Transcript 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

HOŞGELDİNİZ…
NEGATİF SAYILARA İLİŞKİN
ZORLUKLAR,KAVRAM
YANILGILARI VE BU
YANILGILARIN
GİDERİLMESİNE YÖNELİK
ÖNERİLER
KAZANIMLAR













Negatif sayı nedir?
Negatif sayıların müfredattaki yeri
Negatif sayılara ilişkin zorluklar ve kavram yanılgıları
Negatif sayıların kavramsallaştırılmasına ilişkin zorluklar
Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerine ilişkin zorluklar
Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerine ilişkin zorluklar
Kavram yanılgılarında öğretmen bilgisi
Çoklu gösterim modüllerinin kullanılması
Negatif sayıları anlamlı öğrenmeye yönelik yöntem ve öneriler
Negatif sayıların anlamlandırılması
Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin anlamlandırılması
Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin anlamlandırılması
Sonuç
GİRİŞ
İlköğretim 1. kademe süresince sadece doğal
sayılarla işlem yapmaya alışkın olan öğrenciler için
negatif sayıları anlamlandırmak kolay bir süreç
değildir.Bu anlatımda negatif sayıların tanım ve
önemine ,kısaca tarihçesine,bu sayıların
öğreniminde ve öğretiminde karşılaşılan güçlükler
ve bu güçlüklerle kavram yanılgılarının nasıl
giderilebileceğine dair konulara değinilmiştir.
NEGATIF SAYI NE DEMEKTIR?

Van De Walle (2007) negatif sayıları doğal sayılar
üzerinden tanımlamıştır.Rönesans dönemi gibi yakın
bir dönemde rastlanır.Descartes negatif sayıların
varoluşunu imkansız olarak belirtmiş ve kendi
oluşturduğu koordinat düzlemde sadece pozitif yön
kullanmıştır.Halbuki sayılar sadece miktar göstergesi
değil aynı zamanda sayı doğrusu üzerinde hareket
olarak düşünülmekte farklı bir deyişle pozitif sayılar
sağ yöne, negatif sayılar ise sol yöne hareket olarak
tanımlanmaktadır.
NEGATIF SAYILARIN KISACA TARIHÇESI

Crowley ve Dun(1985) negatif sayıların tarihçesine ilişkin eski
dönem matematikçilerinin negatif sayılardan haberdar
olmalarına rağmen onları reel sayı olarak kabul etmek
istemediklerini ve bu sayıları anlamlandırmada
zorlandıklarını belirtmişlerdir.16.yy sonlarında ve 17.yy
başlarında negatif sayıları kabul etmemiştir.18.yy da
matematikçiler bu sayıların özelliklerini ispat etmeye
çalışmışlardır. Negatif sayıların ve eksi ile eksinin çarpımının
artı olduğunu kabul görmesi 19. yüzyılı bulmuştur.
Günümüzde ise negatif sayılar matematik derslerinde adı
geçen bir kavram olmanın ötesinde günlük yaşamda da
karşımıza çıkmakta ve böylece bir çok kişi okuldaki formal
eğitim sürecinden önce negatif sayılara ilişkin farkındalık
geliştirmektedir.
NEGATIF SAYILARIN MÜFREDATTAKI YERI
Hativa ve Cohen (1990)çocukların formal olarak negatif
sayılara ilişkin aldıkları eğitim öncesinde de pozitif
olmayan sayı ve miktarlara karşı sezgilere sahip
olduklarını gösteren çalışmaların olduğunu belirtir.
Örneğin Azze (1989)yaptığı çalışmada bir çok 4 ve 5.
sınıf öğrencisinin eksi işareti ile ilk kez karşılaştıklarında
bu işareti yadırgamadıklarını ve sayı doğrusu üzerinde
sıfırın solundaki sayıları incelerken ve bu sayılara ilişkin
belli işlemleri yaparken zorluk yaşamadıklarını
belirtmiştir. Benzer şekilde Murray (1985) ilköğretim 2.
kademe öğrencileri yanı sıra ilköğretimde ki 1.
kademedeki öğrencileri de negatif sayılara ilişkin
bilgilere sahiptir ve bu sayılara ilişkin işlemleri doğru
yapabildikleri belirtilmiştir.
Öğrenciler günlük yaşamda bir çok sezgisel bilgiler
geliştirseler de formal anlamda bu sayılara ilişkin ilk
kavramsal bilgiler 6. sınıfta verilmektedir. Negatif
sayılar ilköğretim 6. sınıf matematik kitabında ‘sayılar’
öğrenme alanının altında ‘Tam Sayılar ve Tam Sayılarda
İşlemler’ alt öğrenme olarak karşımıza çıkar(MEB,2008)
Tamsayılara ilişkin kazanımlar ise ;tam sayıları açıklar
,mutlak değerin anlamını açıklar,tamsayıları karşılaştırır
ve sıralar,tam sayılarda toplama ve çıkartma işlemi
yapar.
 Bir çok matematik eğiticisi negatif sayıların müfredatta
hangi seviyede yer alması gerekliliğine dair görüşlerini
sunmuş ve bu düşüncelerine ilişkin gerekçelerini
belirtmişlerdir.


Murray (1985)negatif sayıların 4.sınıfta tanıtılmasını
uygun olacağını hatta basit toplama (-4+-3)
işlemlerinin kuralsız anlatılabileceğini
savunmuştur.Buna paralel olarak Hativa ve Cohen
(1995)negatif sayıların erken dönemde (4
ve5.sınıf)pozitif sayı sisteminin uzantısı şeklinde
öğretilmesi gerekliliğini savunmuştur.Hativa ve
Cohen(1995)’e göre negatif sayılara ilişkin belli
kavram ilköğretim seviyesinden itibaren
tanıtıldığında ileriki yaşlarda oluşabilecek kavram
yanılgılarının önüne geçilebilecektir.

Negatif sayılar ve negatif sayılara ilişkin işlemler
öğrenciye ne zaman öğretilmelidir sorusu hala netlik
kazanmamıştır. Ne var ki hazırlanan yeni ilköğretim
matematik müfredatında 6. sınıfa kaydırılan tam
sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapar kazanımı
Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu
Başkanlığınca ilköğretim matematik dersi (18.sınıflar)öğretim programında yapılan değişikler
raporunda tekrar 7. sınıfa kaydırılmış(MEB,2009)6.
sınıfta ise öğrencilerin bu sayılara ilişkin
farkındalıklarının artırılması amaçlanmıştır.

Negatif sayıların hangi sınıf seviyesinde yer
alması gerekliliği , öğrencilerin gelişim süreçleri
de gözönünde bulundurularak
değerlendirilmelidir.Başka bir deyişle öğrenciler
formal eğitim süreçleri öncesinde her ne kadar
negatif sayılara ilişkin sezgisel bilgilere sahip
olsalarda bu sayılarla işlemlere yönelik
kavramsal bilgilerin gelişmesi için onlara daha
geniş aralıklı zamanlar verilmesi gerekmektedir.
NEGATIF SAYILARA ILIŞKIN ZORLUKLAR VE KAVRAM
YANILGILARI

Doğal sayılar ve kesirlere oranla ,öğrencilerin
negatif sayıları nasıl anlamlandırdıkları ve onlarla
işlem becerilerinin nasıl geliştiği üzerine
literatürde çok az sayıda çalışmaya
rastlanmaktadır(NRC,2001).bir çok öğrencinin
sadece kuralları temel alıp bu konuları
kavramlaştırmadan ezberledikleri v4e bu yüzden
bir çok lise öğrencisinin bile negatif sayılarla işlem
yapmada zorluk yaşadıkları
belirtilmiştir(Bruno,Espinel
Martinon,1997;Kucheman,1980).
