Transcript presentacion

Una revisión histórica de la ecuación cúbica
como reflexión para su enseñanza.
Alma Rosa Fernández Ángel
SADD – Agosto 2012
Profesor:
Es verdadero!
Alumno:
¿Para qué quiero comprobar?:
¿por qué debo suponer?
¿A quién se le ocurrió pensar que:
Implica
?
¿Cómo aprovechar el desarrollo
Histórico de las matemáticas para desarrollar
una clase, buscando mejorar el
aprendizaje del tema?
•Anécdotas
matemáticas
•Introducción
histórica de
conceptos
•Problemas
históricos que
generan nuevos
contenidos
•Historia de las
matemáticas
.
.
.
Al proponer esta forma de manejo de la historia de las
matemáticas en el salón de clase, se puede considerar lo
que Fauvel (1991) propone :
•Idear ejercicios
utilizados en
textos del
pasado.
•Proyectos con
tema matemático
local
•Ejemplos del
pasado para
ilustrar técnicas y
métodos.
•Explorar errores
del pasado para
dificultades de
aprendizaje.
•Idear
aproximaciones
pedagógicas
según desarrollo
histórico.
•Idear orden y
estructura de los
temas en
programas.
Fauvel
NCTM
Bishop
Enseñanza
con
história.
Arcavi
Ernest
Freudenthal
COMPRAS
DEUDAS
MOV.
MERCANTILES
RIQUEZA
VENTAS
ALGEBRA
TIERRAS
PERSAS
GRIEGOS
ÁRABES (820
D.C)
BABILONIOS
(1700 A.C.)
SUMERIOS
(3000
A.C.)
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmo
Descartes busca la solución de la
ecuación cúbica con la intersección de
2
2
2
una circunferencia (x-h) +(y-k) =R con
2
la parábola y=x
ECUACIONES A LA ITALIANA.
Luca Pacioli
Casos particulares
Scipione del Ferro
3
x
+ ax + b = 0
Scipione del Ferro
Antonio del Fiore
x3 + ax2 +b = 0
Tartaglia
Girolamo Cardano
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Ars Magna
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Ludovico Ferrari
SOLUCIÓN GENERAL.
Consideremos la ecuación general de tercer grado:
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
Como A ≠ 0 , no se pierde generalidad si al dividir la
ecuación anterior entre A, escribimos:
3
x
+
2
bx
+ cx + d = 0
Hacemos la sustitución:
x = y - b/3
(Ψ)
Obtenemos:


b 
bc 2b 
y c   y d  
0

3
3 27 


2
3
3
En consecuencia, resolver la ecuación cúbica ( Ψ ),
se reduce a resolver la ecuación:
y  py  q  0
3
donde:
2
b
p c
3
3
y
bc 2b
qd 
3
27
Esto implica que:
b
x1  y1 
3
b
x2  y2 
3
b
x3  y3 
3
Ahora escribimos:
yuv
Tenemos que:
(u  v)  p(u  v)  q  0
3
Luego:
u  v  q  (3uv  p)(u  v)  0
3
3
(λ)
Cualquiera que sea el valor numérico de la suma
y  u  v (en este caso una raíz de la
de
ecuación anterior), siempre podemos determinar
a u y v imponiéndoles la condición adicional de
que su producto uv sea un número prefijado.
Imponiendo al condición adicional:
p
uv  
3
Sustituyendo en ( λ ) tenemos:
u v q0
3
3
Y de las dos expresiones anteriores se obtiene:
3
p
u v 
27
3 3
Puesto que:
(z  u )(z  v )  z  (u  v )z  u v
3
3
2
3
3
u
3
3 3
3
v
Entonces por lo anterior y son las dos
soluciones de la ecuación de segundo grado:
3
p
z  qz 
0
27
2
(α)
Por otro lado, las soluciones de la ecuación ( α ),
viene dadas por :
2
3
2
q
q
p
z1   

2
4 27
y
3
q
q
p
z2   

2
4 27
Escribiendo::
u  z1
3
y
v  z2
3
Cada una de las ecuaciones tiene tres raíces tanto
para z1 como para z2.
Las raíces de:
u  z1
3
son:
u1
,
u2  wu1
y
u3  w u1
2
Y las raíces de:
v  z2
3
son:
v1
,
v2  wv1
y
v3  w v1
2
Ahora denotaremos:
2
3
q
q
p
u1  3  

2
4 27
2
y
q
q
p
v1  3  

2
4 27
Entonces las raíces de:
y  py  q  0
3
3
son:
y1  u1  v1
y2  wu1  w v1
2
y3  w u1  wv1
2
Conocidas como las fórmulas de Cardano.
RAFAEL BOMBELLI (1526-1572)
Resolver las ecuaciones cúbicas con las
formulas de Cardano, nos encontramos ante un
hecho, que el discriminante sea menor que cero:
entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada
de un número negativo.
Cardano en su Álgebra de 1572 presenta
La ecuación:
3
x =15x+4
( d)
Resolviendo encontramos que
las tres soluciones de la cúbica son reales.
Si aplicamos las fórmulas de Cardano con
p=15 y q=4, como , entonces:
Con las cuales Cardano no sabe que hacer,
y las llama “irreducibles”
Bombelli hace lo siguiente:
,
Esto se da si:
Por lo que tiene sentido decir que:
De la misma forma:
Así, una raíz de la ecuación (d) es:
El razonamiento de Bombelli planteó enormes
problemas: ¿Cómo se sabe por adelantado que
va a ser raíz cúbica de
?
Y entonces surge la necesidad de introducir
otros elementos.
François Viète (1540-1603)
,
Analiza nuevamente la ecuación
cúbica:
con
Esto es trabaja con:
con
Y la identidad trigonométrica:
Llegando a la solución:
Esto no es real (los imaginarios)
Propuesta de clase
Contenidos
g
e
n
e
r
a
l
T
e
o
r
e
m
a
d
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l
a
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b
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o
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actividades
Referencias bibliográficas
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Motor del Desarrollo del Algebra,
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora, durante
la XII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas
•Baumgart, J. et al. (1989). Historical Topics for the Mathematics
•Classroom. NCTM. Reston, Virginia.
•Kaster, E., Newman, J. (1978). Matemáticas e Imaginación.
•Compañía Editorial Continental, S.A. D.F., México.
•Kolmogorov, A. Aleksandrov, A. y otros (1985). La Matemática:
•su contenido, método y significado. Alianza Editorial. Madrid.
•Moreno, R. (2001) Andanzas y aventuras de las ecuaciones
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•Rico, L. (Coord.).(2000). La educación matemática en la enseñanza
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Currículo De Secundaria, en
http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/122/116
•Stewart, I. (2009) Historia de las matemáticas. Crítica. Barcelona
•Várrilly, J. (1986) La enseñanza de las matemáticas
con un énfasis histórico. Revista de Filosofía de la Universidad
de Costa Rica, ISSN 0034-8252, Nº. Extra 59, págs. 75-78.
Costa Rica.
•Revista digital Matemática (2008), Educación e Internet
(www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 9, No 1.