Transcript Basamak Değeri

SAYILARDA BASAMAK DEĞERİ
KAVRAMI VE ÖĞRENCİLERİN
YAŞADIĞI ZORLUKLAR
İÇİNDEKİLER
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE TARİHÇESİ
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMININ ÖĞRENCİLERDE GELİŞİMİ VE
ZORLUKLARIN OLASI NEDENLERİ
• BASAMAK DEĞERİYLE İLGİLİ KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR,
HATALAR VE KAVRAM YANILGILARI
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI İLE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARI
ENGELLEMEK İÇİN ÖNERİLER
• SONUÇ
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE
TARİHÇESİ
Basamak Değeri :
Rakamların sayı içinde bulundukları yere göre almış oldukları
değere basamak değeri denir. Çok büyük ve çok küçük sayıları
kolayca okumayı ve sembollerle yazmayı sağlayan basamak
değeri, kullandığımız sayı sisteminin ve aritmetiğin önemli
özelliklerinden ve en soyut kavramlarından biridir.
Örneğin : 5 rakamı sayıdaki yerine göre 5, 50, 500…. Veya
0.5, 0.05, 0.005… gibi değerlere sahip olabilir.
Bir rakamın basamak değeri, söz konusu rakam ile o rakamın
bulunduğu basamak değerinin çarpımının sonucu diye
hesaplanır.
Örneğin: 10luk sayı sisteminde 6742 sayısındaki 2 rakamı
2x1=2, 4 rakamı 4x10=40, 7 rakamı 7x100=700 , 6 rakamı ise
6x1000=6000 değerine sahiptir.
Çok basit temel aritmetik işlemleri yapmak için
öğrencinin basamak değeri kavramın iyi öğrenmiş olması
gerekmektedir.
Örneğin: 54+29 işleminin yapılması için 54 ün 5 onluk ve 4
birlikten , 29 sayısının ise 2 onluk ve 9 birlikten
oluştuğunun bilinmesi gerekir. Dolayısıyla toplamda 7
onluk+13 birlik yani 8 onluk+3 birlik buradan da toplam 83
sayısı elde edilir.
Tarihsel Gelişimi
Sayıların yazıya döküldüğüne dair ilk izlere yazıyı icat eden Sümerlere
ait kil tabletlerinde rastlanmaktadır.
Çok eski medeniyetlerin sayı saymak için 1,2 ve 3 sayılarının yanında
çok kavramı ile yetindikleri düşünülmektedir.
Daha sonra sayı sayı saymak için çakıl taşlarından, mağara
duvarlarına ve kemikler üzerine atılan kertiklerden ve el parmakları
gibi araçlarda faydalanılmaya başlanıldığı düşünülmektir.
Çeltikler, çakıl taşları ve parmaklar yetersiz kalmaya başlayınca
medeniyetler sahip oldukları sayma ve hesaplamada farklı bir
strateji uygulamaya başlamışlardır. Belirli sayıdaki çakıl
taşları(örneğin. 12, 60 gibi) farklı yapı ve boyuttaki bir başka çakıl
taşıyla temsil edilerek birer birer saymak yerine paket paket
saymaya başlanmıştır.
1
10
60
3 600
36 000
Mezopotamyalılarda ki kil toprağından yapılmış farklı sayı şekilleri
Ancak medeniyetlerin çoğalmasıyla insanlar sahip olduklarını saymak
için daha farklı materyalleri (sayılara) ihtiyaç duymuş ve bu ihtiyaç
neticesinde çakıl taşları ve el parmaklarına nispeten daha kullanışlı
olan Babil, Mısır vb. sayı sistemleri ortaya çıktı.
Bu sayı sistemlerinin bazılarında sayılar özel sembollerle ifade
etmekteyken(mısırlılarda lotus çiçeği, elleri havada olan adam vb.).