NEGATİF SAYILARIN KAVRAMSALLAŞTIRILMASINA
İLİŞKİN ZORLUKLAR
Negatif sayılara ilişkin yaşanan en büyük zorlukların başında hiç
kuşkusuz bu sayıların anlamlandırılamaması ve kavratılamaması
gelmektedir.
Fischbein bu zorlukların ana kaynağını aritmetik öğretimi sırasında
sayılara ilişkin ‘’büyüklük’’ve ‘’miktar’’ kavramlarının kullanımının
negatif sayılardaki kullanımı ile çatışması olarak belirtir.
Örneğin, 1kg elma ile 5kg elma arasında karşılaştırma yapan bir
öğrenci miktar olarak 5kg elmanın daha çok olduğunu, aynı mantıkla 1
rakamı ile 5 rakamını karşılaştırdığında ise 5 rakamının daha büyük
olduğunu belirtir.Bu mantıkla hareket eden bir öğrenci -1 ile -5
arasında da aynı ilişkiyi kurmakta ve -5’in büyüklük ve miktar olarak 1’den daha büyük olduğunu savunmaktadır.
Negatif sayıların büyüklüklerinin karşılaştırılmasına ilişkin Ball ise
mutlak değer kavramının işin içine girdiğini ve bu durumun bazı
öğrenciler için karmaşık bir hal alabileceğini belirtmiştir.
Fischbein ve Ball’un çalışmalarından da anlaşılacağı gibi öğrencilerin
negatif sayıları karşılaştırırken yaşadıkları zorlukların ve yaptıkları
hataların temelinde pozitif sayılara ilişkin özelliklerin negatif sayılara
da genellenebileceği kavram yanılgısı vardır.
NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA
İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR
Negatif sayılara ilişkin bir diğer önemli zorluk ise bu sayılarla
yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde ortaya çıkmaktadır.Negatif
sayılarla işlem yaparken şüphesiz karşılaşılan en büyük sorun
öğrenciler için daha önce sadece toplama ve çıkarma işlemlerini
temsil eden ‘’+’’ ve ‘’-’’ sembollerinin kullanımıdır.
Özellikle ,iki sembolün aynı anda kullanımı öğrencilerin
kafasındaki bu karışıklığı arttırmaktadır.Örneğin ,[(+3)+(-7)]
işleminde toplama ve çıkarma işlemlerinin yan yana kullanılması
ve bir işlemde aynı sembole birden çok yer verilmesi (+ sembolü
iki kez kullanılmış) öğrencilerin bu işlemleri anlamalarını ve
kavramalarını zorlaştırmaktadır.
Bilindiği gibi öğrenciler negatif sayılara giriş yaparken öncelikle
‘yönlü sayılar’ kavramını öğrenmekte ve bugüne kadar
edindikleri bilgiye ek olarak kullandıkları ‘’+’’ ve ‘’-’’
sembollerinin artık sadece toplama ve çıkarma işlemine değil
aynı zamanda sayıların yönlerini belirtmekte de kullanıldığını
öğrenirler.
Başka bir deyişle , öğrenciler pozitif ve negatif sayılara ilişkin bir
işlemle karşılaştıklarında sayıların önündeki sembollerin sayının
yönünü mü yoksa işlemin kendisini mi ifade ettiğini kavramakta
zorlanırlar.Örneğin, en basit olarak [+1-2] işleminde öğrenciler ‘’-’’
sembolünün 2 sayısının yönünü mü yoksa çıkarma işlemini mi
temsil ettiğini ayırt edemezler.
Öğrencilerin negatif sayılarda işlemlere ilişkin yaşadıkları
diğer bir zorluk ise mutlak değeri aynı olan iki sayının
toplanmasıdır. Van de Walle öğrencilerin -4 ile +4 ün toplamının
neden sıfır olduğunu anlamakta zorlandıklarını ve bazı öğrencilerin
cevabın -8 veya 8 olması gerektiğini düşündüklerini belirtmiştir.
Yapılan diğer çalışmada ,Hativa ve Cohen öğrencilerin negatif
sayıları anlamada ve işlem yapmakta zorlandıklarını vurgulamış ve
negatif sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken öğrencilerin
yaptıkları hataları ve işleme verdikleri olası cevapları şöyle
sıralamışlardır:
A. Sıfırdan pozitif bir sayının çıkarılması [0-x , x>0 ] ,Olası
cevaplar: x, 0 , 10-x
Örnek olarak verirsek , öğrenciler [0-4] işleminin sonucunu 4,0
veya 6 olarak hesaplamaktadırlar.
B.Pozitif bir tam tamsayıdan daha büyük bir pozitif tamsayının
çıkarılması [x-y, y>x >0], Olası cevaplar: y-x, x+y, -(x+y),x,y
Örneğin, [3-8] işleminin sonucu 5,11,-11,3 veya 8 şeklinde
yorumlanmaktadır.
C.İki negatif sayının toplamı [-x+y,x>0, y>0], Olası cevaplar: x-y , -(x-y),
x+y, x
Örneğin, [-3+8] işleminin sonucu öğrenciler tarafından 5,-5,11 veya 3
olarak bulunmuştur.
D.Pozitif bir sayının negatif işaretlisi ile toplanması [-x+x,x>0],Olası
cevaplar: 2x, x
Örneğin: [-3+3] işleminin sonucunda öğrenciler cevabı 6 veya 3 olarak
bulmaktadırlar.
E.Pozitif bir sayının kendisinden daha büyük olan bir sayının ters
işaretlisine eklenmesi [-x+y, x>y>0], Olası cevaplar: x-y, x+y, -(x+y),x,y
Örneğin, öğrenciler [ -8+3] işleminin sonucunu 5,11,-11,8 veya 3
şeklinde bulmaktadırlar.
NEGATİF SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME
İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR
Yapılan literatür taraması negatif sayılara ilişkin toplama ve çıkarma
işlemlerinin yanı sıra öğrencilerin bu sayılarla çarpma ve bölme
işlemleri yaparken de zorluk yaşadıklarını göstermiştir.
Buna paralel olarak,’İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.’ açıklaması
tamsayılarda çarpma ve bölme işlemlerine genellenerek ‘aynı işaretli
sayıların çarpımı veya bölümü her zaman pozitif, farklı işaretlilerinki
ise negatiftir.’ açıklaması ile öğrencilere verilmektedir.
Ne var ki,
yukarıdaki açıklama her ne kadar net bir ifade olarak görülse de
öğrencilerin çarpma ve bölme işlemine yönelik yaşadıkları zorluk veya
yaptıkları işlem hatalarını engelleyememektedir.
Öğrenciler bir pozitif ve bir negatif sayıyı çarparken [Örneğin,8x-3
veya -3x8] sayıların yönünü ifade eden sembolleri
anlamlandıramadıklarından, işlemi doğal sayılarda çarpma işlemi
olarak yorumlayıp sonucu 24 olarak bulmaktadırlar.Buna benzer
olarak ‘Çarpma işleminde sonuç her zaman çarpanlardan daha
büyüktür.’ Kavram yanılgısına sahip olan öğrenciler sonucu 24
olarak bulma eğilimindedirler. Başka bir deyişle, iki negatif sayının
toplamının yine negatif bir sayı olduğunu kavrayan bir öğrenci
aynı mantığı iki negatif sayının çarpımına da genellemekte ve
sonucun negatif olması gerektiği yanılgısına düşmektedir.
Yukarıda belirtilen zorluklar ve işlem hataları negatif sayılarda
bölme işlemi yaparken de karşımıza çıkmaktadır.
Örneğin, öğrenciler negatif ve pozitif sayılarda bölme işlemi yaparken
[Örneğin, -8:2] çarpma işlemindeki gibi sayıların yönünü belirten
işaretleri yok sayıp cevabı 4 olarak bulmaktadırlar.
