COLEGIO PARROQUIAL MIXTO “SAN PEDRO CHANEL” SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS) SULLANA

Ecuaciones Cuadráticas

Por: Jhony Sandoval Juárez Especialidad: Matemática 4to “B”

DEFINICION: Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma , donde a, b, y c son números reales y a es diferente de cero EJEMPLOS 9

x

 6 3

x

4 2

e

4 2  6

x

 10

x

 2 9

x

  10 0  0  0 a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10 La ecuación se llama completa cuando tiene los tres términos a, b y c, es decir cuando estos términos son distintos de cero.

La ecuación es incompleta si faltan las constante “b” ó “c”. Pero sí b=0, la ecuación recibe el nombre de ecuación pura.

Una ecuación cuadrática gráficamente representa una parábola.

FORMAS DE SOLUCIONAR UNA ECUACION CUADRÁTICA • Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: • 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrados 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. • • • • Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 ( x + ) (x - ) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 • • (x + 4 ) (x – 2) = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 • x + 4 = 0 x = 0 – 4 x = -4 x – 2 = 0 x = 0 + 2 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando Cuadrados:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Para lograrlo hay que dividir a toda la ecuación por el valor de a así: Luego pasamos al otro miembro el valor de c/a y a la ecuación restante le sumaremos a ambos miembros el valor de: Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4

x

2 4  12

x

4  8 4

x

2  3

x

 2  0  0 4 Ahora, a= 1 .

Ahora la nueva ecuación será:

x

2  3

x

 2  0 Donde, a= 1, b= 3 y c= -2

.

Luego:

x

2  3

x

 2 Le sumamos a ambos miembros el (b/2)2

x

2  3

x

 ( 3 2 ) 2  2  ( 3 2 ) 2 Finalmente la ecuación quedará: (

x

 ( 3 2 )) 2  2  ( 3 2 ) 2

METODO DE LA FORMA GENERAL O CUADRÁTICA Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0

x

 

b



b

2  4

ac

2

a

a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 2 x = -2 - 6 2 x = 4 2 x = 2 x = -8 2 x = - 4

EL DISCRIMINANTE

Como se vio anteriormente para resolver una ecuación cuadrática disponemos de la siguiente fórmula general

x

 

b



b

2

a

2  4

ac

Si llamamos D al discriminante de esta ecuación .

D



b

2  4

ac

Se concluye lo siguiente: D>0  D=0  D<0  La ecuación tiene 2 soluciones reales diferentes La ecuación tiene 2 soluciones reales iguales La ecuación tiene 2 soluciones complejas

• •

Ecuaciones cuadráticas: PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

En una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 donde a = 0 , se tiene como raíces :

x

1  

b



x

2  

b



b

2  4

ac

2

a b

2  4

ac

2

a

1 2

La suma de sus raíces ( x 1 + x 2 ) es igual a :

x

1  

b



x

2  

b



b

2  4

ac

2

a b

2  4

ac

2

a x

1 

x

2   2

b

2

a

 

b a

-b a

Sumando miembro a miembro, se obtiene :

x

1 

x

2  

b a

El producto de sus raíces ( x 1 . X 2 ) es igual a : c a

x

1 

x

2   

b



b

2   2

b

2 

b

2  4

a

2   4

a

2

b

2 4

ac

  4

ac

 2 4

ac

4

a

2  4

ac

2

a

     2

a b

  

c a b

2  (

b

2 4

a

2

b

2  4

ac

)   4

ac

 

Se desarrolla como un binomio suma por su diferencia, por tanto :

x

1 

x

2 

c a

Determinación de la ecuación

Si en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 dividimos entre “ a ” la podemos transformar en : x 2 –(-b/a)x + c/a = 0 y por tanto reemplazar “–b/a” por la suma y “c/a” por el producto.

x 2 – (x 1 +x 2 ) x + (x 1 . x 2 ) = 0

EJERCICIOS :

1

.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son 5 y -3 Recordar que la ecuación ax 2 + bx + c = 0 se puede transformar en : x 2 –(-b/a)x + c/a = 0 x 2 – (x 1 +x 2 ) x + (x 1 .x