Bazı medeniyetler kullandıkları alfabenin harflerinden yararlanmayı
tercih etmişlerdir (eski yunanlılarda 1 için alfa, 2 için beta, …).
Mısırlıların kullandıkları rakam
SAYI
1
10
100
1000
10 000
100 000 1 000
000
Lotus
çiçeği
Eğik
parmak
Kurbağa Elleri
yavrusu havada
adam
Mısır
sistemin
deki
karşılığı
Anlamı
=10 237
Sayı sistemleri, sayıların yazılışı ve okunuşu yönünden 3
ana grupta toplanır. Bunlar :
Yığmalı sayı sistemi
Bu sistem sembollerin ardı ardına yazılarak yeni sayıların türetilmesine
dayanmaktadır. Bu sistemin en belirgin örneği romen sayı sistemidir. Bu
sistemde 7 tane sembol vardır.I, V, X, L, C, D ve M sembolleri sırasıyla 1, 5, 10,
50, 100, 500, 1000 çokluklarını göstermektedir.
Karma sayı sistemi
Bu sistemde sayıları ifade etmek için hem toplama hem de çarpma aynı
anda kullanılmaktadır. 300 sayısı 3 tane yüz şeklinde ifade ediliyor ve
önce 3 ardından da 100 ifade edilmekteydi.
BASAMAK DEĞERLİ SAYI SİSTEMİ
Karma ve yığmalı sayı sistemlerinde karşılaşılan problemlere çare olması
amacıyla ilk olarak Babiller tarafından icat edilmiş ve daha sonra Çin ve
Maya imparatorluklarında da kullanılmıştır.
Bu sistemde başlangıçta 0 sayısının olmayışı bir takım problemlere
yol açmıştır. Bu duruma çözüm bulmak için ilkel sıfır icat edildi :
yatay iki çivi
İşareti.
Bildiğimiz manada basamak kavramını Hintlilere borçluyuz. Hintliler şuan
kullandığımız ve Hint-Arap rakamı olarak bilinen rakamlara benzer
semboller sayesinde sayıların çoğunluğunu rahatça yazabiliyorlardı.
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMININ ÖĞRENCİLERDE
GELİŞİMİ VE ZORLUKLARIN OLASI NEDENLERİ
Basamak değeri kavramı basit gibi görünmesine rağmen
öğrencilerin bu kavramla ilgili bir takım zorluklar yaşadığını
biliyoruz.
Bilindiği gibi, değeri ne olursa olsun x tabanında yazılan herhangi
n
n 1
1
0
bir N doğal sayısını N= a n x  a n 1 x  ...  a1 x  a 0 x şeklinde bir
polinom halinde yazmak mümkündür. Burada öğrenci taban
olarak yalnızca onluk tabanı kabul etmektedir. Ancak basamak
değeri kavramı yalnızca onluk tabanda değil diğer sayı
tabanlarında da anlam kazanır.
Örneğin: 3621 şeklinde yazılan üç bin altı yüz yirmi bir doğal
3
2
1
0
sayısı polinom olarak 3 x10  6 x10  2 x10  1 x10 şeklinde
n
ifade edilir. Burada 3621 sayısının yazımında10 ler gizlenmiş
olduğundan öğrenci sayıda yer alan 6 rakamını 6x10 2 şeklinde
göremiyor.
Sayı sistemimizin öğrenciler tarafından algılamasın zorlaştıran bir başka neden
de kullandığımız sistemin yazı dilinde ve sözel dilde uyumsuzluk göstermesidir.
Sayıları yazarken 0 dan 9 a kadar olan rakamlarla yetiniriz. Oysa sözel dilde 10
ve 10 un katları için farklı kelimeler kullanılır ve basamak değeri kavramını göz
ardı ederiz.