Yukarıda da belirtildiği gibi öğrencilerin negatif sayılarda çarpma
ve bölme işlemleri yaparken doğal sayılardaki genellemeleri
kullanmaları ve bu işlemlerin ardındaki kavramsal bilgiye
ulaşamamaları onları işlem hataları yapmaya yöneltmektedir.
KAVRAM YANILGILARINDA ÖĞRETMEN
BİLGİSİNİN ÖNEMİ
Hiç şüphe yok ki öğrencilerde oluşan bu kavram yanılgılarının
giderilmesinde en önemli faktörlerden biri de öğretmen ve
öğretmen adaylarının konu alan ve pedagojik alan bilgileridir
Konu alan bilgisi iyi olan öğretmenlere duyulan ihtiyaç, son
yıllarda eğitimcilerin ilgilerini öğretmenlerin alan bilgilerine
çevirmelerine neden olmuştur.
Öğrencilerin konuyu anlaması öğretmenin gerekli kural ve
bilgileri vermesinden ibaret değildir. Alan bilgisi ‘’kuvvetli’’ olan
öğretmenler derslerinde yüzeysel bilgi ve kurallar yerine detaylara
iner, konuyu diğer konularla ilişkilendirir ve kitaba bağlı kalarak
onu işlemezler.
Diğer yandan ise, alan bilgisi zayıf olan öğretmenlerin genellikle
matematiksel doğruları ve gerçekleri mantıksal açıklamalar
yapmadan bulunmuş kurallar şeklinde sunmayı ve ders planlarına
bağlı kalarak ders anlatmayı tercih ettikleri saptanmıştır.
Ne var ki, sadece iyi bir alan bilgisine sahip olmak konuyu en
etkin bir şekilde sunabilmek için yeterli değildir.
Öğretmenlerin sahip oldukları bu matematiksel bilgileri en güçlü
gösterimler kullanarak öğrenciler için anlaşılabilir ve kullanılabilir hale
getirmeleri gerekmektedir.
Başka bir deyişle, birçok matematik eğitimcisi öğretmenlerin
matematiksel kavramları iyi bilmelerinin yeterli olmadığını aynı zamanda
bu bilgilerin öğrencilere en etkin bir şekilde aktarılabilmesinin
gerekliliğini savunmuştur.
Buna paralel olarak, Milli Eğitim Bakanlığı ‘nın matematik özel alan
yeterliklerinde öğretmenlerin sayılar, geometri,ölçme, olasılık ve
istatistik ile cebire yönelik alan bilgisine sahip olmaları ve bu bilgileri
öğretim sürecinde etkin bir biçimde kullanabilmenin önemi belirtilmiştir.
Shulman en genel anlamda pedagojik alan bilgisini ‘’matematiksel
fikir ve kavramların en etkin bir şekilde temsili, güçlü benzeşimler,
matematiksel örnek ve açıklamalar, yani konunun diğer kişilerin
anlayabilmesi için en iyi şekilde sunumu’’ olarak tanımlar.
Demek ki , yukarıdaki bölümlerde belirtilen negatif sayılara ilişkin
öğrencilerin yaşadıkları zorluklar ve kavram yanılgılarının
giderilebilmesi için öğretmenlerin ve öğretmen adaylarının öncelikle
bu zorluklara ve yanılgılara ilişkin farkındalıklarının aktarılması
gerekmektedir.
Başka bir deyişle, negatif sayılara ilişkin kavramsal bilgisi
kuvvetli olan, öğrencilerin bu konuya ilişkin yaşadıkları zorluk ve
sahip olabilecekleri kavram yanılgılarının farkında olan ve de bu
yanılgıları etkin öğretim materyalleri kullanarak giderebilecek
öğretmen ve öğretmen adaylarına ihtiyaç vardır.
Shulman ve Grossman ın da belirttiği gibi öğrencilerin bu
zorlukları yenmelerinde ve kavramları öğrenebilmelerinde etkin
öğretim materyallerinin ve farklı temsillerin önemi büyüktür.
ÇOKLU GÖSTERIM MODELLERININ KULLANILMASI
Lesh, Post ve Berh ( 1987) matematiksel öğrenme ve
problem çözme sürecinde 5 belirgin gösterimden bahsetmiştir.
Bunlar ;
1. Gerçek yaşam durumları- bilginin gerçek yaşamdan alındığı
durumlar
2. Manipülatifler, kesir çubukları, sayı pulları vb.
3. Resim ve diyagramlar- sayı doğrusu, alan modeli vb.
4. Sözlü semboller-günlük yaşam dili
5. Yazılı semboller- matematiksel özel cümleler ve ifadelerdir
Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli(LÇGGM) olarak da bilinen
model aşağıda verilmiştir.
Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli
Manipülatifler
Gerçek yaşam
durumları
Yazılı semboller
Resim ve
diyagramlar
Sözlü semboller
Berh ve diğerleri (1983) Lesh modelini Bruner’in enaktif, ikonik ve
sembolik modlarını genişleterek oluşturmuşlardır. Lesh modelinde,
gerçekçi bir matematiksel problem genellikle gerçek yaşam
durumlarından belirtilen gösterim sisteminin içerisine alınıp, bu
gösterimin sistemimde belli dönüşümler-den geçilerek bazı çözüm
yolları
üretilip
tekrar
gerçek
yaşam
durumu
ile
ilişkilendirilmektedir.Modelde ayrıca bir problemin birçok gösterim
biçimi kullanılarak çözülebileceği ve resim veya somut materyallerin
gerçek yaşam ve yazılı sembol gösterimleri arasındaki geçişi
kolaylaştırmada kullanılabileceği vurgulanmıştır.Aynı kavramın farklı
gösterimlerle sunulması şüphesiz öğrencileri farklı ve yaratıcı
düşünmeye ve alternatif çözümler üretmeye güdüleyecektir.
Öğrencilerin konuya ilişkin ilgi ve isteklerini artırmada da önemli rol
oynayacağına inanılmaktadır.Konun farklı temsillerle sunumunun
birçok öğrenciye ulaşmada ve konunun kavratılmasında etkili olabilir.
Ne var ki, matematiksel kavramların farklı temsillerle oluşturulacak etkin bir öğretim ortamında öğrenciye sunulmasında
öğretmen bilgisinin önemi unutulmamalıdır.Öğretmen gerek
günlük yaşam problemleri, gerek manipülatifler gerekse yazılı
semboller yardımıyla kavratacağı konuları iyi bilmeli, bu temsiller arası geçişte öğrencilere rehber olabilmeli ve oluşacak
zorluk ve kavram yanılgılarının önüne geçebilmelidir.
Negatif Sayıları Anlamlı Öğrenmeye Yönelik
Yöntem ve Öneriler
Bu alt bölümde öğrencilerin negatif sayıların kavramlaştırılmasına yönelik yaşadıkları zorluklar ve sahip olduğu kavram
yanılgılarının giderilmesi için önerilen yöntemler ile bu yöntemlerin hangi durumlarda daha etkin olabilecekleri tartışılmıştır.
Negatif Sayıların Anlamlandırılması
Öğrencilerin negatif sayılara ilişkin yaşadıkları zorlukların
başında bu sayıları kavrayamamaları gelmektedir.Ball (1990)
öğrencilere negatif sayıları öğretmenin onların günlük yaşamdaki sayısal miktarlar ile formal matematik anlamaları arasındaki köprüyü kurma girişimi olarak değerlendirir.Negatif sayıların öğretiminde ilk adım hiç kuşkusuz bu sayılara neden ihtiyaç duyulduğunun öğrencilere hissettirmesidir.Bunu bir örnekle açıklarsak, Altun(2008) boy, kütle ve hacim gibi kavramlarda bahsederken bu kavramlara ilişkin değerlerin sıfırın altında olmayacaklarının ancak sıcaklık ve zaman gibi kavramlar
düşünüldüğünde aynı durumun geçerli olmadığını belirtmiş
böylece negatif sayılara olan ihtiyacı ortaya koymuştur.