2 ) = 0 Si consideramos a = 1 será b = ( x será c = (x 1 1 + x 2 ) = [ 5 +(-3)] = 2 . X 2 ) = 5 ( -3 ) = - 15 Por tanto, la ecuación será :

x 2 – 2x – 15 = 0

Es conveniente recordar que en un trinomio como: x

2

+ 5x + 6 = 0, por la descomposición por método de aspa se cumple que

b

sale con la suma de factores y

c

con el producto de los mismos

2

.- Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3/4 y 1/4 Será b = ( x 1 +x 2 ) = ( ¾ + ¼ ) = 4/4 = 1 Será c = (x 1 . x 2 ) = ( ¾ . ¼) = 3/16 Por tanto la ecuación será : x 2 – (1)x + 3/16 = 0 (se reduce a denominador común : 16x

2 – 16x + 3 = 0

ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

• • • ECUACIONES RACIONALES FRACCIONARIAS ECUACIONES IRRACIONALES (con RADICALES) ECUACIONES POLINÓMICAS DE LA FORMA ax 4 + bx 2 + c = 0 (ecuaciones bicuadradas)

Ecuaciones racionales fraccionarias

Son ecuaciones que al ser transformadas en otras equivalentes resultan ser cuadráticas.

Ejemplo:

x x

 2 

x

2  3 

x

2

x

 20  5

x

 6

x x

 2 

x

2  3  (

x



x

 20 2 )(

x

 3 ) Determinamos las restricciones

x

 2 ; 3 Reducimos a denominador común y eliminamos denominadores

x

(

x

 3 )  2 (

x

 2 ) (

x

 2 )(

x

 3 ) 

x

 20 (

x

 2 )(

x

 3 )

x

(

x

 3 )  2 (

x

 2 ) 

x

 20 Multiplicamos, reducimos y factorizamos

x

2  3

x

 2

x

 4 

x

 20

x

2  6

x

 16  0

(x – 8) (x + 2) = 0 por tanto x’ = 8 ;

x” = -2 C.S. = { -2 ; 8 }

E C U A C I O N E S I R R A C I O N A L E S Son ecuaciones donde la variable está afectada por un radical.

Método para resolverlas * Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo radical y al otro los demás términos.

* Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales y luego se procede como en los demás casos.

* Se debe comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial.

EJEMPLO:

x

 2

x

 15

x

 15  2

x

(

x

 15 ) 2  ( 2

x

) 2

x

2  30 Se ordena, se factoriza y se hallan las raíces

x

 225  4

x x

2  34

x

 225  0 (

x

 25 )(

x

 9 )  0

Por tanto: x’ = 25 ; x” = 9

La raíz x” = 9 no satisface la ecuación inicial; se rechaza. C.S. = { 25 }

Otro ejemplo: 2

x

 7 

x

 2 Ecuación con 2 radicales.  Se pasan ambos radicales a un miembro de la ecuación y el resto al otro, para proceder a elevar al cuadrado, y desarrollar.

2 2

x



x

7  2   7 2  ( 2

x



x

7 )( 

x

)  2   2  4  2 2

x x

  7 7   2 2

x x

 2 2  7 

x

2  2

x

 4 Habiendo quedado radical en el doble producto se repite el mismo proceso: se ordena, 3

x

 3  2 2

x

2  7

x

se eleva al cuadrado,  3

x

 3  2   2 2

x

2  7

x

2  se resuelve.

9

x

2  18

x

 9  8

x

2  28

x x

2  10

x

 9  0 (

x

 9 )(

x

 1 )  0 Por tanto: x’ = 9 ; x” = 1 Al comprobar las raíces en la ecuación original,las 2 sirven.

. C.S.={1;9}

ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado : ax 4 + bx 2 + c = 0 ; No contienen más que las potencias pares de la incógnita.

Para resolverlas se hace un cambio de variable.

El número de soluciones lo determina el grado de la ecuación (4).

EJEMPLO :

x

4  13

x

2  36  0

Si hacemos x

2 

y tendremos y

2  13

y

 36  0

factorizam os (y - 4)(y - 9) = 0 y resolvemos; por tanto: y = 4 y = 9 Como habíamos hecho x 2 = y lo reemplazamos x

2

x x

 4     2 4

x

2  9

x x

   9  3 y resolvemos Por tanto :

C.S.

=

{ -3; -2; 2; 3 }