
3
x
3
 x
2

L 
28
3
8
3
4
 9
1
3
( Jawaban D )
2
0
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
4,5 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
C
6 satuan luas
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
2,5 satuan luas
B
4,5 satuan luas
D
E
Y
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
1
X
0
C
6 satuan luas
-2
x y
2
x 2y
Jawaban Anda Benar
 L  [(2 – y ) – y2 ] y
L 
1
 (2
2

2
 y  x ) dy
L  2y 
Home
L  (2 
1
2
y
2

1
3
y
3
L 

9
2
1
2
 31 )  (  4  2  83 )
 4 ,5
( Jawaban B )
1
2
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
Y
A
2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
1
B
4,5 satuan luas
C
6 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
X
0
-2
x y
2
x 2y
Jawaban Anda Salah
 L  [(2 – y ) – y2 ] y
L 
1
 (2
2

2
 y  x ) dy
L  2y 
Home
L  (2 
1
2
y
2

1
3
y
3
L 

9
2
1
2
 31 )  (  4  2  83 )
 4 ,5
( Jawaban B )
1
2
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
4
A
v    x dx
B
v    x dx
C
Home
0
4
2
0
4
D
v  2  x
E
v  2   (16  y ) dy
Y
x dx
0
2
y 
X
2
0
0
X
4
2
v    y dy
0
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
4
4
A
v    x dx
B
v    x dx
C
0
4
2
0
D
v  2  x
E
v  2   (16  y ) dy
Y
x dx
0
2
y 
X
2
0
0
X
4
2
v    y dy
0
Jawaban Anda Benar
 V  2xx x
4
V  2  x
0
Home
x dx
( Jawaban D )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
4
4
v    x dx
D
0
v  2  x
Y
x dx
0
2
B
C
4
2
v    x dx
E
0
y 
X
2
v  2   (16  y ) dy
x
0
0
2
v    y dy
x
X
4
0
Jawaban Anda Salah
 V  2xx x
4
V  2  x
0
Home
x dx
( Jawaban D )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A 4 satuan volum
B
6 satuan volum
C
8 satuan volum
Home
D
E
Y
12 satuan volum
15 satuan volum
2
0
y 
X
X
4
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A 4 satuan volum
D
B
6 satuan volum
C
8 satuan volum
E
Y
12 satuan volum
15 satuan volum
2
0
y 
X
X
4
Jawaban Anda Benar
 V  (x)2 x
V  
4

x dx
0
V  

V  8
Home
1
2
x
2

4
0
( Jawaban C )
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Y
A 4 satuan volum
D
12 satuan volum
2
B
C
6 satuan volum
E
y 
15 satuan volum
X
x
0
x
X
4
8 satuan volum
Jawaban Anda Salah
 V  (x)2 x
V  
4

x dx
0
V  

V  8
Home
1
2
x
2

4
0
( Jawaban C )
Back
Next
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi
Terima Kasih