Negatif sayıları öğretirken en önemli amaçlardan birisi negatif
sayıların büyüklüklerine ilişkin sezgiler geliştirmek, bu sayıların
özelliklerini kullanarak işlemler yapmak ve eksi işaretinin
belirsizliğini ortadan kaldırmaktır.Bu sebeple, Ball(1990) negatif
sayıları anlatırken iki önemli bileşenin; büyüklük ve yön
kavramlarının öneminin vurgulanması gerektiğini belirtmiştir. Başka
bir deyişle, negatif sayıların bir şeyin miktarının tersi ( Örneğin, -5’in
5 TL’lik eldeki paranın tersi yani borç için yapılan bir gösterim) veya
sıfıra göre konum belirtmek için (Örneğin -5’in, sıfırdan 5 birim sola
doğru olan uzaklık için yapılan gösterim) kullanılabileceği
belirtilmiştir.
Ülkemizde, MEB’in 6. sınıf için hazırlanan kitaplarda öğrencilere
buz, su, termometre, hava sıcaklığı gibi günlük yaşam örneklerinden
yararlanılarak tamsayıların kavratılması amaçlanmıştır.
Negatif sayılara ilişkin sayıların işaretlerin neden “+” ve neden
“-” olduğunu tartışılması gerekliliğini vurgulanmıştır. Örneğin,
sıcaklığın sıfırın altında 6 derece olmasının, 10 TL kar veya
15TL zararın veya bir alışveriş merkezinde -3. katın ne anlama
geldiği öğrencilerle tartışılmalı böylece öğrencilere bu sayıların
sıfıra yakınlığı ve uzaklıkları hissettirilmelidir. Buna ek olarak,
öğrencilere sayıların önüne konan “+” ve “-” işaretlerin aslında
işlemlerin değil de sayıların yönünü belirten işaretler olduğu
hatırlatılması gerekliliği belirtilmiştir. Ayrıca, pozitif ve negatif
sayıların sayı doğrusu üzerinde modellenmesine geçilmeden
bu sayıların sıfıra yakınlıklarının sezdirilmesinin öğrencilerin bu
sayıları kavramalarında etkili olacağına inanılmaktadır.
Buna paralel olarak, literatürde negatif sayıların kavratılmasına
ilişkin bir çok metafordan yararlanılabileceği belirtilmiş ve bunların
başlıcaları asansör ve termometre üzerindeki pozitif ve negatif
sayıların anlandırılması, alacak-verecek veya kar zarar durumunun
pozitif ve negatif sayılarla ilişkilendirilmesi ve sayı doğrusu üzerinde
artı ve eksi yönü belirten okların kullanılması olarak gösterilmiştir.
Janvier (1983) çalışmasında, Ball (1990)’un negatif sayıların iki
önemli birleşenini denge ve sayı doğrusu modeli olarak açıklamış ve
her iki modelin de avantaj ve dezavantajlarını belirtmiştir. Denge
modelinde sayılar iki zıt kavramı temsil etmektedir. Bu modelde
toplama işlemi birleştirme, bir araya getirme çıkarma işlemi ise
uzaklaştırma, çıkarma veya tersini eklemek anlamında
kulanılmaktadır.
Müfretadımızda da kulanımına sıkça yer verilen sayı pulları bu
model içerisinde yer almaktadır. Negatif sayılarda toplama ve çıkarma
işlemi yapılırken öğretmenler sayı pullarını etkin bir şekilde
kullanabilirler. Farklı bir ifade ile öğretmenler öğrencilerin pozitif
sayılarla işlem yaparken kullanmaya alışık oldukları sayı pullarını bu
sefer negatif sayılarla işlem yapmak için kullanabilir ve bu sayede
öğrencilerin pozitif ve negatif sayılarla dört işlem becerilerin
gelişimine katkıda bulunabilirler.
Janveir’in (1983) belirttiği diğer model ise sayı doğrusu modelidir.Bu modelde sayılar sayı doğrusu üzerinde konum ve
pozisyonları ile veya bu doğru üzerindeki uzaklıkları ile tanımlanırlar.Toplama işlemi bu pozisyon veya uzaklıkların birleştirilmesi
veya sağ yönüne hareket olarak, yorumlanır. Çıkarma işlemi ise
uzaklıkların farkının alınması, ters yöne dönüş veya sol yöne hareket
olarak yorumlanır.
İlk öğretim öğrencileri için negatif sayıların anlandırılmasında hangi
modelin daha etkili olduğu tartışılmıştır. Diğer bir deyişle, yapılan
çalışmalarda ,negatif sayıların kavratılmasında veya tam sayılarda
işlemler yaparken bazı modellerin diğerlerinden daha avantajlı olduğu
vurgulanmıştır.Örneğin NCTM (1989) 5-8 sınıf seviyelerindeki
matematik müfredatlarında negatif sayıların karşılaştırılmasında sayı
doğrusu modelinin daha etkin olduğunu savunmuştur.
Fischbein (1987) ise yaptığı çalışmada negatif sayıların ve bu
sayıların cebirsel özelliklerin tümüne ilişkin bir model olmadığından
bu sayıların öğrencilere tanıtılmasında en basit ve onların alışık
oldukları bir model olan sayı doğrusu modelinin kullanılması
gerekliliğini savunmuştur
Human ve Murray da (1987)negatif sayıları sezgisel ve doğru
biçimde gösterebilmek için seçilebilecek en uygun strajenin pozitif
tam sayılarla birlikte kurulabilen benzeşimler olduğunu belirtmiş ve
sayı doğrusu modelin, savunmuştur. Bu sonuçlara paralel
olarak,yapılan diğer çalışmalarda ise ilköğretim seviyesindeki
öğrencilere negatif sayıların gerçek yaşam durumları içerisinde
somutlaştırılarak öğretilmesinin çok faydalı olmayacağı, bu yüzden
bu seviyedeki çocuklar için en uygun modelin sayı doğrusu modeli
olduğu savunulmuştur.
Özet olarak diyebiliriz ki, negatif sayıların kavramlaştırılmasında
öğrencilerin bu sayıların anlamlarına ve büyüklüklerine yönelik
yaşadıkları zorluklar ve sahip oldukları kavram yanılgı-larının
giderilmesinde birçok model ve gösterimden yararlanılabilmektedir.
Lesh
modelin
de
belirtildiği
gibi
negatif
sayıların
kavramlaştırılmasında, gerçek yaşam durumları (örneğin, asansör,
borç ve alacak), manipülatifler(sayı pulları), resim ve diyagramlar(sayı
doğrusu) gibi çoklu gösterim modellerinden yararlanılabilir.Önemli
olan öğretmenlerin bu gösterimleri nasıl etkin bir şekilde
kullanabileceklerini bilmeleri ve bu konuların kavratılmasında
öğrencilerin anlamalarını güçlendirecek modelin sunulmasıdır.
NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA,
ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİNİN
ANLAMLANDIRILMASI
Toplama İşlemi
İki negatif veya bir negatif ve bir pozitif sayıyla işlem
yapmak öğrenciler için yeni olduğundan hemen hemen her
öğrenci bu sayılarla toplama çıkarma işlemi yaparken zorluk
çekmektedir.




Sayı pulları
Sayı doğrusu
Sözlü ve yazılı ifadeler
Benzeşimler
bu işlemleri kolaylaştırmak için kullanılabilir.
Şimdi mutlak değeri aynı olan, faklı işaretli sayıların toplamının
neden sıfır olduğunu sayı pulları kullanarak inceleyelim;
Örneğin:
(-4) + 4 = 0
-4
+
4
Yukarıda (-4) ve (4) rakamları görsel olarak sırası ile 4 siyah ve
4 beyaz pulla temsil edilmiştir. İki rakam arasındaki toplama işlemi
ise pozitif sayılarda olduğu gibi “eklemek”, “üzerine koymak” veya”
bileştirmek” anlamında kullanılmıştır.