Sözel dil ile yazı dili arasındaki bir diğer uyumsuzluk sıfır sayısı ile
alakalıdır.günlük dilde sıfır sayısı hiçbir zaman söylenmezken yazılı dilde yer
tutucu olarak karşımıza çıkar. Örneğin : 603 sayısı altı yüz sıfır üç şeklinde değil
de altı yüz üç şeklinde okunur.
Bu konuda yapılan araştırmalara göre basamak değeri ile ilgili iki
önemli kavram ortaya atılmıştır. Thompson ve Bramald’e göre
basamak değeri iki ana kavramdan oluşmaktadır: çokluk
değeri ve sıra değeri.
Çokluk değeri 65 sayısının 60 ve 5 şeklinde ayrılarak parçaların
toplanması esasına dayanırken sıra değeri ise 65 in 6 onluk ve 5
birlik olduğunun bilinmesidir. Görüldüğü gibi sıra değeri kavramı
bildiğimiz basamak değeri kavramına oldukça yakındır. Şu halde
karşılaşılan zorlukların muhtemel nedenlerinden biri de
öğrencilerin sıra değeri kavramıyla erken tanıştırılmasıdır.
Thompson çocukların büyük çoğunluğunun erken yaşlarda
basamak değeri kavramını düşünebilmekte olduğunu ancak çok
üzün bir süre boyunca konuyla ilgili kafa karışıklarını devam
ettiğini, bunun nedeni de çokluk değeri kavramının öğrenciye
verilmeden direkt olarak sıra değeri kavramının öğrenciye
verilmesidir.
BASAMAK DEĞERİYLE İLGİLİ KARŞILAŞILAN
ZORLUKLAR, HATALAR VE KAVRAM
YANILGILARI
1. Basamak değeri kavramının çokluk değerine
indirgenmesi
2. Rakamın basamak ve sayı değerlerinin ayırt
edilememesi
3. Basamaklar arasındaki ilişkiyi anlama ve ilgili güçlükler
4. Sıfırı bir ‘yer tutucu’ olarak kabul etmede karşılaşılan
güçlükler
5. 10 ile çarpmayla ilgili güçlükler
6. Ondalık-yerler arasındaki ilişkileri belirleme güçlüğü
7. Ondalık sayılarda basamak değeri ile ilgili güçlükler
1.Basamak Değeri Kavramının Çokluk Değerine
İndirgenmesi
Yapılan çalışmalar, öğrencilerin çokluk değeri kavramını sıra değeri kavramına
taşıyamadığını ve basamak değerini çokluk değeriyle sınırlandıklarını
göstermektedir.
Thompson ve Bramald ilköğretim 2,3 ve 4. sınıflarda okuyan toplam 144
öğrenciyle birebir mülakatlar yapmış ve mülakatlarda 82 ve 59 sayılarından
hangisi büyüktür? , 25+23 ve 46-24 kaça eşittir ? Gibi iki basamaklı zihinden hesap
işlemleriyle basamak değeri kavramına yönelik 9 adet soru sormuşlardır. 25+23
sorusuna öğrencilerin 18 i yanıt vermezken 13 ü yanlış cevap vermiştir. Nitekim
yanlış yapan 13 öğrencinin 4ünün stratejisi belirlemezken 4 öğrenci parmakla
sayma, 5 öğrencide parçalama stratejisi kullanmıştır. Bu durumda 113 öğrenci
verilen toplamı doğru yapabilmiştir. Ancak bu sonuç doğru cevap verenlerin
basamak değeri kavramının özümsedikleri anlamına gelmemektedir. Çünkü bu
öğrencilerden yalnız 14ü basamak değerini dikkate alarak toplama işlemi
yapmışlardır.
2. Rakamın Basamak Ve Sayı Değerlerinin
Ayırt Edilememesi
Bilindiği gibi bir rakamın sayı içerisindeki değeri ile yalın olarak
alındığında sahip olduğu değer farklı olabilmektedir. Bu da herhangi
bir rakam için sayı değeri ve basamak değeri ayırımını gerekli
kılmaktadır. Rakamın sayı değeri 0 ile 9 arasında sabit bir değer alırken
basamak değeri ise ; rakamın sayıda bulunduğu yere (basamağa ) göre
aldığı değerdir.