Örnekte, her bir negatif sayının pozitif karşılığı ile
nötrleşerek geriye ne negatif ne de pozitif sayı kaldığı ve
böylece cevabın sıfır olduğu gösterilmiştir (Van de Walle,
2007). Ayrıca, mutlak değeri anı olan farklı işaretli sayıların
toplamının sıfır olduğu diğer örneklerle çoğaltılabilir ve
öğrencilere istenilen eş miktarda siyah ve beyaz pul bir araya
getirildiğinde sıfır elde edebilecekleri fark ettirilmelidir. Başka
bir deyişle, sayı pulları yardımı ile yardımı ile aynı miktardaki
pozitif ve negatif sayılarının toplamının sıfır olduğu öğrencilere
hissettirilebilir.
Aynı örneğin sayı doğrusu üzerinde gösterimi;
4 ekle
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
şeklindedir.
Verilen işlemin [ (-4) + 4 = 0 ] sözel olarak ifadesi;
Eksi 4 noktasından (-4) harekete başlayan bir aracın sağ yöne
doğru (toplama işlemi) 4 birim (4) ilerlediğinde vardığı noktanın sıfır
noktası olduğu şeklinde yorumlanabilir.
Thompson (1994) değeri aynı olan pozitif ve negatif
sayıların toplamının sıfır olduğunun vurgulanmasında
birbirinin zıttı hareketlerden yararlanabileceğini belirtmiştir.
Örneğin; pozitif değeri sağ tarafa uygulanan bir kuvvet
değeri olarak düşünürsek negatif değerdeki sayıyı da sol
tarafa aynı miktarda
uygulanan kuvvet olarak
düşünebiliriz.Böylece her iki kuvvet aynı anda uygulandığında
herhangi bir hareket gözlemlenmediğinden iki kuvvetin
toplamı(birleşimi) bize sıfır değerini verecektir.
Thompson’ a göre bu örnekler çoğaltılabilir;




Kapı açılıp kapanması
Işık açıp kapanması
Kağıdın katlanıp açılması
Bir kaba su eklenip aynı miktarda suyun çıkarılması
gibi örnekler değeri aynı olan bir pozitif bir negatif sayının
toplamının neden sıfır olduğunu göstermede öğrencilerin
anlamalarını
güçlendirmek
amaçlı
kullanılabilir
(Thompson, 1994).
Negatif sayılarda toplama işlemi yaparken sözel
problemlerden de yararlanılabilir.Pozitif sayıların eldeki para
veya alacak, negatif sayıların ise borç veya verecek şeklinde
yorumlanması,
bu
sayılarla
ilgili
işlemlerin
anlamlandırılmasında yararlı olacaktır.
Örneğin; (-3) + (-5) = -8 işleminde iki negatif sayının
toplanması kolaylıkla;
“3 TL’ lik borcum (-3) var ve ben bu borcun üzerine 5 TL’lik
bir borç (-5) daha ekliyorum.Buna göre sonuçta ne kadar
borcum var?”
şeklinde sözel bir probleme dönüştürülebilir.
Verilen örnek borca borç eklemek, borcu daha da
artırmak, borcu çoğaltmak şeklinde de yorumlanabilir .Tam
sayılarla yapılan toplama işleminde işlem işareti [+] ekle,
çoğalt, artır şeklinde de ifade edilebildiğinden bu işlemin
kavratılmasında birçok günlük yaşam örneğine yer verilebilir.
Bu gösterimlere paralel olarak Milli Eğitim Bakanlığınca
hazırlanan İlköğretim kitaplarında da öğrenciler iki negatif
veya bir negatif ile bir pozitif sayıyla işlem yapmayı ilk kez
gördüklerinden, bu konularda farklı gösterimlerle pekiştirmek
sağlanmasının önemi vurgulanmıştır(MEB,2008).
ÇIKARMA İŞLEMI
Birçok öğrenci çıkarma işlemi yaparken klasik bir yöntem olan
“2. sayının işaretini ters çevir ve 1. sayı ile topla” stratejisini
uygulamakta ve bu bilginin altındaki kavramsal bilgiyi
sorgulamamaktadır. Başka bir deyişle , öğrenciler tam sayılarda
işlemler konusunda ilk önce toplama işlemini öğrendiklerinden
daha sonra öğrendikleri çıkarma işlemi onlara zor gelmekte ve
böylece çıkarma işlemi yaparken bu işlemin mantığını aramaktan
çok öğretmenlerinin sunduğu pratik çözümlere yönelmektedirler
Ne var ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi faklı modellemeler
yardımı ile öğrencilere kavratılabilir ve böylece onların konuya
ilişkin matematiksel anlamlandırmaları güçlendirilebilir.
Öğrencilerin kavramsal bilgilerini geliştirmede önceki
bilgilerin önemi büyüktür. Varolan bilginin üzerine bu bilgi ile
ilişkilendirerek eklenen yeni bilgi kalıcı öğrenmeye de katkı
sağlamaktadır. Demek ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi
yaparken de doğal sayılardaki çıkarma işleminden
yararlanılabilir ve öğrencilerin alışlık olduğu konum–mesafe
ilişkisi vurgulanabilir. Diğer bir deyişle , negatif sayılarda
çıkarma işlemi , doğal sayılarda , çıkarma işlemi ile
ilişkilendirmeli ve aslında tek farkı kullanılan sayıların doğal
sayılar yerine yönlü sayılar olduğu belirtilmelidir. Şimdi bu
modellemelerden örnekleri inceleyelim;
“Sayı doğrusu üzerinde 3 noktasında duran bir aracın
7
noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ”
Sorusu ile başlayalım
4 birim
-10-9
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Öğrenciler, iki noktanın konumunu bildiğinde ardaki
mesafeyi bulabilmek için çıkarma işlemi yapacaklarını [7-3]
doğal sayı problemlerindeki önbilgilerinden yararlanarak da
bulabilirler.
Problemi negatif sayılara genişletmek istediğimizde,
ilk aracın konumunu 3 yerine (-3) noktasına getirebiliriz.
Böylelikle problemimizi
“Sayı doğrusunda (-3) noktasında bulunan bir aracın
7 noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ”
şeklinde ifade etmek mümkündür.
Yukarıdaki örnekten de yararlanarak öğrencilerden
verilen sözel ifadeyi sembollerle belirtilmesi istediğinde
aradaki mesafenin [7 – (-3)] ifadesi ile bulunabileceği
açıktır. Ayrıca , öğrenciler bu işlemi yapmadan önce de
arasındaki mesafenin 10 birim olduğunu sayı doğrusunda iki
sayı arasındaki birimleri sayarak da bulabilirler.
Şimdi ise verilen sembolik ifadeyi [7-(-3)]
doğrusu yardımı ile sözel olarak ifade edelim.
7 birim
-10
sayı
3 birim
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 birim
Sıfır noktasında bulunan bir kişi sayı doğrusu üzerinde
sağ yöne doğru 7 birim ilerler daha sonra bu kişi yüzünü
negatif yöne doğru çevirir (iki sayı arasındaki eski işareti sayı
doğrusunda sol yöne hareket olarak yorumlanmıştır) . Ancak ,
geriye dönen kişi -3 birim ilerlemesi gerektiğinden bulunduğu
konumun ters yönüne (tekrar sayı doğrusu üzerinde sağ yön) 3
birim hareket etmek durumundadır (-3).
Böylece kişi sayı doğrusunda 10 noktasına varmış olur ve
aldığı mesafe (sıfırdan başlayıp 10 da biter) bize işlemin
sonucunu olan 10 sayısını verir.
Yukardaki örnekte, ister sayı doğrusu üzerinde arada
kalan birimleri sayarak ister verilen sembolik ifadeyi sözel
probleme dönüştürerek sonucunun 10 olduğu bulunabilir.