Örneğin : 52 sayısındaki 2 iki birimi temsil ederken, 127 de iki
onluğu ve 263 te iki yüzlüğü ifade etmektedir. Burada öğrenciler bir
rakamın basamak değeriyle sayı değerini karıştırmaktadır.
3. Basamaklar Arasındaki İlişkiyi Anlama Ve
İlgili Güçlükler
Bilindiği gibi basamak değeri kavramının doğal bir sonucu olarak basamaklar
arsında 10 un kuvveti cinsinden bir ilişki vardır. Dolayısıyla sayıda yer alan bir
rakam bir basamak sola geçerse değeri 10 katına çıkmaktadır. Basamaklar
arasındaki ilişki ile ilgili olarak bir diğer husus ise sayının herhangi bir
basamağına toplamda 10u aşacak bir rakam eklendiğinde 10 u aşan kısmın ilgili
basamağa yazılması ve bir sonraki basamağa da 1 eklenmesidir( elde kavramı ).
Araştırmalar öğrencilerin basamaklar arasındaki bu ilişkileri kuramadıklarını da
göstermiştir.
x10
Binler
/10
x10
yüzler
/10
x10
onlar
/10
x10
birler
x10
onda birler
/10
/10
x10
yüzde birler
/10
binde birler
4. Sıfırı Bir ‘Yer Tutucu’ Olarak Kabul Etmede
Karşılaşılan Güçlükler
Sıfır rakam ve sayı olarak önemlidir. Öğrenciler için sıfırı, ‘hiç bir şey ’ i
göstermek için kullanmak o kadar zor olmasa da basamak değeri sisteminde
kullanmak çok zordur. Yani normalde hiçliği ifade etmek için kullanılan sıfırın
basamakta önemli yer tutması öğrenciler tarafından zorlukla
algılanabilmektedir. Oysa sayıların 10 luk sistemde yazımında sıfır hiçbir
değer göstermiyor gibi görünse de önemlidir. Çünkü diğer basamakların
doğru yerlerinin belirlenmesini sağlar.
Örneğin; 802 sayısında 0 bir yer tutucudur. Eğer 0 a sahip olmasaydık, sayı
82 olurdu.
5. 10 İle Çarpmayla İlgili Güçlükler
Terimleri eşit olan toplama işleminin kısa yoldan yapılışına çarpma işlemi
denir. Thompson ‘bir sayıyı 10 ile çarptığımızda ne olur ?’ sorusunu ister
ilköğretim, ister ortaöğretim veya lise ve hatta öğretmen yetiştiren
kurumlarda soralım cevabın ‘sayının sonuna 0 eklersin’ olacağını
belirtmektedir. Zira, bu tür bilgiyi veren öğretmenin aslında bu anlamda
öğrencileri kavram yanılgısına götüreceği açıktır. Ancak bu tip bir bilgi ondalık
sayılarda geçerli değildir.
Gerçekte de ‘sıfır ekleme ’ düşüncesinin yetersizliği Brown’un yapmış olduğu
çalışmada bazı öğrencilerin 4,19x10=? Sorusuna 4,190 cevabını vermeleriyle
görmekteyiz.
6. Ondalık-yerler Arasındaki İlişkileri
Belirleme Güçlüğü
Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma problemlerinde en sık karşılaşılan hatalar
basamak değeri veya ondalıktaki yerler dikkate alınmadan noktadan sonraki son
basamaktan toplama ve çıkarma yapıldığını göstermektedir. Brown’un
çalışmasında yapılan yüz yüze görüşmede bazı çocukların ondalık yerler arasındaki
ilişkileri tahlil etmeye çalıştıkları ortay konmuştur. ‘2,9 a bir ondalık(0,1) ekleyin’
sorusuna bazı öğrenciler 2,19 , bazı öğrencilerde 2,10 yanıtını vermişlerdir. Bütün
bu sonuçlar göstermektedir ki öğrenciler ondalık sayıların, paydası 10 ve 10 un
katları olan kesirler olduğunu anlayamamaktadırlar.
Öğrencilerden 3,64 ile 3,641 kıyaslamaları istendiğinde ; öğrenciler ikinci
sayıdaki 1 ile kıyaslayabilmek için birinci sayıda 4 ten sonra 0 konulabileceğini
bilmemektedir.
7. Ondalık Sayılarda Basamak Değeri
İle İlgili Güçlükler
Ondalık sayılarda öğrencilerin karşılaştıkları temel zorluk, noktadan sonra ki
rakamların bir birimden küçük ve sayının bir parçası olduğunu
anlayamamalarıdır. Farrel ve Mcintos 14 yaşındaki Avusturyalı öğrencilerle
yaptığı çalışmada öğrencilerin 1,52 ve 1,53 sayıları arasında sayı olmadığını
düşünmüşlerdir. Bu da öğrencilerin ondalık kısmın basamaklarının onda bir,
yüzde bir, binde bir vs. olarak basamaklandırılmasını anlamadıklarını
göstermektedir.
Diğer yandan bazı öğrenciler noktadan sonra yazılan rakamları onluk,
yüzlük vs. olan ayrı bir sayı olarak düşünmektedirler. Bu yüzden en uzun
sayı en büyük sayıdır kavramsal yanılgısına sahiptirler.
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI İLE KARŞILAŞILAN
ZORLUKLARI ENGELLEMEK İÇİN ÖNERİLER
1.
Öncelikle basamak değerinin ilişkili olduğu kavram ve bilgiler gerekirse
modellemelerden de faydalanılıp öğrencinin anlayacağı şekilde verilmelidir.
2.
Bir sayıda yer alan farklı basamaklar ve basamak değerinin altı çizilmelidir.
Örneğin; farklı basamaktaki rakamların farklı bir materyalle ( büyük küp,
sütun, küçük küp gibi) veya farklı renklerle gösterildiği bir öğretim
materyali de kullanılabilir.
3.
Verilen bir sayıda kaç tane onluk, yüzlük, vs. olduğunu fark ettirilmesi
basamaklar arasındaki ilişkileri pekiştirmek için önemlidir.
Örneğin; 456768 sayısında 456 tane binlik 768 tane birlik veya 4567tane
yüzlük 68 tane birlik vardır, 45678tane onluk 8 birlik vardır, gibi.
4. Aynı zamanda tarihten de faydalanılarak öğrencilerin konudaki öğrenmeleri
desteklemekle birlikte öğrenmeleri de sağlanabilir.
Örneğin; başlangıç sayılarına (1, 10, 100 ,1000,…) farklı hayvan şekilleri
özdeşleştirilerek daha eğlenceli hale getirilebilir. Birler güvercin, onlar serçe,
yüzler baykuş… ile gösterildiğinde 135 sayısının göstermek için 1 baykuş 3 serçe 5
güvercin kullanılacaktır.
5. Bilindiği gibi sayıların, temelde üç farklı gösterimi vardır: nesnelerle gösterim,
rakamlarla gösterim ve sayının sözel dilde ifade edilesi. Chambris sayıları yazıdan
rakama (veya tersi) geçerek söylemenin öğrencinin sayıyı tam anlamıyla
kavradığını ortaya koyamayacağını ifade etmektedir. Bu nedenle öğretim
faaliyetinde basamak değerini farklı boyutlar kazandıracak farklı gösterimlerden
faydalanılmalıdır.
Örneğin; 25 sayısı öğretilirken hem rakam(25) hem yazıya(yirmi beş) hem de
nesnelere (25 tane misket) atıfta bulunacak farklı öğretim ortamları
kullanılmalıdır.