Böylece , öğrencilerin çıkarma işlemi yaparken kısa yol olarak
tanımlanan ‘’ 2. sayının işaretini ters cevir ve 1. sayı ile topla ‘’
kuralının nerden geldiği hakkında fikir sahibi olmaları
sağlanabilecektir. Son olarak da verilen işlemlerin iki negatif
sayı için gösterelim. Yukarıdaki örneğimizi kullanarak, (-7)
noktasında bulunan bir aracın (-3) noktasında bulunan bir
araca uzaklığı ne kadardır sorusu sorulabilir.
Öğrenciler, doğal sayılarda çıkarma işlemindeki
ön
bilgilerini kullanarak aradaki mesafeyi (son nokta eksi ilk
nokta) sembolik olarak [-3-(-7)]ifadesine çevrilebilir ve cevabı 4
birim olarak bulabilirler. 7 birim sağ
3 birim sol
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 birim
Diğer bir anlatımla ,sıfır noktasından -3 noktasına
ilerleyen bir kişi (yüz negatif yani sol yöne dönük ) daha sonra
hareketine sol yöne doğru devam eder (aradaki eksi
işareti)ancak daha sonra -7 birim ilerlemesi gerektiğinden
yönünü tekrar sağ yöne çevirip 7 birim daha ilerler.
Böylece bu kişin bulunduğu konum 4 noktası olacağından cevap
+4 olarak bulunur. Altun (2008)bu örnekle öğrencilerin, çıkarma
işleminde çıkarılan sayının işareti ters çevrilip toplanabilir
genellemesine ulaşabileceklerini vurgulamıştır.
Yapılan diğer bir çalışmada Chiu (2001) öğrencilerin daha
önceki bilgilerine dayanarak metaforlar (benzetmeler) yardımı ile
daha önce bilmedikleri kavramları anlayabileceklerini
savunmuştur. Chiu ‘ ya göre matematik öğretiminde metafor
kullanımı kavramları anlamına ve ilişkilendirmede, gösterimleri
yorumlayabilmede, kavramları hatırlayabilmede ve yanlışları fark
edip düzeltmede önemli rol oynamaktadır.
Chiu (1994) negatif sayılarla yaptığı çalışmasında
öğrencilerin metaforlar yardımı ile yaptıkları işlemsel hataları fark
edip düzeltebildiklerini ve buldukları cevapların doğrulduklarını
savunabildiklerini belirtmiştir.
Örneğin, öğrencilerin
“ Aritmetik objelerin
manipülasyonudur “ metaforunu kullanarak [-5 + 2] işlemsel
problemini “ 5 tane delik ( - ) “ ve “ 2 tane bilye ( + ) problemine
” dönüştürdüklerini, her bir bilyenin bir deliğe girdiğinde bilye ve
deliklerin birbirinin nötrleştirdiğini ve geriye hala üç deliğin
kaldığını böylece öğrencilerin cevabı [ -3] olarak bulduklarını
belirtmiştir .Diğer bir değişle, [-5+2] işleminin sonucu hatalı
olarak 3 bulan kişilerin dedikleri (-5) bilyelerden (2) daha fazla
olduğunu ve böylece işlem sonucunun delikler cinsinden yani
negatif olması gerektiğini fark edip hatalarını düzelttiklerini
savunmuştur.
Chiu (1994,2001) metaforik düşünmenin avantajı kadar
dezavantajının olduğunu ve bunların başlıcalarının geçersiz
doğrulamalar ile etkin olmayan prosedürler olduğunu
vurgulamıştır .Diğer bir anlatımla, daha önce verilen örneğe
dayanarak [-5 + 2 ] öğrencilerin metaforik düşünmeleri yerine
doğrudan çıkarma işlemi [5-2] ve mutlak değeri büyük olan
sayının işaretini de cevabın önüne ekleyerek -3 olduğunu
matematiksel kural ve algoritmalar yardımı ile çok daha hızlı ve
etkin bir şekilde bulabileceklerini savunmaktadır. Başka bir örnek
verecek olursak , Hativa ve Cohen (1995)’nin de belirttikleri gibi
öğrenciler ard arada iki eksi işareti gördüklerinde önce toplama
işlemi yapıp daha sonra cevabının önüne eksi işareti koyarak da
[Ör. -5-7= -(5+7)=-12] cevaba kolayca ulaşabilirler. Ancak, Chui
(2001) yine de metaforlar yardımı ile alternatif bir düşünme
yönteminin mantıksal anlamdaki önemini göz ardı etmemek
gerektiğini çünkü bu örneklerin kavramsal anlamayı pekiştirdiğini
belirtmiştir.
Diğer bir örnekte ise, Chui , negatif bir sayı ile pozitif bir
sayının toplanması işleminde [-70 + 40 ] cevabını hatalı olarak 30
bulan öğrencilerin ‘Hareket’ metaforunu kullanarak hatalarını
fark ettiklerini belitmiştir.Daha detaylı bir şekilde anlatmak
gerekirse öğrencilerin dik olarak yerleştirilmiş sayı doğrusu
üzerinde -70’den 40 birim yukarı doğru hareket ettiklerinde hala
eksilerde olduklarını böylece cevabın 30 yerine -30 olması
gerektiğini fark ettiklerini ve hatalarını düzelttiklerini
belirtmiştir.Yine [-4-6] işlemini 2 olarak bulan bir öğrencinin
‘Hareket’ metaforu kullanarak -4 noktasından başladığını ve daha
sonra bulunduğu konumdan 6 birim daha aşağı indiğinde vardığı
noktanın 2 yerine -10 olması gerektiğini fark edip hatasını
düzelttigini belirtmiştir
Ball (1990) negatif sayılarda belli toplama ve çıkarma
işleminde asansör veya kat problemlerinin kullanılmasının bu
işlemlerin kavratılmasında ideal olduğunu savunmuştur. Örneğin
, 4.kattaki bir kişinin 6 kat aşağı indiğinde çıkartma işlemi
yapılması gerektiği [4-6] ve sonuçta -2. kata varıldığının asansör
problemini ile açıklanabileceğini belirtmiştir. Başka bir örnekte , 2.katta (yeraltında) olan bir kişinin 5 kat yukarı çıktığında [-2+5]
3.kata vardığını böylece verilen toplama işleminin yine asansör
örneği ile kavratılabileceğini belirtmiştir. Ball (1990) çalışmasında
bu modellerin belli toplama ve çıkarma işlemleri için ideal
olduğunu savunmuş iki negatif sayının karşılaştırılmasında da
(Örneğin -5’in -2’den daha küçük olduğunu gösterirken) bu
örneklerin kullanılabileceğini ancak verilen kat modellemesinin
daha küçük kavramları ile tam olarak özdeşleşmediğini
belirtmiştir.
Yine [ 6+ ( -6 ) =0 ] örneğinde yerden 6 kat yukarı çıkıp daha sonra bunun
üzerine yerin altından 6 kat daha eklemek açıklamasının mantıklı
olmadığını bu tarz örneklerde para hesapları , sayı pulları ve sayı
doğrusu örneklerinin daha etkin olacağı vurgulanmıştır.
Hativa ve Cohen (1995) geliştirdikleri “Arithmetic Challenger ”
isimli yazılı programı ile 4. sınıf öğrencilerinin negatif sayıları sayı
doğrusu üzerinde gösterme, büyüklüklerini karşılaştırma, aralarındaki
mesafeyi bulma ve basit toplama çıkarma işlemlerini yapabilme
becerilerini sayı doğrusu modeli kullanarak geliştirmeyi hedeflemişlerdir.
Çalışmada
4. sınıf öğrencilerinin bilgisayar ortamında bireysel
çalışabilecekleri bir öğrenme ortamının sağlandığını ve bunun
sonucunda
öğrencilerin
negatif
sayıların
sayı
doğrusuna
yerleştirilmesinde, büyüklük ve küçüklüklerinin karşılaştırılmasında ve iki
sayı arasındaki mesafenin bulunmasında başarılı oldukları belirtilmiştir.
Ayrıca çalışma sonrasında , başarı düzeyi düşük olan öğrencilerin
yüksek olan öğrenciler kadar ilerleme kaydettikleri ve kavram
yanılgılarında azalma olduğu vurgulanmıştır. Böylece , negatif
sayıların öğretiminde ve negatif sayılara ilişkin işlemlerdeki
kavram yanılgılarının giderilmesinde bilgisayar destekli eğitimin
de önemi unutulmamalıdır.
Hativa ve Cohen (1995) kullandıkları bilgisayar
programının negatif sayıların öğretilmesinde ve kavram
yanılgılarının giderilmesinde tek ve en iyi yöntem olarak
kullanılması gerektiğini iddia etmediklerini ancak öğretmen
açıklamaları ve günlük yaşam örnekleri ile de pekiştirildiğinde
öğrencilerin kavramsal bilgilerinin gelişeceğini ve negatif sayılara
ilişkin deneyimlerinin zenginleşeceğini belirtmişlerdir.
NEGATIF SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME
İŞLEMLERININ ANLAMLANDIRILMASI
Öğrenciler, negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemleri
yaparken toplama ve çıkarma işlemlerindeki gibi zorluk yaşayıp
birçok kavram yanılgısına düşebilirler.Bu nedenle, toplama ve
çıkarma işlemlerindeki gibi negatif sayılarda çarpma ve bölme
işlemlerinin kavramlaştırılmasına ilişkin birçok model ve
gösterimden yararlanılmalıdır. Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan
7. sınıf kitabında , tam sayılarda çarpma işlemi günlük yaşam
örnekleri ve sayı pulları yardımı ile bölme işlemi ise çarpma
işlemindeki gibi sayı pulları ve çarpma işleminin özelliklerinden
yararlanılarak öğrencilere kavratılmaya çalışılmıştır(MEB,2008).
Aşağıda pozitif ve negatif sayıların çarpılmasına yönelik bazı
örneklere yer verilmiştir.
Öncelikle bir pozitif bir negatif sayının çarpılması [3 x -2]
örneğini ele alalım. Çoklu gösterim modellerinden yararlanılarak
öğrencilerden, verilen sembolik ifadeyi cümle içerisinde veya bir
hikaye durumu oluşturarak sözel bir problem şekline
dönüştürmeleri istenebilir. Böylece, öğrenciler sözel olarak ifade
etmeye çalıştıkları çarpma işleminin aslında ne anlama geldiğini
sorgulamaya başlar. Verilen [3x-2] örneğinde -2’yi yer seviyesinin
altında 2m olarak tanımlarsak , sorumuz ‘bulunduğu mesafenin 3
katı daha derine inen bir dalgıç yer seviyesinden kaç metre altına
dalmış olur’ ifadesine çevrilebilir. Böylece , yapılan işlem pozitif
sayılarda
çarpma
işlemi
ile
de
ilişkilenmiş
olur.
Verilen işlem sayı doğrusu ve sayı pulları yardımı ile
de modellenebilir. Sayı doğrusu modellerini ele alalım. Daha
önce de belirttiğimiz gibi negatif sayılar sayı doğrusunun sol
tarafına hareket veya bulunan konumdan ters yöne hareket
şeklinde yorumlanabilir.
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Böylece [ 3x-2] ifadesinin 3 kere -2[-2+ -2+-2] yani
3 kez -2 yönünden hareket olarak değerlendirilmeleri
beklenebilir.Şekilde de görüldüğü gibi sayı doğrusunda 3 kez
ikişerli olarak sol tarafa gidildiğinde cevabın -6 olduğu
görülebilir.
Verilen İfadeyi şimdide sayı pulları yardımı ile gösterelim.
Negatif sayıları temsil etmek için siyah pulları ele alalım. Üç tane
siyah pul çiftini ele alırsak sonucunun 6 tane siyah pul yani 3 kez
-2’lik pulları bir araya getirmek (-6) olduğu görülebilir.
-2
-2
-2
Şimdi ise [ -2 x 3 ] işlemini ele alalım Akla ilk gelen bu
işlemi çarpma işleminin değişme özelliğini kullanarak [ 3 x 2] yukarıdaki modellemeler yardımı ile öğrencilere
kavratılmasıdır.
Şimdi ise işlemi sayı doğrusu ve sayı pulları yardımı ile
gösterelim. Sayı doğrusu modelini ele alıp, negatif sayıları sol
yöne hareket olarak yorumlayalım. Böylece , [-2 x 3 ] işlemi
artı yönde 2 kere 3 birim ilerleme yerine , 2 kere 3 birim eksi
yönde hareket olarak yorumlanabilir. İşlemi sayı doğrusu
üzerinde gösterirsek, 2 kez sol yöne hareket bize -6 cevabını
verecektir.
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sayı pulları kullandığımızda ise, [-2x3] ifadesi yine -2
tane 3 şeklinde yorumlamak mümkündür. Önceki
modeldeki gibi negatif sayılar siyah , pozitif sayılar beyaz
pullar ile gösterilirse , [2 x 3 ] ifadesi 2 kere 3 adet beyaz
pulun bir araya gelmesi şeklinde yorumlanabilir.
Ancak, elimizdeki ifade [ -2 x 3] olduğundan verilen işlem 2 kere 3 adet
beyaz pulu bir araya getirme yerine , 2 kere 3 adet beyaz pulu ortamdan
çıkarma işlemine dönüşecektir. Diğer bir deyişle , Janvier ( 1983)’inde
belirttiği gibi eksi işareti çıkarma , kaldırma yok etme anlamında
kullanılıp 2 kez 3 tane beyaz pulun ortamdan kaldırılması şeklinde
yorumlanabilir. Ancak , görülüyor ki ortamda kaldırılacak bir beyaz veya
siyah pul yoktur. Bu aşamada , daha önce belirtildiği gibi çocuklara sıfır
kavramının nasıl oluşturulduğu sorgulatabilir. Hatırlanacağı gibi ,
öğrencilere tam sayılarda toplama işlemi yaptırılırken mutlak değeri aynı
olan pozitif ve negatif sayı çiftlerinin neden sıfır olduğu örneklerle
kavratılmıştı. Böylece , öğrencilerden altı tane siyah ve 6 tane beyaz pulu
bir araya getirdiklerinde 0 elde etmeleri beklenebilir. Başka bir değişle,
beyaz pulların çıkarılması işlemine gitmeden önce , ortama hali hazırda 6
tane beyaz ve siyah pul konması sağlanabilir. Sonuç olarak, ortamdan altı
tane beyaz pul çıkarıldığında cevap 6 siyah pul yani -6 olacaktır.
2 kere 3 beyaz pul çıkart
Yukarıdaki örneklerde bir pozitif sayı ile bir negatif
sayının daha sonra ise bir negatif ve bir pozitif sayının çarpma
işlemi
modellenmiştir.Bu işlemlerin sonunda öğrencilerle
birlikte bir pozitif ve bir negatif sayının çarpımının negatif
olduğu genellemesine gidilebilir.Daha öncede belirtildiği gibi ,
birçok öğretmen iki negatif sayının çarpımının neden pozitif
olduğunu kural olarak öğrencilere sunar ve bunun sebebini
sorgulatmaz ( Crowley&Dunn,1985).Gösterilen modellemeler
ile birçok çalışmaya da konu olan negatif sayılarda çarpma
işlemine yönelik bu ezber bilgiler artık anlam kazanmış olur.