6. Ölçme öğrenme alanıyla ilgili etkinliklerin yapılması basamak değerinin
kavramsallaştırılmasında önemlidir.
Örneğin; sayıları araştırırken öğrencilerden 6328=6000+300+20+8 şeklinde
yazmaları istemekle yetinmek yerine anlamlı öğrenmeyi desteklemek
amacıyla ölçme öğrenme alanıyla ilişkilendirip
6328 m =6000m+300m+20m+8m ayrıştırmasını yaptırmak yerinde olabilir.
7. Farklı öğretim materyallerinin kullanımına önem verilmelidir. Bu
materyaller sayesinde öğrenciler 2,3 veya daha yüksek basamaklı sayıların
temel bileşenlerini dikkate alacaklardır. Bununla ilgili akla ilk gelen somut
materyal abaküstür. Ancak Thompson ve Bramald bu konuda yaşanan
zorlukları yenmek için Gattegno Tabloları ve Basamak Değeri Kartlarının
sınıfta öğretmenler tarafından kullanımını tavsiye etmektedir.
7.a. GATTEGNO TABLOLARI
Gattegno tablosu (veya onluk tablo olarak da adlandırılır) 9x4
sayı ihtiva etmesine rağmen bu tablo sayesinde 9999 a kadar ki
tüm sayılar görülebilir.
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7346 sayısını tabloda gösterelim mi ?
7.b. Basamak Değeri (Gattegno) Kartları
Gattegno tablolarının bir benzeri ve daha basiti olarak
düşünülebilecek bir materyalde basamak değeri kartlarıdır.
624 sayısını
basamak
değeri
kartları ile
gösterelim
6
0
0
2
0
4
6
0
2
4
0
7.C. Diğer Materyaller
Basamak değerinin öğretiminde aşağıdaki sayı çözümleme
tablosu da tavsiye edilebilir.
Binler bölüğü
Birler bölüğü
Yüzler
Onlar
Birler
Yüzler
Onlar
Birler
3
5
9
6
2
7
359 627
3
0
0
0
0
0
300 000
5
0
0
0
0
50 000
9
0
0
0
9 000
6
0
0
600
2
0
7
Bir sayının basamak ve bölükleriyle ilgili tüm bilgilerinin özetleyen tablo
20
7
Bir sayının basamak ve bölükleriyle ilgili tüm bilgileri özetleyen
bir başka tablo:
Bölük
adları
Basamak
adları
Binler Bölüğü
Yüz binler
basamağı
On binler
basamağı
Birler Bölüğü
Binler
basamağı
Yüzler
basamağı
Onlar
basamağı
Birler
basamağı
Sayı
235 964
Rakamın
basamak
değeri
200 000
30 000
5 000
900
60
4
SONUÇ
Bu bölümde, tarihsel-epistemolojik bir yaklaşım benimsenerek basamak
değeri kavramının önemi ortaya konmuş ve böylece matematik ve diğer
disiplinlerde oynadığı rol vurgulanmıştır.
Literatür dikkate alındığında kavramın öğreniminde öğrencilerin önemli
zorluklar yaşadıkları bilinmektedir. Bu bölümde bu zorluklar detaylanmadan
önce bu zorlukları tetikleyen epistemolojik nedenler araştırılarak kavramın
öğrenimini zor kılan nedenler ortaya konmaya çalışılmıştır.
Ardından basamak değeri kavramıyla ilgili olarak yaşanan belli başlı
zorluklar yedi grup halinde sunularak bölümün son kısımlarında bu zorlukları
en aza indirgemenin belli başlı yollarından bahsedilmiştir.
HAZIRLAYANLAR
SELAHATTİN AL
RECEP ÇINARDALI
SALİH ALPFİDAN
İSMAİL KARDAŞOĞLU
SERCAN TETİK