Literatürde , yukardaki modellemelerin dışında negatif
iki sayının çarpımın pozitif olması örüntü buldurularak ve
matematiksel doğrularla da öğrencilere anlamlı hale
getirilmeye çalışılmıştır. Örneğin , aşağıdaki örüntüyü
inceleyelim;
2·3 = 6
2·2 = 4
2·1 = 2
2·0 = 0
2·-1= -2
2·-2= -4
Bu örnekte bir pozitif ve bir negatif sayının neden
negatif olduğu , sayılar arasındaki ilişkiler incelenerek
öğrencilere kavratılabilir .
Daha detaylı anlatmak gerekirse, öğrenciler ön
bilgilerinden yararlanarak [ 2x3,2x2,2x1 ve 2x0 ] işlemlerini
yapar ve her seferinde sabit olmayan çarpan bir birim
azalacağından sonucun da bir öncekinden 2 birim daha küçük
olacağını fark eder. Öğrenci , sabit olmayan çarpanı azaltmaya
devam ettiğinde, artık negatif sayılara ulaşır ve sonucu işlemi
gerçekleştirmeden bir önceki cevabı 2 birim azaltarak da
bulmaya devam edebilir [ 2x-1=-2]. Böylece bir pozitif sayı ile
bir negatif sayının çarpımının farklı örnekler yardımı ile de
neden negatif olması gerektiği genellemesine ulaşılabilir.
İki negatif sayı çarpımının neden pozitif olduğu aşağıdaki
örnekte de görüldüğü gibi öğrencilere yine sayılar arası ilişkiler
kurdultularak kavratılabilir. ( Arcavi & Bruckheimer, 1981;Crowley &
Dunn, 1985) .
-2·2
= -4
-2·1 = -2
-2·0 = 0
-2·-1= 2
-2·-2= 4
-2·-3= 6
Crowley ve Dunn (1985) ise [-4x3] işleminin neden 12
olması gerektiğini aşağıdaki aritmetik işlemler sonucunda
öğrencilere gösterilebileceğini savunmuştur. Başka bir deyişle ,
öğrencilere önceki bilgilerini kullanarak (Ör, 3+ -3 =0,0 x -4 = 0 ,
çarpımının toplama üzerine dağılma özelliği, bir pozitif ve bir
negatif sayının çarpımı negatiftir gibi) sonucun pozitif olması
gerekliliği fark ettirilmiştir.
3 + -3 = 0
(-4) ·(3 + -3) = (-4)·0
(-4)·(3) + (-4)·(-3) = 0
-12 + (-4)·(-3) = 0
(-4)·(-3) = 12
Tam sayılarda bölme işlemi de hem sayı doğrusu ve
sayı pulları kullanılarak hem de çarpma ve bölme işlemi
arasındaki ilişkiden yararlanılarak öğrencilere kavratılabilir.
Çarpma işlemindeki gibi öncelikle bir negatif ve bir pozitif
sayının [-8:2] bölme işlemini ele alalım. Yukarıda belirtilen örnekler
gibi çoklu gösterim modellerinden yararlanılarak öğrencilerden ,
verilen sembolik ifadeyi cümle içerisinde veya bir hikaye durumu
oluşturarak sözel bir problem şekline dönüştürmeleri istenebilir.
Aşağıda verilen işlemin sayı pulları ve sayı doğrusu üzerinde
gösterimine yer verilmiştir. Çarpma işleminde olduğu gibi bölme
işlemi yaparken de öğrencilerden tam sayılar bölme işlemi ile doğal
sayılarda bölme işlemini ilişkilendirmeleri istenebilir. Böylece verilen
işlem [-8:2], ‘’-8’in içerisinde kaç tane 2 vardır, -8’i iki eş gruba
ayırdığımda her bir gruba ne kadar düşer veya ikili gruplarda kaç
tanesi bir araya geldiğinde -8’i oluşturur’’. İfadelerine
dönüştürülebilir.
Sayı doğrusu modeline baktığımızda ise +2’lik birimleri
arka arkaya 4 kez çıkardığımızda sonucun -8 olduğu açıktır. Bu
ifadede de ‘4kez çıkarma işlemi -4’e karşılık geleceğinden cevabı
-4 olarak bulabiliriz.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Şimdi ise verilen işlemi sayı pulları kullanarak
gösterelim;
Siyah pullar negatif sayıları gösterdiğine göre -8 sayısı 8 adet
siyah pulla temsil edilebilir. Böylece 8 adet pulu iki eşit parçaya
böldüğümüzde her bir gruba 4 adet siyah pul düşmektedir. Böylece
cevap -4 olarak bulunabilir.
Aynı şekilde , 2 negatif sayının bölümünde sayı pulları yardımı
ile kolayca görselleştirilebilir. Örneğin, [ -8:-2] ifadesini ele alırsak ve
yukardaki gibi -8 ifadesini 8 adet siyah pulla gösterirsek, verilen
sembolik ifadeyi ‘ 8 siyah pulu ( -8) ikişer gruplara ayırırsak ( -2’lik
gruplar) toplam kaç tane 2’şerli grubumuz olur ‘’ ifadesine çevirebiliriz.
Diğer bir deyişle , ‘’ 8 adet siyah pulun içerisinde kaç tane 2’şerli siyah
pul vardır’’ sözel ifadesi bize sonucu 4 olarak verir.
Çarpma işleminde de olduğu gibi, yukardaki modellemelerden
de yararlanılarak bir negatif sayı ile bir pozitif sayının bölümünün
neden negatif olduğu veya iki negatif sayının birbirine bölümünün
neden pozitif olduğu yukardaki modellemeler yardımı ile öğrencilere
kavratılıp genellemelere gidilebilir.
SONUÇ
Bu bölümde en genel anlamda negatif sayılardan , bu sayıların
öğreniminde ve öğretiminde karşılaşılan güçlüklerden , bu güçlüklere
bağlı kavram yanılgılarından ve bu güçlüklerle kavram yanılgılarının
nasıl giderilebileceğine dair literatürde yer alan önerilerden
bahsedilmiştir. Yapılan literatür taraması , negatif sayıların
öğrenilmesinde ve kavramların oluşturulmasında en uygun etkinlik ve
örneklerinin belirgin olmadığını ama belli model ve gösterimlerin
etkilerinden söz edilebileceğini göstermiştir.
Öğretimin amacı öğrencileri bilişsel becerilerini geliştirmeye
yönelik keşiflere yöneltecek ortamlar hazırlamaktır (Ball
&McDiarmid,1990). Farklı bir ifade ile , iyi bir öğretim için asıl vurgu
işlemsel becerilerin gelişmesine değil matematiksel kavramların
oluşmasına, problem çözmeye ve fikirler arası ilişkilerin kurulmasına
verilmelidir ( NCTM, 1989). Ball (1988) iyi bir öğretim modeli
sunmanın onu etkin bir şekilde kullanılmakla aynı şey olmadığını
vurgulamıştır.
Ball mükemmel bir modellemenin olamadığını , iyi bir model
üretiminin de standart bir formülü olmadığını ve iyi bir öğretmenin
hazırladığı içeriği analiz etme kapasitesine sahip olması gerektiğini
vurgulamıştır.
Diğer bir değişle , öğretmen kurguladığı modeli etkin bir şekilde
sunmalı ve sunulan modelin eksik yanlarını giderici alternatif
modeller üretebilmelidir ( Ball,1988).Bu sebepten dolayı, bu
bölümde öğretmen bilgisine de değinilmiştir, iyi bir öğretmenin
alan bilgisinin yanı sıra öğrencilerinin hangi konu ve kavramları
anlamada zorluk çektiklerini ve onların sahip olabilecekleri
kavram yanılgılarını iyi bilmeleri ve de bu kavaram yanılgılarını
nasıl giderebileceğine yönelik yöntemler üretebilmeleri
vurgulamıştır.
HAZIRLAYANLAR
SÜMEYYE DEMİR
BETÜL ERDEM
ŞEYMA LOŞOĞLU
FATİME KAHRAMAN